北京市中考数学专题圆的有关计算.docx

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北京市中考数学专题圆的有关计算

2016北京市中考数学专题------圆中有关计算

圆的中档解答题分值为5分，难度中等偏上，是每一位考生力争满分的题型之一，所考查知识点相对稳定，主要考查学生对圆、相似、解直角三角形等内容的综合应用能力和计算能力．从题目本身来看，一般都采取标准的两问式子.2015年随着考试改革，本题的位置调整为23题，难度等同于去年．

年份

2011

2012

2013

2014

2015

题号

20

21

23

考点

①圆周角

定理；

②切线的

判定；

③相似三

角形的

性质与

判定；

④解直角

三角形

①垂径

定理；

②切线的

判定与

性质；

③相似三

角形的

性质与

判定；

④解直角

三角形

①切线长

定理；

②相似三

角形的

性质和

判定；

③勾股

定理的

应用

①切线的

性质；

②等腰三

角形的

判定；

③全等三

角形的

性质与

判定；

④勾股

定理的

应用

①切线

的性

质；

②等边

三角形

的判定

和性质；

③勾股

定理的

应用

1．[2015·北京]如图Z6－1，AB是⊙O的直径，过点B作⊙O的切线BM，弦CD∥BM，交AB于点F，且＝，连接AC，AD，延长AD交BM于点E.

（1）求证：

△ACD是等边三角形；

（2）连接OE，若DE＝2，求OE的长．

图Z6－1

2．[2014·北京]如图Z6－2，AB是⊙O的直径，C是的中点，⊙O的切线BD交AC的延长线于点D，E是OB的中点，CE的延长线交切线BD于点F，AF交⊙O于点H，连接BH.

（1）求证：

AC＝CD；

（2）若OB＝2，求BH的长．

图Z6－2

3．[2013·北京]如图Z6－3，AB是⊙O的直径，PA，PC分别与⊙O相切于点A，C，PC交AB的延长线于点D，DE⊥PO交PO的延长线于点E.

（1）求证：

∠EPD＝∠EDO；

（2）若PC＝6，tan∠PDA＝，求OE的长．

图Z6－3

4．[2012·北京]如图Z6－4，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，OD⊥BC于点D，过点C作⊙O的切线，交OD的延长线于点E，连接BE.

（1）求证：

BE与⊙O相切；

（2）连接AD并延长交BE于点F，若OB＝9，sin∠ABC＝，求BF的长．

图Z6－4

5．[2011·北京]如图Z6－5，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交AC，BC于点D，E，点F在AC的延长线上，且∠CBF＝∠CAB.

（1）求证：

直线BF是⊙O的切线；

（2）若AB＝5，sin∠CBF＝，求BC和BF的长．

图Z6－5

1．[2014·东城一模]如图Z6－6，AB是⊙O的直径，点E是上的一点，∠DAC＝∠AED.

（1）求证：

AC是⊙O的切线；

（2）若点E是的中点，连接AE交BD于点F，当BD＝5，CD＝4时，求DF的值．

图Z6－6

2．[2014·海淀一模]如图Z6－7，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与边BC，AC分别交于D，E两点，DF⊥AC于点F.

（1）求证：

DF为⊙O的切线；

（2）若cosC＝，CF＝9，求AE的长．

图Z6－7

3．[2014·西城一摸]如图Z6－8，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O，交BC于点D，连接OD，过点D作⊙O的切线，交AB的延长线于点E，交AC于点F.

（1）求证：

OD∥AC；

（2）当AB＝10，cos∠ABC＝时，求AF及BE的长．

图Z6－8

4．[2015·东城一模]如图Z6－9，在⊙O中，AB为直径，OC⊥AB，弦CD与OB交于点F，过点D，A分别作⊙O的切线交于点G，且GD与AB的延长线交于点E.

（1）求证：

∠1＝∠2；

（2）已知OF∶OB＝1∶3，⊙O的半径为3，求AG的长．

图Z6－9

5．[2015·海淀二模]如图Z6－10，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上不同于A，B的两点，∠ABD＝2∠BAC，连接CD.过点C作CE⊥DB，垂足为E，直线AB与CE相交于点F.

（1）求证：

CF为⊙O的切线；

（2）当BF＝5，sinF＝时，求BD的长．

图Z6－10

6．[2015·青山区一模]如图Z6－11，AB是⊙O的直径，BC交⊙O于点D，E是的中点，连接AE交BC于点F，∠ACB＝2∠EAB.

（1）求证：

AC是⊙O的切线；

（2）若cosC＝，AC＝6，求BF的长．

图Z6－11

7．[2015·朝阳一模]如图Z6－12，△ABC内接于⊙O，AB为直径，点D在⊙O上，过点D作⊙O的切线与AC的延长线交于点E，ED∥BC，连接AD交BC于点F.

（1）求证：

∠BAD＝∠DAE；

（2）若AB＝6，AD＝5，求DF的长．

图Z6－12

8．[2015·丰台一模]如图Z6－13，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，过点C作⊙O的切线，交AB的延长线于点P，连接PD.

（1）判断直线PD与⊙O的位置关系，并加以证明；

（2）连接CO并延长交⊙O于点F，连接FP交CD于点G.如果CF＝10，cos∠APC＝，求EG的长．

图Z6－13

9．[2015·海淀一模]如图Z6－14，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，过点C作⊙O与边AB相切于点E，交BC于点F，CE为⊙O的直径．

（1）求证：

OD⊥CE；

（2）若DF＝1，DC＝3，求AE的长．

图Z6－14

10．[2015·西城一模]如图Z6－15，AB为⊙O的直径，M为⊙O外一点，连接MA与⊙O交于点C，连接MB并延长交⊙O于点D，经过点M的直线l与MA所在直线关于直线MD对称．作BE⊥l于点E，连接AD，DE.

（1）依题意补全图形；

（2）在不添加新的线段的条件下，写出图中与∠BED相等的角，并加以证明．

图Z6－15

参考答案

北京真题体验

1.解：

（1）证明：

∵BM是⊙O的切线，AB为⊙O的直径，

∴AB⊥BM.∵BM∥CD，∴AB⊥CD，

∴＝，∴AD＝AC.

∵＝，∴DC＝AD，

∴AD＝CD＝AC，

∴△ACD为等边三角形．

（2）∵△ACD为等边三角形，AB⊥CD，

∴∠DAB＝30°.

连接BD.

∵AB为⊙O的直径，

∴BD⊥AD，∠EBD＝∠DAB＝30°.

∵DE＝2，

∴BE＝4，BD＝2，AB＝4，OB＝2.

在Rt△OBE中，

OE＝＝＝2.

2.解：

（1）证明：

如图，连接OC.

∵C是的中点，AB是⊙O的直径，

∴OC⊥AB.

∵BD是⊙O的切线，∴BD⊥AB，

∴OC∥BD.

∵AO＝BO，∴AC＝CD.

（2）∵E是OB的中点，

∴OE＝BE.

在△COE与△FBE中，

∠CEO＝∠FEB，OE＝BE，∠COE＝∠FBE，

∴△COE≌△FBE（ASA），

∴CO＝BF.

∵OB＝2，∴BF＝OC＝2，

∴AF＝＝2.

∵AB是⊙O的直径，∴BH⊥AF，

∴△ABF∽△BHF，∴AB·BF＝AF·BH，

∴BH＝＝＝.

3．解：

（1）证明：

∵PA，PC与⊙O分别相切于点A，C，

∴∠APO＝∠EPD，PA⊥AO，即∠PAO＝90°.

∵∠AOP＝∠EOD，∠PAO＝∠E＝90°，

∴∠APO＝∠EDO，

∴∠EPD＝∠EDO.

（2）连接OC.

∵PA＝PC＝6，tan∠PDA＝，

∴在Rt△PAD中，AD＝8，PD＝10，

∴CD＝4.

∵tan∠PDA＝，

∴在Rt△OCD中，OC＝3，OD＝5.

∵∠EPD＝∠EDO，∴△OED∽△DEP，

∴＝＝＝，∴DE＝2OE.

在Rt△OED中，OE2＋DE2＝52，

∴OE＝.

4．解：

（1）证明：

连接OC.

∵EC与⊙O相切，C为切点，

∴∠ECO＝90°.

∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠OBC.

∵OD⊥BC，∴DB＝DC，

∴直线OE是线段BC的垂直平分线，

∴EB＝EC，∴∠ECB＝∠EBC，

∴∠ECO＝∠EBO，即∠EBO＝90°.

∵AB是⊙O的直径，

∴BE与⊙O相切．

（2）过点D作DM⊥AB于点M，则DM∥FB.

在Rt△ODB中，

∵∠ODB＝90°，OB＝9，sin∠ABC＝，

∴OD＝OB·sin∠ABC＝6.

由勾股定理，得BD＝＝3.

在Rt△DMB中，同理得

DM＝BD·sin∠ABC＝2，

BM＝＝5.

∵O是AB的中点，∴AB＝18，

∴AM＝AB－BM＝13.

∵DM∥FB，∴△AMD∽△ABF，

∴＝，

∴BF＝＝.

5．解：

（1）证明：

如图，连接AE.

∵AB是⊙O的直径，

∴∠AEB＝90°，∴∠1＋∠2＝90°.

∵AB＝AC，∴∠1＝∠CAB.

∵∠CBF＝∠CAB，∴∠1＝∠CBF，

∴∠CBF＋∠2＝90°，

即∠ABF＝90°.

∵AB是⊙O的直径，

∴直线BF是⊙O的切线．

（2）如图，过点C作CG⊥AB于点G.

∵sin∠CBF＝，∠1＝∠CBF，∴sin∠1＝.

∵∠AEB＝90°，AB＝5，∴BE＝AB·sin∠1＝.

∵AB＝AC，∠AEB＝90°，∴BC＝2BE＝2.

在Rt△ABE中，由勾股定理，得AE＝2，

∴sin∠2＝，cos∠2＝.

在Rt△CBG中，可求得GC＝4，GB＝2，∴AG＝3.

∵GC∥BF，∴△AGC∽△ABF，∴＝，

∴BF＝＝.

北京专题训练

1.解：

（1）证明：

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ADB＝∠ADC＝90°.

∵∠B＝∠AED＝∠CAD，∠C＝∠C，

∴∠C＋∠CAD＝∠C＋∠B＝90°，

∴∠BAC＝∠ADC＝90°.

又∵AB是⊙O的直径，

∴AC是⊙O的切线．

（2）可证△ADC∽△BAC，

∴＝，即AC2＝BC·CD＝36.

解得AC＝6.

∵E是的中点，

∴∠DAE＝∠BAE.

∵∠CAF＝∠CAD＋∠DAE＝∠ABF＋∠BAE＝∠AFD，

∴CA＝CF＝6，

∴DF＝CF－CD＝2.

2．解：

（1）证明：

如图，连接OD，AD.

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ADB＝90°.

又∵AB＝AC，

∴D为BC的中点．

又∵O为AB的中点，

∴OD∥AC.

∵DF⊥AC，

∴DF⊥OD.

又∵OD为⊙O的半径，

∴DF为⊙O的切线．

（2）如图，连接BE.∵DF⊥AC，CF＝9，

∴cosC＝，

∴CD＝＝9÷＝15.

∵∠ADB＝90°，

∴∠ADC＝90°，

∴cosC＝，

∴AC＝＝15÷＝25.

∵AB是⊙O的直径，

∴∠AEB＝90°.

又∵DF⊥AC，

∴DF∥BE，

∴＝＝1，

∴EF＝CF＝9，

∴AE＝AC－EF－CF＝25－9－9＝7.

3．解：

（1）证明：

如图，连接AD.

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ADB＝90°，

∴AD⊥BC.

∵AB＝AC，

∴∠1＝∠2.

又∵OA＝OD，

∴∠1＝∠ODA，

∴∠2＝∠ODA，

∴OD∥AC.

（2）∵EF是⊙O的切线，

∴∠ODE＝90°.

由

（1）知OD∥AC，∠1＝∠2，∠ADB＝90°，

∴∠AFE＝∠ODE＝90°，∠ADF＝∠ABC.

在Rt△ADB中，AB＝10，cos∠ABC＝，

∴AD＝4，BD＝2，OD＝5.

在Rt△AFD中，cos∠ADF＝cos∠ABC＝，

∴DF＝4，∴AF＝8.

∵OD∥AC，∴＝，

即＝，

∴BE＝.

4．解：

（1）证明：

如图，连接OD.