等比数列例题解析Word下载.docx

1、解（i）“5 ujq二（2） Va3 a5=a4 a3 a4 5=“： =8：習=2又 a2a6=a3a5=a4/.a7a3a4a5a6 二 a二 32【例4】 已知a0, b0且aHb,在a, b之间插入n个正数X, x?，,xn,使得a, xp X2,，Xjp b成等比数列,求证明 设这n+2个数所成数列的公比为q,则b=aqn+1【例5】 设a、b. c、d成等比数列，求证：（bc）2+（ca）2+（db）2=（a d）证法一 Ta、b、c、d成等比数列 -bed/.b-=ac, c2=bd, ad=bc左侧=b2-2bc+c2+c2-2ac+a2+d2-2bd4-b2=2（b?ac）+

2、2（bd）+（a?2bc+d?）=a?2ad+d2=（ad）?=右边证毕.证法二 Va. b. c、d成等比数列，设其公比为q,则:b=aq, c=aqh d=aq=/.左侧=（aqaq2 ）2+（aq2a）?+（aq?aq）2-2a2q3+a?q6a 7=（aaq）乙=（ad）2=右边说明 这是一个等比数列与代数式的恒等变形相综合的题目.证法一是抓住 了求证式中右边没有b、c的特点，走的是利用等比的条件消去左侧式中的b、c的 路子.证法二则是把a、b、c、d统一化成等比数列的大体元素a、q去解决的证 法二略微麻烦些，但它所用的统一成大体元素的方式，却较证法一的方式具有普遍 性.【例6】 求数

3、列的通项公式：（Dian）中，a=2, axi=3an+2（2）an）中，a=2, a2=5,且 an+2-3an+1+2an=0思路：转化为等比数列.解（!）an+l =3an+2=an+j-|-l = 3（an4-l）Aan+1是等比数列.an+ 1=3 3n_1 an=3n-l（2）an+2_3an+l+2an = 0 = an+2 -Qn+1 = 2（an+l _an）.an+1-an）是等比数列，即an+l-an=（a2-al）* 2n_1=3 2n_1再注意到 a2a）=3, aja2=3 2, 8483=3 2、，anan_j=3 2n这些等式相加，即能够取得2”1 _ an =

4、3l + 2 + 22H 2n2 = 3 ）= 3（2n1）说明 解题的关键是发觉一个等比数列，即化生疏为已知.（1）中发觉an+l是等比数列，（2）中发觉an+i-an是等比数列，这也是通常说的化归思想的一种表 现.【例7】若实数山、a?、as、都不为零，且满足（aj+a；）a-2a2（a!+a3）a4H-a= 0求证：aP a2 a?成等比数列，且公比为证 VaP a2x a3. a4均为不为零的实数:.（a； +a2）x 2a?（山+巧）x+a； +a二0为实系数一元二次方程等式（a：+“；）aj2a?（a+33）34+3；二0说明上述方程有实数根a, 上述方程的判别式AMO,即2a2（

5、a1+a3）2 4（a +a；）（a；+a；=_4（3；3冷3）2 $0/. （a；玄冋）? WO又Ta、a?、a3为实数a,a3）2 20必有af冋 =OB卩卅 二|门3因此aP a2. 33成等比数列“ 2a2（ai+a3） a2（ai+a3） a2乂 J 、 = 一2（a +a；） a； /.a4即为等比数列a】.a2, a3的公比.【例8】 若a、b、c成等差数列，且a+1、b、c与a、b、c+2都成等比数 列，求b的值.解 设花b、c别离为b-d. b. b+d,由已知b-d+l. b、b+d与b-d、 b、b+d+2都成等比数列，有b2 =（b-d+l）（b+d） = （bd）（b

6、+d + 2） 整理，得=b d +b + d=b2 d2 + 2b 2db+d=2b2d 即 b=3d代入，得9d2=（3d-d+l）（3d+d）9d2=（2d+l ） 4d解之，得d=4或d=0（舍）Ab=12【例9】 已知等差数列卯的公差和等比数列bj的公比都是d,又知dHl,.11, aqnbq，a0=bo：求心与d的值；（2）b16是不是心胡中的项?运用通项公式列方程3,（1d3） = 3dj（ld ） = 9d =d6+d3-2 = 0= dj = 1（舍）或d? = yf-2 a】=d = V2 d = -V2Vb16=b! dl5=_32b且二 a i + 3d = -2/2

7、= b4 b4 = bj d3 = 2b, = 2y2 /.b| = H| = y2 .b16=-32b1=-32ap 若是 b6 是%中的第 k 项，则32a=a +（k 1 ）d （k 1 ）d=33a =33d k=34即b 16是a【J中的第34项.21【例10】设a“是等差数列，bn = （）an ,已知b +b2+b3 =,2 8 b1b2b3=|,求等差数列的通项.O解 设等差数列g的公差为d，则an=ai+ m-l）d吩3=（护.（i）a+2d =（I严叫；li|b,b2b3 =-,解彳导b；二秒，解得b2 = ,代入已知条件o O 21 bgbs = 21整理得S+b2+b3

8、=解那个方程组，得1 1b,=2, bs 飞或5 飞,b3=2.aj= 11 d=2 或 a=3, d=2/. -Pi a= 1 d=2 时i an=aj +（n 1 ）d=2n3当 a=3, d=2 时,an=aj +（n l）d=52n【例11】 三个数成等比数列.若第二个数加4就成等差数列，再把那个等 差数列的第3项加32又成等比数列，求这三个数.解法一 按等比数列设三个数，设原数列为a, aq, aq2由己知：a, aq+4, aq2成等差数列BP： 2（aq+4）=a+aq2a, aq+4, aq2+32成等比数列 （aq+4）2=a（aq?+32）aq+2 = 4a，两式联立解得：

9、2 a=9 q = 5这三数为：2, 6, 18或g， b-4, b+d解法二按等差数列设三个数，设原数列为b-d, 由已知：三个数成等比数列即：（b-4）2=（b-d）（b+d）8bd = 16b-d, b, b+d+32成等比数列即 b2=（b-d）（b+d+32） 32bd2 32d = 0三数为6， +或2，6, 18.由已知:ap a2, a3成等比数列得：a；二am ap a?+4, 83成等差数列2（a2+4）=ai+a3ap a2+4, g+32成等比数列（a2+4）2=a（a3+32）3）= 2或h = 6=18等比数列的数设为a, aq, aq2（或二a, aq）是一种常用

10、技巧，可起到 q简化讣算进程的作用.【例12 有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，而 且第一个数与第四个数的和是16,第二个数与第三个数的和是12,求这四个数.分析本题有三种设未知数的方式方式一 设前三个数为a-d, a, a+d,则第四个数由已知条件可推得:Q + d）2方式二 设后三个数为b, bq, bq2,则第一个数由已知条件推得为2b-bq方式三 设第一个数与第二个数别离为X, y,则第三、第四个数依次为12 y, 16x.由这三种设法可利用余下的条件列方程组解出相关的未知数，从而解出所求 的四个数，解法一设前三个数为a-d, a, a+d,则第四个数为乞刮匚.a_

11、 （a + df依题意，有3 aa+（a+d） = 12所求四个数为：0, 4, 8, 16或15, 9, 3, 1解法二设后三个数为：b, bq, bq2,则第一个数为：2b-bq依题意有:2bbq + bq2 = 16b + bq 二 120, 4, 8, 16或15, 9, 3, 1 解法三设四个数依次为x, y, 12-y, 16-x.依题意有x+（12y） = 2y y （16x） = （12y）x. = 0 、 x，= 15解方程组得：* ，或 2 nlYi =4这四个数为0, 4, 8, 16或15, 9, 3, 1.【例13】 已知三个数成等差数列，其和为126；另外三个数成等

12、比数列，把两个数列的对应项依次相加，別离取得85, 76, 84.求这两个数列.解 设成等差数列的三个数为b-d, b, b+d,由已知，b-d+b+b+d=126 Ab=42 这三个数可写成42-d, 42, 42+d.再设另三个数为a, aq, aq2.由题设，得a+42-d = 85 ap+42 = 76aq24-42+d=84a-d=43 整理，得aq = 34 aq2+d=42 aj=17 或玄2=68当 a=17 时,q=2, d=-26当 a = 68 时，q = * , d = 25从而取得：成等比数列的三个数为17, 34, 68,现在成等差的三个数为6& 42, 16：或成

13、等比的三个数为68, 34, 17,现在成等差的三个数为17, 42, 67.数列，a3x a4.巧的倒数成等差数列，证明:aP a3. a5成等比数列. 证明由已知，有2a2=al+a3aj = a42 1 1 =H a4 a3 a5由，得aq二竺4a3+a5由得2=1代入，得 a, +a3 2a3 a5 zz， 2 a3 + a5整理，得aJ（aZ）a3 +a5即 a3（a3+a5）=a5（aj +a3）=a,a5+a3a5所以aH a3. a5成等比数列.【例 15 已知（b - c）logmx+（c - a）logmy+（a - b）logmz=0 （1）设a, b, c依次成等差数列

14、，且公差不为零，求证：x, y, z成等比数列.（2）设正数x, y, z依次成等比数列，且公比不为1,求证：a, b, c成等差数 列证明（l）Va, b, c成等差数列，且公差dHO/. bc=a 一 b=d, ca=2d代入已知条件，得：-d（logmx-21ogmy4-logmz）=0Alogmx+logmz=21ogmy/.）2=xzx, y, z均为正数X, y, z成等比数列Tx, y, z成等比数列且公比qHly二xq, z=xq2代入已知条件得：（b-c ）logmx+（c-a）lognixq+（ab）logmxq2=0变形、整理得：（c+a2b）logmq=0TqHl logmqHOc+a2b=0 即 2b=a+c即a, b, c成等差数列