等比数列例题解析Word下载.docx

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解（i）“5ujq…二——

（2）Va3•a5=a4a3•a4•5=“：

=8

•：

習=2

又a2a6=a3a5=a4

/.a7a3a4a5a6二a]二32

【例4】已知a>

0,b>

0且aHb,在a,b之间插入n个正数X],x?

，…,

xn,使得a,xpX2,…，Xjpb成等比数列,求

证明设这n+2个数所成数列的公比为q,则b=aqn+1

【例5】设a、b.c、d成等比数列，求证：

（b—c）2+（c—a）2+（d—b）2=（a—d）®

证法一Ta、b、c、d成等比数列

■■—-"

bed

/.b-=ac,c2=bd,ad=bc

•••左侧=b2-2bc+c2+c2-2ac+a2+d2-2bd4-b2

=2（b?

—ac）+2（"

—bd）+（a?

—2bc+d?

）

=a?

—2ad+d2

=（a—d）?

=右边

证毕.

证法二Va.b.c、d成等比数列，设其公比为q,则:

b=aq,c=aqhd=aq=

/.左侧=（aq—aq2）2+（aq2—a）?

+（aq?

—aq）2

-2a2q3+a?

q6

a7

=（a—aq»

）乙

=（a—d）2=右边

说明这是一个等比数列与代数式的恒等变形相综合的题目.证法一是抓住了求证式中右边没有b、c的特点，走的是利用等比的条件消去左侧式中的b、c的路子.证法二则是把a、b、c、d统一化成等比数列的大体元素a、q去解决的•证法二略微麻烦些，但它所用的统一成大体元素的方式，却较证法一的方式具有普遍性.

【例6】求数列的通项公式：

（Dian）中，a[=2,axi=3an+2

（2）{an）中，a〔=2,a2=5,且an+2-3an+1+2an=0

思路：

转化为等比数列.

解（!

）an+l=3an+2=>

an+j-|-l=3（an4-l）

A{an+1}是等比数列

.'

.an+1=3・3n_1・\an=3n-l

（2）an+2_3an+l+2an=0=>

an+2-Qn+1=2（an+l_an）

.\{an+1-an）是等比数列，即

an+l-an=（a2-al）*2n_1=3•2n_1

再注意到a2—a）=3,aj—a2=3・2〔,84—83=3・2、…，an—an_j=3・2n"

^»

这些等式相加，即能够取得

2”1_]

an=3[l+2+22H2n2]=3・）=3（2n~'

~1）

说明解题的关键是发觉一个等比数列，即化生疏为已知.

（1）中发觉{an+l}

是等比数列，

（2）中发觉{an+i-an}是等比数列，这也是通常说的化归思想的一种表现.

【例7】若实数山、a?

、as、都不为零，且满足（aj+a；

）a^-2a2

（a!

+a3）a4H-a^=0求证：

aPa2>

a?

成等比数列，且公比为

证VaPa2xa3.a4均为不为零的实数

:

.（a；

+a2）x"

—2a?

（山+巧）x+a；

+a\二0为实系数一元二次方程

等式（a：

+“；

）aj—2a?

（a〔+33）34+3；

二0说明上述方程有实数根a,••・上述方程的判别式AMO,即

[―2a2（a1+a3）]2—4（a[+a；

）（a；

+a；

=_4（3；

—3冷3）2$0

/.（a；

—玄冋）?

WO

又Ta]、a?

、a3为实数

—a,a3）220

必有af—»

冋=OB卩卅二"

|门3

因此aPa2.33成等比数列

“…2a2（ai+a3）a2（ai+a3）a2

乂•J、—=一

2（a[+a；

）a；

①

/.a4即为等比数列a】.a2,a3的公比.

【例8】若a、b、c成等差数列，且a+1、b、c与a、b、c+2都成等比数列，求b的值.

解设花b、c别离为b-d.b.b+d,由已知b-d+l.b、b+d与b-d、b、b+d+2都成等比数列，有

[b2=（b-d+l）（b+d）①

=（b—d）（b+d+2）②

整理，得

=b~—d~+b+d

=b2—d2+2b—2d

•••b+d=2b—2d即b=3d

代入①，得

9d2=（3d-d+l）（3d+d）

9d2=（2d+l）•4d

解之，得d=4或d=0（舍）

Ab=12

【例9】已知等差数列｛卯｝的公差和等比数列｛bj的公比都是d,又知dHl,

.11,aqnbq，a]0=b]o：

⑴求心与d的值；

（2）b16是不是心胡中的项?

运用通项公式列方程

3,（1—d3）=—3d

j]（l—d"

）=—9d=>

d6+d3-2=0

=>

dj=1（舍）或d?

=yf-2•••a】=—d=V2d=-V2

⑵Vb16=b!

•dl5=_32b]

且二ai+3d=-2^/2=b4b4=bj•d3=—2b,=—2y[2/.b|=H|=y[2.•.b16=-32b1=-32ap若是b]6是｛%｝中的第k项，则

—32a〔=a]+（k—1）d

（k—1）d=—33a]=33d

•••k=34即b16是｛a【J中的第34项.

21

【例10】设｛a“｝是等差数列，bn=（―）an,已知b]+b2+b3=—,

28b1b2b3=|,求等差数列的通项.

O

解设等差数列｛g｝的公差为d，则an=ai+m-l）d

吩3=（护.（i）a'

+2d=（I严叫；

li|b,b2b3=-,解彳导b；

二秒，解得b2=,代入已知条件

oO2

1bgbs=—

<

21整理得<

S+b2+b3=§

解那个方程组，得

1〜1

b,=2,bs飞或5飞,b3=2

.•.aj=—11d=2或a]=3,d=—2

/.-Pia〔=—1♦d=2时ian=aj+（n—1）d=2n—3

当a]=3,d=2时,an=aj+（n—l）d=5—2n

【例11】三个数成等比数列.若第二个数加4就成等差数列，再把那个等差数列的第3项加32又成等比数列，求这三个数.

解法一按等比数列设三个数，设原数列为a,aq,aq2

由己知：

a,aq+4,aq2成等差数列

BP：

2（aq+4）=a+aq2

a,aq+4,aq2+32成等比数列

（aq+4）2=a（aq?

+32）

aq+2=4a

①，②两式联立解得：

2a=9q=—5

・°

•这三数为：

2,6,18或g，——»

b-4,b+d

解法二按等差数列设三个数，设原数列为b-d,由已知：

三个数成等比数列

即：

（b-4）2=（b-d）（b+d）

8b—d~=16

b-d,b,b+d+32成等比数列

即b2=（b-d）（b+d+32）

32b—d2—32d=0

・三数为6，——»

+■或2，6,18.

由已知:

apa2,a3成等比数列

得：

a；

二am①

apa?

+4,83成等差数列

2（a2+4）=ai+a3

apa2+4,g+32成等比数列

（a2+4）2=a]（a3+32）

3）=2

或h=6

=18

等比数列的数设为a,aq,aq2（或二a,aq）是一种常用技巧，可起到q

简化讣算进程的作用.

【例12]有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，而且第一个数与第四个数的和是16,第二个数与第三个数的和是12,求这四个数.

分析本题有三种设未知数的方式

方式一设前三个数为a-d,a,a+d,则第四个数由已知条

件可推得:

Q+d）2

方式二设后三个数为b,bq,bq2,则第一个数由已知条件推得为2b-bq・

方式三设第一个数与第二个数别离为X,y,则第三、第四个数依次为12—y,16—x.

由这三种设法可利用余下的条件列方程组解出相关的未知数，从而解出所求的四个数，

解法一设前三个数为a-d,a,a+d,则第四个数为乞刮匚.

a

_（a+df

依题意，有3a

a+（a+d）=12

所求四个数为：

0,4,8,16或15,9,3,1・

解法二设后三个数为：

b,bq,bq2,则第一个数为：

2b-bq

依题意有:

2b—bq+bq2=16

b+bq二12

0,4,8,16或15,9,3,1・解法三设四个数依次为x,y,12-y,16-x.

依题意有

x+（12—y）=2yy•（16—x）=（12—y）

x.=0、x，=15

解方程组得：

*，或2n

lYi=4

这四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.

【例13】已知三个数成等差数列，其和为126；

另外三个数成等比数列，

把两个数列的对应项依次相加，別离取得85,76,84.求这两个数列.

解设成等差数列的三个数为b-d,b,b+d,由已知，b-d+b+b+d=126Ab=42这三个数可写成42-d,42,42+d.

再设另三个数为a,aq,aq2.由题设，得

a+42-d=85

ap+42=76

aq24-42+d=84

a-d=43①

整理，得'

aq=34②

aq2+d=42③

aj=17或玄2=68

当a=17时,q=2,d=-26

当a=68时，q=*,d=25

从而取得：

成等比数列的三个数为17,34,68,现在成等差的三个数为6&

42,16：

或成等比的三个数为68,34,17,现在成等差的三个数为17,42,67.

数列，a3xa4.巧的倒数成等差数列，证明:

aPa3.a5成等比数列.证明由已知，有

2a2=al+a3

①

aj=•a4

211

=—H

a4a3a5

由③，得aq二竺4

a3+a5

由⑪得"

2=—1代入②，得

°

a,+a32a3•a5

■zz，■•■•

2a3+a5

整理，得aJ（aZ）

a3+a5

即a3（a3+a5）=a5（aj+a3）

=a,a5+a3a5

所以aHa3.a5成等比数列.

【例15]已知（b-c）logmx+（c-a）logmy+（a-b）logmz=0・

（1）设a,b,c依次成等差数列，且公差不为零，求证：

x,y,z成等比数列.

（2）设正数x,y,z依次成等比数列，且公比不为1,求证：

a,b,c成等差数列・

证明（l）Va,b,c成等差数列，且公差dHO

/.b—c=a一b=—d,c—a=2d

代入已知条件，得：

-d（logmx-21ogmy4-logmz）=0

Alogmx+logmz=21ogmy

/.）2=xz

•・・x,y,z均为正数

•••X,y,z成等比数列

⑵Tx,y,z成等比数列且公比qHl

•••y二xq,z=xq2代入已知条件得：

（b-c）logmx+（c-a）lognixq+（a—b）logmxq2=0

变形、整理得：

（c+a—2b）logmq=0

TqHl•'

•logmqHO

c+a—2b=0即2b=a+c

即a,b,c成等差数列