人教A版高中数学必修二同步学习讲义第二章 点直线平面之间的位置关系章末复习课.docx

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人教A版高中数学必修二同步学习讲义第二章点直线平面之间的位置关系章末复习课

学习目标　1.整合知识结构，梳理各知识网络，进一步巩固、深化所学知识.2.提高综合运用知识的能力和空间想象能力，在空间实现平行关系、垂直关系、垂直与平行关系之间的转化．

1.四个公理

公理1：

如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内.

公理2：

过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．

公理3：

如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．

公理4：

平行于同一条直线的两条直线互相平行．

2．直线与直线的位置关系

3．平行的判定与性质

（1）直线与平面平行的判定与性质

判定

性质

定义

定理

图形

条件

a∩α＝∅

a⊂α，

b⊄α，

a∥b

a∥α

a∥α，a⊂β，

α∩β＝b

结论

a∥α

b∥α

a∩α＝∅

a∥b

（2）面面平行的判定与性质

判定

性质

定义

定理

图形

条件

α∩β＝∅

a⊂β，b⊂β，

a∩b＝P，

a∥α，b∥α

α∥β，

α∩γ＝a，

β∩γ＝b

α∥β，a⊂β

结论

α∥β

α∥β

a∥b

a∥α

（3）空间中的平行关系的内在联系

4．垂直的判定与性质

（1）直线与平面垂直的判定与性质

图形

条件

结论

判定

a⊥b，b⊂α（b为α内的任意直线）

a⊥α

a⊥m，a⊥n，m、n⊂α，m∩n＝O

a⊥α

a∥b，a⊥α

b⊥α

性质

a⊥α，b⊂α

a⊥b

a⊥α，b⊥α

a∥b

（2）平面与平面垂直的判定与性质定理

文字语言

图形语言

符号语言

判定定理

如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直

⇒α⊥β

性质定理

如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面

⇒l⊥α

（3）空间中的垂直关系的内在联系

5．空间角

（1）异面直线所成的角

①定义：

设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角（或直角）叫做异面直线a，b所成的角（或夹角）．

②范围：

设两异面直线所成角为θ，则0°<θ≤90°.

（2）直线和平面所成的角

①平面的一条斜线与它在平面内的射影所成的锐角叫做这条直线与这个平面所成的角．

②当直线与平面垂直和平行（或直线在平面内）时，规定直线和平面所成的角分别为90°和0°.

（3）二面角的有关概念

①二面角：

从一条直线和由这条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．

②二面角的平面角：

以二面角的棱上任意一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角．

类型一　几何中共点、共线、共面问题

例1　如图所示，空间四边形ABCD中，E，F分别为AB，AD的中点，G，H分别在BC，CD上，且BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2.

求证：

（1）E、F、G、H四点共面；

（2）GE与HF的交点在直线AC上．

证明　

（1）∵BG∶GC＝DH∶HC，

∴GH∥BD，

又EF∥BD，∴EF∥GH，

∴E、F、G、H四点共面．

（2）∵G、H不是BC、CD的中点，∴EF≠GH.

又EF∥GH，∴EG与FH不平行，

则必相交，设交点为M.

⇒M∈面ABC且M∈面ACD

⇒M在面ABC与面ACD的交线上，

又面ABC∩面ACD＝AC⇒M∈AC.

∴GE与HF的交点在直线AC上．

反思与感悟　

（1）证明共面问题

证明共面问题，一般有两种证法：

一是由某些元素确定一个平面，再证明其余元素在这个平面内；二是分别由不同元素确定若干个平面，再证明这些平面重合．

（2）证明三点共线问题

证明空间三点共线问题，通常证明这些点都在两个面的交线上，即先确定出某两点在某两个平面的交线上，再证明第三个点是两个平面的公共点，当然必在两个平面的交线上．

（3）证明三线共点问题

证明空间三线共点问题，先证两条直线交于一点，再证明第三条直线经过这点，把问题转化为证明点在直线上的问题．

跟踪训练1　如图，O是正方体ABCD－A1B1C1D1上底面ABCD的中心，M是正方体对角线AC1和截面A1BD的交点．求证：

O、M、A1三点共线．

证明　∵O∈AC，AC⊂平面ACC1A1，

∴O∈平面ACC1A1.

∵M∈AC1，AC1⊂平面ACC1A1，

∴M∈平面ACC1A1.

又已知A1∈平面ACC1A1，

即有O、M、A1三点都在平面ACC1A1上，又O、M、A1三点都在平面A1BD上，所以O、M、A1三点都在平面ACC1A1与平面A1BD的交线上，

所以O、M、A1三点共线．

类型二　平行、垂直关系

例2　如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，A1B1＝A1C1，D，E分别是棱BC，CC1上的点（点D不同于点C），且AD⊥DE，F为B1C1的中点．

求证：

（1）平面ADE⊥平面BCC1B1；

（2）直线A1F∥平面ADE.

证明　

（1）因为ABC－A1B1C1是直三棱柱，

所以CC1⊥平面ABC.

又AD⊂平面ABC，所以CC1⊥AD.

又因为AD⊥DE，

CC1，DE⊂平面BCC1B1，

CC1∩DE＝E，

所以AD⊥平面BCC1B1.又AD⊂平面ADE，

所以平面ADE⊥平面BCC1B1.

（2）因为A1B1＝A1C1，F为B1C1的中点，

所以A1F⊥B1C1.

因为CC1⊥平面A1B1C1，

且A1F⊂平面A1B1C1，

所以CC1⊥A1F.

又因为CC1，B1C1⊂平面BCC1B1，

CC1∩B1C1＝C1，

所以A1F⊥平面BCC1B1.

由

（1）知AD⊥平面BCC1B1，

所以A1F∥AD.

又AD⊂平面ADE，A1F⊄平面ADE，

所以A1F∥平面ADE.

引申探究

如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AA1＝4，点D是AB的中点．

（1）求证：

AC⊥BC1，

（2）求证：

AC1∥平面CDB1.

证明　

（1）在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面三边长AC＝3，BC＝4，AB＝5，所以AC⊥BC.

又因为C1C⊥AC，C1C∩CB＝C，

所以AC⊥平面BCC1B1.

因为BC1⊂平面BCC1B1，

所以AC⊥BC1.

（2）设CB1与C1B的交点为E，连接DE，四边形BCC1B1为正方形．

因为D是AB的中点，E是BC1的中点，

所以DE∥AC1.

因为DE⊂平面CDB1，

AC1⊄平面CDB1，

所以AC1∥平面CDB1.

反思与感悟　

（1）判断线面平行的两种常用方法

面面平行判定的落脚点是线面平行，因此掌握线面平行的判定方法是必要的，判定线面平行的两种方法：

①利用线面平行的判定定理．

②利用面面平行的性质，即当两平面平行时，其中一平面内的任一直线平行于另一平面．

（2）判断面面平行的常用方法

①利用面面平行的判定定理．

②面面平行的传递性（α∥β，β∥γ⇒α∥γ）．

③利用线面垂直的性质（l⊥α，l⊥β⇒α∥β）．

（3）判定线面垂直的方法

①线面垂直定义（一般不易验证任意性）．

②线面垂直的判定定理（a⊥b，a⊥c，b⊂α，c⊂α，b∩c＝M⇒a⊥α）．

③平行线垂直平面的传递性质（a∥b，b⊥α⇒a⊥α）．

④面面垂直的性质（α⊥β，α∩β＝l，a⊂β，a⊥l⇒a⊥α）．

⑤面面平行的性质（a⊥α，α∥β⇒a⊥β）．

⑥面面垂直的性质（α∩β＝l，α⊥γ，β⊥γ⇒l⊥γ）．

跟踪训练2　如图，AB是圆O的直径，PA垂直圆O所在的平面，C是圆O上的点．

（1）求证：

BC⊥平面PAC；

（2）设Q为PA的中点，G为△AOC的重心，求证：

QG∥平面PBC.

证明　

（1）由AB是圆O的直径，得AC⊥BC，由PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，得PA⊥BC.

又PA∩AC＝A，PA⊂平面PAC，AC⊂平面PAC，

所以BC⊥平面PAC.

（2）连接OG并延长交AC于点M，

连接QM，QO，由G为△AOC的重心，得M为AC的中点．

由Q为PA的中点，得QM∥PC，

又O为AB的中点，得OM∥BC.

因为QM∩MO＝M，QM⊂平面QMO，MO⊂平面QMO，BC∩PC＝C，BC⊂平面PBC，PC⊂平面PBC，

所以平面QMO∥平面PBC.

因为QG⊂平面QMO，所以QG∥平面PBC.

类型三　空间角的求解

例3　如图所示，四棱锥P－ABCD的底面ABCD是平行四边形，BA＝BD＝，AD＝2，PA＝PD＝，E，F分别是棱AD，PC的中点．

（1）证明：

EF∥平面PAB；

（2）若二面角P－AD－B为60°.

①证明：

平面PBC⊥平面ABCD；

②求直线EF与平面PBC所成角的正弦值．

（1）证明　如图所示，取PB的中点M，连接MF，AM.

因为F为PC的中点，所以MF∥BC，且MF＝BC.

由已知有BC∥AD，BC＝AD，

又由于E为AD的中点，

因而MF∥AE且MF＝AE，

故四边形AMFE为平行四边形，所以EF∥AM.

又AM⊂平面PAB，而EF⊄平面PAB，

所以EF∥平面PAB.

（2）①证明　连接PE，BE.

因为PA＝PD，BA＝BD，而E为AD的中点，

所以PE⊥AD，BE⊥AD，

所以∠PEB为二面角P－AD－B的平面角．

在△PAD中，由PA＝PD＝，AD＝2，可解得PE＝2.

在△ABD中，由BA＝BD＝，AD＝2，可解得BE＝1.

在△PEB中，PE＝2，BE＝1，∠PEB＝60°，故可得∠PBE＝90°，即BE⊥PB.

又BC∥AD，BE⊥AD，从而BE⊥BC，又BC∩PB＝B，

因此BE⊥平面PBC.

又BE⊂平面ABCD，所以平面PBC⊥平面ABCD.

②解　连接BF，由①知，BE⊥平面PBC，所以∠EFB为直线EF与平面PBC所成的角．由PB＝及已知，得∠ABP为直角，而MB＝PB＝，可得AM＝，故EF＝.又BE＝1，故在Rt△EBF中，

sin∠EFB＝＝.所以直线EF与平面PBC所成角的正弦值为.

反思与感悟　

（1）求异面直线所成的角常用平移转化法（转化为相交直线的夹角）．

（2）求直线与平面所成的角常用射影转化法（即作垂线、找射影）．

（3）二面角的平面角的作法常有三种：

①定义法；②垂线法；③垂面法．

跟踪训练3　如图，正方体的棱长为1，B′C∩BC′＝O，求：

（1）AO与A′C′所成角的大小；

（2）AO与平面ABCD所成角的正切值；

（3）平面AOB与平面AOC所成角的大小．

解　

（1）∵A′C′∥AC，

∴AO与A′C′所成的角就是∠OAC.

∵AB⊥平面BC′，OC⊂平面BC′，

∴OC⊥AB，又OC⊥BO，AB∩BO＝B，

∴OC⊥平面ABO.

又OA⊂平面ABO，∴OC⊥OA.

在Rt△AOC中，OC＝，AC＝，

sin∠OAC＝＝，

∴∠OAC＝30°.

即AO与A′C′所成角为30°.

（2）如图，作OE⊥BC于E，连接AE.

∵平面BC′⊥平面ABCD，

∴OE⊥平面ABCD，

∴∠OAE为OA与平面ABCD所成的角．

在Rt△OAE中，OE＝，AE＝＝，

∴tan∠OAE＝＝.

即AO与平面ABCD所成角的正切值为.

（3）∵OC⊥OA，OC⊥OB，OA∩OB＝O，

∴OC⊥平面AOB.

又∵OC⊂平面AOC，

∴平面AOB⊥平面AOC.

即平面AOB与平面AOC所成角为90°.

1．若l1，l