二次根式知识点总结题型分类复习专用文档格式.docx
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）A1B.1C.2D.3
3、当a取什么值时，代数式2a11取值最小,
并求出这个最小值。
…1__2
1、若x-1-1-x=（xy），则x—y的值为
2、若x、y都是实数，且
y=J2x—3中J3—2x*4，求xy的值
若2••17的整数部分为x,小数部分为y,求
的值.
已知a是整数部分，b是5的小数部分,
求a的值。
b+2
若7-•、3的整数部分是a，小数部分是b，则
、3a-b二
知识点二：
二次根式的性质
1.非负性：
・.a（a_O）是一个非负数.
注意：
此性质可作公式记住，后面根式运算中经常用到.
2.（、a）2=aa_0）.
此性质既可正用，也可反用，反用的意义在于，可以把任意一个非负数或非负代数式写成完全平方的形式：
a=（、.a）2（a_0）
3.Ja?
=|a|注意：
（1）字母不一定是正数.
[-a（avO）
（2）能开得尽方的因式移到根号外时，必须用它的算术平方根代替.
（3）可移到根号内的因式，必须是非负因式，如果因式的值是负的，应把负号留在根号外.
—2fa（a亠0）—2
4.公式.a2=|a|=一与（a）2=a（3_0）的区别与联系
gacO）
（1）a2表示求一个数的平方的算术根，a的范围是一切实数.
（2）（、、a）2表示一个数的算术平方根的平方，a的范围是非负数.
（3）a2和（、.a）2的运算结果都是非负的.
［例4】若a-2+>
^8（—4）2
1、若.-3（n•1）2=0，则m•n的值为。
2、已知x,y为实数，且Jx—1+3（y—2f=0，则x—y的值为（）
2005
4、若a—b*1与Ja+2b+4互为相反数，则（a_b）=
#a=:
二次®
I武（公式（va）2=a（a30）的运用）
【例5】化简：
a_1+（Ja_3）2的结果为
A、4—2a
C、2a—4
2
1、在实数范围内分解因式：
x3=
42
；
m-4m4=
x4-9=
x2-2.2x2=
SUH:
訂次银鏑顒3（公式斗厂a
a（^0）
_a（ac0）
的应用）
【例6】已知x：
2,则化简.x2-4x4的结果是
D.3a
C.—3a
3、若2Ya%3，则；
2-a…a-3等于（
A.5-2aB.1-2aC.2a-5D.2a-1
的结果是
4、若a—3v0，则化简、a_6a+9+4—a
（A）—1
（B）1
（C）2a—7
（D）7—2a
5、化简4x2
2
_4x1-'
一2x-3得（
（A）2（B）_4x4（C）—2
（D）4x—4
..a2-2a1
6、当avl且a和时，化简
7、已知a:
0，化简求值：
4—（a1）2
4（a一1）
【例7】如果表示a,b两个实数的点在数轴上的位置如图所示，那么化简丨a—b|+、.，（a
于（）
bao
A2bB.2bC2aD.2a
b）2的结果等
实数a在数轴上的位置如图所示：
化简：
|a_1+J（a_2）2=
【例8】化简1_x_Jx2_8x+16的结果是2x-5，则x的取值范围是（）
（A）x为任意实数（B）1$詔（C）x羽（D）x<
L•"
◎I
-1012
A.a>
4
b.a<
c.2<
a<
d.a二2或a=4
【例9】如果aTa2
-2a1=1，那么
a的取值范围是（
）
A.a=0B
a=1C.
a=0或a=1
D.a<
若代数式（2-a）2•（a-4）2的值是常数2，则a的取值范围是（
1、如果a•a2-6a9=3成立，那么实数a的取值范围是（）
A.a^OB.a岂3;
C.a——3;
D.a—3
2、若、,（X_3）2•x_3=0，贝yx的取值范围是（
（B）x:
:
：
3
（C）X_3
【例10】
化简二次根式a
-a22的结果是（
a
1、把二次根式a-1化简，正确的结果是（
A.-3
\a
;
（a-1）
1-a
B.--a
2、把根号外的因式移到根号内：
当b>
0时，—Vx
x
最简二次根式和同类二次根式
最简二次根式:
（1）最简二次根式的定义：
①被开方数是整数，因式是整式；
②被开方数中不含能开得尽方的数或
同类二次根式（可合并根式）
几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式，即可以合并的两个根式。
【例11】在根式1）a2b2;
2）
2-xy;
4）••27abc,最简二次根式是（）
B.3）4）C.1）3）D.1）4）
解题思路：
掌握最简二次根式的条件。
1、寸莎癒闰,*40匕2,屈,©
17（a2+b2）中的最简二次根式是。
2、下列根式中，不是.最简二次根式的是（）A.7B.、.3C.」D.、一2
4、下列各式中哪些是最简二次根式，哪些不是？
为什么?
j'
3ab
（1）13ab
（2）■2（3）xy⑷：
a-b（a•b）
5、把下列各式化为最简二次根式:
（1）12⑵45a$b
【例12】下列根式中能与,3是合并的是（）
A..8B.卜27
C.2..5
1、下列各组根式中，是可以合并的根式是（）
a、.3和18
C、'
一a2b和、、ab2D、.a■1和.a-1
3、如果最简二次根式営'
'
3a-8与J‘17-2a能够合并为一个二次根式，则a=.
知识点四：
二次根式计算一一分母有理化
1.分母有理化
定义：
把分母中的根号化去，叫做分母有理化。
2•有理化因式：
两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式。
有理化因式确定方法如下：
①单项二次根式：
利用a=a来确定，如：
a与、a,-、玄“与二ab,a-b与•、a-b等分
别互为有理化因式。
2两项二次根式：
利用平方差公式来确定。
如a••、.b与a「'
.jb,■■一a•b与.a-.b,
a,xb,y与aX「b...y分别互为有理化因式。
3.分母有理化的方法与步骤：
①先将分子、分母化成最简二次根式；
2将分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式;
3最后结果必须化成最简二次根式或有理式。
［例13】把下列各式分母有理化
（1）
（2）"
3/7
（4）
【例14】把下列各式分母有理化
（2）
b2
【例15】把下列各式分母有理化:
2-1
（3）
33
3.2-2丫3
1、
已知x=
求下列各式的值:
X亠V22
（1）
（2）x-3xyy
2、把下列各式分母有理化:
a-b
⑴肓」小
（2）.a2一a-2
小结：
一般常见的互为有理化因式有如下几类:
①丄:
与丄：
③■与丁一
②'
.f|j■■V'
与■」-：
4—上•宀二与'
./lJ宀匸.
知识点五：
二次根式计算一一二次根式的乘除
1•积的算术平方根的性质：
积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积。
.ab=a-b（a丸,bX））
2•二次根式的乘法法则：
两个因式的算术平方根的积，等于这两个因式积的算术平方根。
\a-b=ab.（a为,bX））
3•商的算术平方根的性质：
商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根
4•二次根式的除法法则：
两个数的算术平方根的商，等于这两个数的商的算术平方根。
乘、除法的运算法则要灵活运用，在实际运算中经常从等式的右边变形至等式的左边，同时还要考虑字母的取值范围，最后把运算结果化成最简二次根式.
【例16】化简
（1）916
（2）1681
⑶.5215
⑷9x2y2（x_0,y_0）
（6）
（7）
（8）
【例18】化简:
（a0,b-0）
（x-0,y0）
（x-0,y0）
【例19】计算：
⑴為
【例20】
能使等式
A、x2B、
Vx
2成立的的x的取值范围是（
x_0c、0_x_2d、无解
（2）10
知识点六：
二次根式计算——二次根式的加减
需要先把二次根式化简，然后把被开方数相同的二次根式（即同类二次根式）的系数相加减，被开方数不变。
对于二次根式的加减，关键是合并同类二次根式，通常是先化成最简二次根式，再把同类二次
根式合并.但在化简二次根式时，二次根式的被开方数应不含分母，不含能开得尽的因数
⑶327175-
1価-3息-\石2
23247
【例20】计算（i）-，32、,75•2、、05
知识点七：
二次根式计算二次根式的混合计算与求值
1、确定运算顺序；
2、灵活运用运算定律；
3、正确使用乘法公式；
4、大多数分母有理化要及时；
5、在有些简便运算中也许可以约分，不要盲目有理化；
【典型习题】
1、^ab5（_刃嬴）+3乎2、^-（2^/12+4^^-^48）
4、（一72一2）3-7..6
273
知识点八：
根式比较大小
1、根式变形法当a0,b0时，①如果aba—,b；
②如果ab，则二-b。
2222
2、平方法当a0,b0时，①如果a•b,则ab；
②如果a:
b，则ab。
3、分母有理化法通过分母有理化，利用分子的大小来比较。
4、分子有理化法通过分子有理化，利用分母的大小来比较。
5、倒数法
②a-b：
0=ab
-：
1：
=a:
b
b
6、媒介传递法适当选择介于两个数之间的媒介值，利用传递性进行比较。
7、作差比较法在对两数比较大小时，经常运用如下性质：
①a—b.0=a.b；
=a-b
8、求商比较法它运用如下性质：
当a>
0,b>
0时，则：
①b；
②
【例22】比较3、、5与5、、3的大小。
（用两种方法解答）
21
【例23】比较r2与一'
的大小。
>
13-1J2-1
【例24】比较'
15-14与■-14-、13的大小。
【例25】比较°
-民与'
6一'
-5的大小。
【例26】比较73与'
87-3的大小
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