最新九年级数学必考要点分类汇编精华版 中考压轴题综合知识的理解与应用.docx

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最新九年级数学必考要点分类汇编精华版中考压轴题综合知识的理解与应用

最新九年级数学必考要点分类汇编精华版

九年级数学中考压轴题专题复习

——综合知识的理解与应用

一．解答题（共11小题，满分110分，每小题10分）

1．（10分）已知：

如图，抛物线与x、y轴分别相交于A、B两点，将△AOB绕着点O逆时针旋90°到△A′OB′，且抛物线y=ax2+2ax+c（a≠0）过点A′、B′．

（1）求A、B两点的坐标；

（2）求抛物线y=ax2+2ax+c的解析式；

（3）点D在x轴上，若以B、B′、D为顶点的三角形与△A′B′B相似，求点D的坐标．

2．（10分）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A（3，0），C（0，1）．将矩形OABC绕原点逆时针旋转90°，得到矩形OA′B′C′．设直线BB′与x轴交于点M、与y轴交于点N，抛物线y=ax2+bx+c的图象经过点C′、M、N．解答下列问题：

（1）求出该抛物线所表示的函数解析式；

（2）将△MON沿直线BB′翻折，点O落在点P处，请你判断点P是否在该抛物线上，并请说明理由；

（3）将该抛物线进行一次平移（沿上下或左右方向），使它恰好经过原点O，求出所有符合要求的新抛物线的解析式．

3．（10分）在平面直角坐标系中，点A坐标为（1，1），过点A作AB⊥x轴，垂足为点B，△AOB绕点O逆时针方向旋转90°，得到△MON（如图所示），若二次函数的图象经过点A、M、O三点．

（1）求这个二次函数的解析式；

（2）如果把这个二次函数图象向右平移2个单位，得到新的二次函数图象与y轴的交点为C，求tan∠ACO的值；

（3）在

（2）的条件下，设新的二次函数图象的对称轴与x轴的交点为D，点E在这条对称轴上，如果△BCO与以点B、D、E所组成的三角形相似（相似比不为1），求点E的坐标．

4．（10分）如图，已知二次函数的图象经过点A（4，0）和点B（3，﹣2），点C是函数图象与y轴的公共点、过点C作直线CE∥AB．

（1）求这个二次函数的解析式；

（2）求直线CE的表达式；

（3）如果点D在直线CE上，且四边形ABCD是等腰梯形，求点D的坐标．

5．（10分）已知在△ABC中，∠A=45°，AB=7，，动点P、D分别在射线AB、AC上，且∠DPA=∠ACB，设AP=x，△PCD的面积为y．

（1）求△ABC的面积；

（2）如图，当动点P、D分别在边AB、AC上时，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；

（3）如果△PCD是以PD为腰的等腰三角形，求线段AP的长．

6．（10分）如图，已知抛物线的顶点坐标为M（1，4），且经过点N（2，3），与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C．

（1）求抛物线的解析式及点A、B、C的坐标；

（2）若直线y=kx+t经过C、M两点，且与x轴交于点D，试证明四边形CDAN是平行四边形；

（3）点P在抛物线的对称轴x=1上运动，请探索：

在x轴上方是否存在这样的P点，使以P为圆心的圆经过A、B两点，并且与直线CD相切？

若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

7．（10分）如图，在菱形ABCD中，AB=2cm，∠BAD=60°，E为CD边中点，点P从点A开始沿AC方向以每秒cm的速度运动，同时，点Q从点D出发沿DB方向以每秒1cm的速度运动，当点P到达点C时，P，Q同时停止运动，设运动的时间为x秒．

（1）当点P在线段AO上运动时．

①请用含x的代数式表示OP的长度；

②若记四边形PBEQ的面积为y，求y关于x的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；

（2）显然，当x=0时，四边形PBEQ即梯形ABED，请问，当P在线段AC的其他位置时，以P，B，E，Q为顶点的四边形能否成为梯形？

若能，求出所有满足条件的x的值；若不能，请说明理由．

8．（10分）如图，在平面直角坐标系中，以点C（1，1）为圆心，2为半径作圆，交x轴于A，B两点，开口向下的抛物线经过点A，B，且其顶点P在⊙C上．

（1）求∠ACB的大小；

（2）写出A，B两点的坐标；

（3）试确定此抛物线的解析式；

（4）在该抛物线上是否存在一点D，使线段OP与CD互相平分？

若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．

9．（10分）如图，抛物线交x轴于点A、B，交y轴于点C，连接AC，BC，D是线段OB上一动点，以CD为一边向右侧作正方形CDEF，连接BF，交DE于点P．

（1）试判断△ABC的形状，并说明理由；

（2）求证：

BF⊥AB；

（3）连接CP，记△CPF的面积为S1，△CPB的面积为S2，若S=S1﹣S2，试探究S的最小值．

10．（10分）已知二次函数y=﹣x2+（k+1）x﹣k的图象经过一次函数y=﹣x+4的图象与x轴的交点A．（如图）

（1）求二次函数的解析式；

（2）求一次函数与二次函数图象的另一个交点B的坐标；

（3）若二次函数图象与y轴交于点D，平行于y轴的直线l将四边形ABCD的面积分成1：

2的两部分，则直线l截四边形ABCD所得的线段的长是多少？

（直接写出结果）

答案与评分标准

一．解答题（共10小题，满分100分，每小题10分）

1．（10分）已知：

如图，抛物线与x、y轴分别相交于A、B两点，将△AOB绕着点O逆时针旋90°到△A′OB′，且抛物线y=ax2+2ax+c（a≠0）过点A′、B′．

（1）求A、B两点的坐标；

（2）求抛物线y=ax2+2ax+c的解析式；

（3）点D在x轴上，若以B、B′、D为顶点的三角形与△A′B′B相似，求点D的坐标．

考点：

二次函数综合题。

分析：

（1）令=0，解一元二次方程即可求出A点的坐标，B点是（0，c）．

（2）把点A′、B′的坐标代入y=ax2+2ax+c，求出a，c问题得解．

（3）因为相似对应的不唯一性，需要讨论，分别求出满足题意的D的坐标．

解答：

解：

（1）令=0，

解得：

x1=﹣4，x2=2

∵A点在x轴的负半轴，

∴x2=2（舍去）

∴A（﹣4，0），

∵点B是抛物线与y轴的交点，

∴B（0，﹣2）；

（2）由题意得A′（0，﹣4），B′（2，0），

代入y=ax2+2ax+c得；

（3）由题意有∠OB'B=45°，∠B′BA′=135°，且，

如果∠B′DB=135°，由于∠OB′B=45°，所以不可能；

如果∠DBB′=135°，由于∠OB′B=45°，所以也不可能；

若∠DB′B=135°，则点D在B'的右侧

当或时，△BB′D与△A′B′B相似，

得DB′=2或DB′=4，

∴D（4，0）或D（6，0）．

点评：

本题考查的是二次函数与相似的综合应用，这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件．

2．（10分）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A（3，0），C（0，1）．将矩形OABC绕原点逆时针旋转90°，得到矩形OA′B′C′．设直线BB′与x轴交于点M、与y轴交于点N，抛物线y=ax2+bx+c的图象经过点C′、M、N．解答下列问题：

（1）求出该抛物线所表示的函数解析式；

（2）将△MON沿直线BB′翻折，点O落在点P处，请你判断点P是否在该抛物线上，并请说明理由；

（3）将该抛物线进行一次平移（沿上下或左右方向），使它恰好经过原点O，求出所有符合要求的新抛物线的解析式．

考点：

二次函数综合题。

专题：

分类讨论。

分析：

（1）根据四边形OABC是矩形，A（3，0），C（0，1）求出B′的坐标，设直线BB′的解析式为y=mx+n，利用待定系数法即可求出此直线的解析式，进而可得出M、N两点的坐标，设二次函数解析式为y=ax2+bx+c，把CMN三点的坐标代入此解析式即可求出二次函数的解析式；

（2）设P点坐标为（x，y），连接OP，PM，由对称的性质可得出OP⊥MN，OE=PE，PM=OM=5，再由勾股定理求出MN的长，由三角形的面积公式得出OE的长，利用两点间的距离公式求出x、y的值，把x的值代入二次函数关系式看是否适合即可；

（3）由于抛物线移动的方向不能确定，故应分三种情况进行讨论．

解答：

解：

（1）∵四边形OABC是矩形，

∴B（3，1），

根据题意，得B′（﹣1，3）

把B（3，1），B′（﹣1，3）代入y=mx+n中，，

解得

∴m=﹣，n=

∴此一次函数的解析式为：

y=﹣x+，

∴N（0，），M（5，0）

设二次函数解析式为y=ax2+bx+c，

把C′（﹣1，0），N（0，），M（5，0）代入得：

，

解得，

∴二次函数的解析式为y=﹣x2+2x+；

（2）设P点坐标为（x，y），连接OP，PM，

∵O、P关于直线MN对称，

∴OP⊥MN，OE=PE，PM=OM=5，

∵N（0，），M（5，0），

∴MN===，OE===，

∴OP=2OE=2，

∴OP==2①，

PM==5②，

①②联立，解得，

把x=2代入二次函数的解析式y=﹣x2+2x+得，y=，

∴点P不在此二次函数的图象上；

（3）①在上下方向上平移时，根据开口大小不变，对称轴不变，

所以，二次项系数和一次项系数不变，

根据它过原点，把（0，0）这个点代入得常数项为0，

新解析式就为：

y=﹣x2+2x；

②在左右方向平移时，开口大小不变，二次项系数不变，为﹣，

这时根据已经求出的C′（﹣1，0），M（5，0），可知它与X轴的两个交点的距离还是为6，

所以有两种情况，向左移5个单位，此时M与原点重合，另一点经过（﹣6，0），

代入解出解析式为y=﹣x2﹣3x；

③当它向右移时要移一个单位C′与原点重合，此时另一点过（6，0），

所以解出解析式为y=﹣x2+3x．

点评：

本题考查的是二次函数综合题，涉及到用待定系数法求二次函数及一次函数的解析式，二次函数图象的几何变换等相关知识，在解③时要应用分类讨论的思想进行解答．

3．（10分）在平面直角坐标系中，点A坐标为（1，1），过点A作AB⊥x轴，垂足为点B，△AOB绕点O逆时针方向旋转90°，得到△MON（如图所示），若二次函数的图象经过点A、M、O三点．

（1）求这个二次函数的解析式；

（2）如果把这个二次函数图象向右平移2个单位，得到新的二次函数图象与y轴的交点为C，求tan∠ACO的值；

（3）在

（2）的条件下，设新的二次函数图象的对称轴与x轴的交点为D，点E在这条对称轴上，如果△BCO与以点B、D、E所组成的三角形相似（相似比不为1），求点E的坐标．

考点：

二次函数综合题。

分析：

（1）本题需先得出M点的坐标，再设出二次函数的解析式为y=ax2+bx+c，把A、M、O三点代入即可求出解析式．

（2）本题先得出图象向右平移2个单位的解析式，从而得出与y轴的交点坐标，再连接AN，即可求出tan∠ACO的值．

（3）本题需先分根据

（2）的解析式得出对称轴为直线x=2，得出D点的坐标，再设出点E的坐标，这时再分两种情况进行讨论，当点E在x轴的上方时，得出，即可求出点E的坐标，当点E在x轴的下方时，同理可得出点E的坐标．

解答：

解：

（1）由旋转可知：

点M的坐标为（﹣1，1），

设所求二次函数的解析式为y=ax2+bx+c

∵二次函数的图象经过点A、M、O三点，点A坐标为（1，1），

∴

∴

∴这个二次函数的解析式为y=x2．

（2）将这个二次函数图象向右平移2个单位，

得到新的二次函数的解析式为y=（x﹣2）2．

∴二次函数y=（x﹣2）2的图象与y轴的交点为C为（0，4），

由旋转可知：

点N的坐标为（0，1），连接AN．

在Rt△ANC中，AN=1，CN=3，

∴．

（3）由

（2）得：

新的二次函数y=（x﹣2）2图象的对称轴为直