素数无穷的一种证明Word文档下载推荐.docx

素数无穷的一种证明Word文档下载推荐.docx

《素数无穷的一种证明Word文档下载推荐.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《素数无穷的一种证明Word文档下载推荐.docx（6页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

对于任一奇数M（M＞2），关于某一奇素数p，p≤M，设集合{p，3p，5p，7p，9p，…，（2m-1）p}中奇数的总个数与集合{1，3，5，7，9，…，M}中奇数的总个数的比值为t,则：

（1）、当（2m-1）p=M时，t＞1÷

（2）、当（2m-1）p+p-1=M时，t＝1÷

（3）、当（2m-1）p+p-1＜M时，t＜1÷

（4）、当（2m-1）p+p-1＞M时，t＞1÷

其中（2m-1）p为该形式下不大于正整数M的最大奇数。

因为集合{p，3p，5p，7p，9p，…，（2m-1）p}中有m个奇数,集合{1，3，5，7，9，…，M}中有（M+1）÷

2个奇数，那么集合{p，3p，5p，7p，9p，…，（2m-1）p}中奇数的总个数与集合{1，3，5，7，9，…，M}中奇数的总个数的比值t为下列情形之一：

（ⅰ）、当（2m-1）p=M时，则（M+1）÷

2=（2m-1）p÷

2＜mp,所以t=m÷

（M+1）＞1÷

p；

（ⅱ）、当（2m-1）p+p-1=M时，则（M+1）÷

2=[（2m-1）p+p-1+1]÷

2=mp，所以t=m÷

（ⅲ）、当（2m-1）p+p-1＜M时，则（M+1）÷

2＞mp，所以t=m÷

（M+1）＜1÷

（ⅳ）、当（2m-1）p+p-1＞M时，则（M+1）÷

2＜mp，所以t=m÷

（M+1）＞1÷

综上所述，引理2成立。

引理3：

对于一个相当大的正整数M，关于任一小于正整数M的奇素数p，设集合{p，2p，3p，…，mp}中正整数的总个数与集合{1，2，3，4,5,6，…，M}中正整数的总个数的比值为t，则t≈1÷

p（其中mp为该形式下不大于正整数M的最大正整数）。

对于任一奇素数p，集合{p，2p，3p，…，mp}有m个元素，集合{1，2，3，4,5,6，…，M}有M个无素，那么集合{p，2p，3p，…，mp}中正整数的总个数与集合{1，2，3，4,5,6，…，M}中正整数的总个数的比值t为下列情形之一：

（ⅱ）、当mp≠M时，因为mp为该形式下不大于正整数M的最大正整数，那么mp＜M，我们令M=mp+h，那么h＜p，所以mp＜M=mp+h＜（m+1）p，则m÷

（m+1）p＜t=m÷

M＜1÷

p，因为正整数M相当大，那么正整数m也相当大，那么m÷

（m+1）p≈1÷

p≈m÷

M，故t≈1÷

综上所述，引理3成立。

引理4：

对于一个相当大的奇数M，关于任一小于奇数M的奇素数p，设集合{p，3p，5p，7p，9p，…，（2m-1）p}中奇数的总个数与集合{1，3，5，7，9，…，M}中奇数的总个数的比值为t，则t≈1÷

p（其中（2m-1）p为该形式下不大于奇数M的最大奇数）。

对于任一奇素数p，集合{p，3p，5p，7p，9p，…，（2m-1）p}共有m个奇数，集合{1，3，5，7，9，…，M}共有（M+1）÷

（ⅰ）、当（2m-1）p=M时，（M+1）÷

2=mp-（p-1）÷

2，因为m÷

（mp-p）=m÷

（m-1）p，当M为相当大的奇数时，那么m也为相当大的正整数，则m÷

（m-1）p≈1÷

p，即m÷

[mp-（p-1）÷

2]≈1÷

p，t≈1÷

2=mp，那么t=m÷

mp=1÷

（ⅲ）、当（2m-1）p+p-1＜M时，我们令（2m-1）p+p-1+h=M，然而1≤h＜p+1，这是因为（2m-1）p为该形式下不大于奇数M的最大奇数，我们假设令h=p，则（M+1）÷

2=mp+p÷

2＜（m+1）p，即mp＜mp+p÷

2＜（m+1）p，当M为相当大的奇数时，那么m也为相当大的正整数，然而m÷

[（m+1）p]≈1÷

p，故t≈1÷

（ⅳ）、当（2m-1）p+p-1＞M时，我们令（2m-1）p+p-1-h=M，然而1≤h≤p-1，这是因为（2m-1）p为该形式下不大于奇数M的最大奇数，我们假设令h=p-1，则（M+1）÷

2=[mp-（p-1）÷

2]＞（m-1）p，即（m-1）p＜[mp-（p-1）÷

2]＜mp，当M为相当大的奇数时，那么m也为相当大的正整数，则m÷

[（m-1）p]≈1÷

综上所述，引理4成立。

引理5：

对于任一比较大的正整数M，设奇素数p1，p2，p3，…，pt均为不大于√M的全体奇素数（pi＜pj，i＜j，i、j=1，2，3，…，t），那么在区间[√M，M]中任何一个奇合数a，奇合数a均能被集合{p1，p2，p3，…，pt}中某一个奇素数pi（i=1，2，3，…，t）整除。

设奇数a为区间[√M，M]中的一个奇合数，不管奇合数a等于M还是小于M，奇合数a总可以分解为两个均不小于3的奇数的乘积，不妨设a=b·

c，b≥3，c≥3，那么b或c中至少有一个素因子d，d≤√M。

故引理5成立。

定义2：

在集合{1，3，5，7，9，…，（M-3），（M-1）}中筛除属于集合{3p，5p，7p，9p，…，（2m-1）p}中的全体元素，这种筛除方式，称之为埃拉托斯特尼顺筛（简称顺筛）；

其中M为比较大的偶数，p为小于偶数M的奇素数，（2m-1）p为该形式下小于偶数M的最大奇数。

定义3：

对于正实数x，符号〔x〕表示为不小于x的最小正整数；

符号【x】表示为不大于x的最大正整数。

引理6：

设有一个相当大的正整数M，对于任一小于正整数M的奇素数p，集合{p，2p，3p，…，mp}中正整数的总个数为m，其中mp为该形式下不大于正整数M的最大正整数，那么m≤M÷

（ⅰ）、当mp=M时，那么m=M÷

（ⅱ）、当mp≠M时，因为mp为该形式下不大于正整数M的最大正整数，我们设M=mp+k，显然k为正整数，且k＜p，那么m＜（mp+k）÷

p，即m＜M÷

综上所述，引理6成立。

引理7：

设有一个相当大的奇数M，对于任一小于奇数M的奇素数p，集合{p，3p，5p，7p，9p，…，（2m-1）p}中奇数的总个数为m，其中（2m-1）p为该形式下不大于奇数M的最大奇数，那么m≈M÷

对于任一小于奇数M的奇素数p，集合{p，3p，5p，7p，9p，…，（2m-1）p}中共有m个奇数，集合{1，3，5，7，9，…，M}中共有（M+1）÷

2个奇数，那么集合{1，3，5，7，9，…，M}中含全体奇素数p的倍数（包括奇素数p在内）的总个数为下列情形之一：

（ⅰ）、当（2m-1）p=M时，集合{1，3，5，7，9，…，M}中共有（M+1）÷

2个奇数，而（M+1）÷

2]，因为[mp-（p-1）÷

2]÷

p＞（m-1）p÷

p=（m-1），又因为M为相当大的奇数，那么m也为相当大的正整数，故m≈M÷

（ⅱ）、当（2m-1）p+p-1=M时，（M+1）÷

2=mp，则m=M÷

（ⅲ）、当（2m-1）p≠M，（2m-1）p+p-1＜M时，我们令（2m-1）p+p-1+h=M，h为正整数，然而1≤h＜p+1，这是因为h=p+1时与（2m-1）p为该形式下不大于奇数M的最大奇数相矛盾；

我们令h=p，则（M+1）÷

2=[mp+p÷

2]＜（m+1）p，即mp＜[mp+（p-1）÷

2]＜（m+1）p，因为M为相当大的奇数，那么m也为相当大的正整数，故m≈M÷

（ⅳ）、当（2m-1）p≠M，（2m-1）p+p-1＞M时，我们令（2m-1）p+p-1-h=M，然而1≤h＜p-1，这是因为h=p-1时与（2m-1）p为该形式下不大于奇数M的最大奇数相矛盾；

我们令h=p-2，则（M+1）÷

2]＜mp，因为M为相当大的奇数，那么m也为相当大的正整数，故m≈M÷

综上所述，引理7成立。

引理8：

对于一个相当大的奇数M，关于任何两个均小于正整数M的奇素数p和q（p≠q），若在集合{1，3，5，7，9，…，M}中筛除属于集合{p，3p，5p，7p，9p，…，（2m-1）p}中的全体元素和筛除属于集合{q，3q，5q，7q，9q，…，（2m´

-1）q}中的全体元素，则有下列不等式成立：

W-【W÷

p】-【W÷

q】+【W÷

（pq）】≈【W（1-1÷

p）（1-1÷

q）】。

其中W为集合{1，3，5，7，9，…，M}中元素的个数，（2m-1）p为该形式下不大于奇数M的最大奇数，（2m´

-1）q为该形式下不大于奇数M的最大奇数。

对于一个相当大的奇数M，由引理4和引理6以及引理7可知，关于任一小于奇数M的奇素数g，那么集合{g，3g，5g，7g，9g，…，（2m-1）g}中奇数的总个数与集合{1，3，5，7，9，…，M}中奇数的总个数的比值约等于1÷

g，其中（2m-1）g为该形式下不大于奇数M的最大正整数；

那么任何两个均小于正整数M的奇素数p和q（p≠q），若要在集合{1，3，5，7，9，…，M}中筛除属于集合{p，3p，5p，7p，9p，…，（2m-1）p}中的全体奇数和筛除属于集合{q，3q，5q，7q，9q，…，（2m´

-1）q}中的全体奇数，又因【W÷

p】≈W÷

p，【W÷

q】≈W÷

q，【W÷

（pq）】≈W÷

（pq），则有W-【W÷

（pq）】≈〔W（1-1÷

p）〕-【W÷

q（1-1÷

p）】≈【W（1-1÷

q）】，其中W为集合{1，3，5，7，9，…，M}中奇数的总个数。

故引理8成立。

引理9：

对于一个相当大的奇数M，设奇素数p1，p2，p3，…，pt均为不大于√M的全体奇素数（pi＜pj，i＜j，i、j=1，2，3，…，t），若需在集合{1，3，5，7，9，…，M}中筛除全体奇合数，那么只需在集合{1，3，5，7，9，…，M}中筛除属于集合{p1，3p1，5p1，7p1，9p1，…，（2m1-1）p1}中的全体元素，筛除属于集合{p2，3p2，5p2，7p2，9p2，…，（2m2-1）p2}中的全体元素，筛除属于集合{p3，3p3，5p3，7p3，9p3，…，（2m3-1）p3}中的全体元素，…，筛除属于集合{pt，3pt，5pt，7pt，9pt，…，（2mt-1）pt}中的全体元素；

则有下列不等式成立：

W-（【W÷

p1】+【W÷

p2】+【W÷

p3】+…+【W÷

pt】）+[【W÷

（p1p2）】+【W÷

（p1p3）】+【W÷

（p1p4）】+…+【W÷

（pt-1pt）】]-[（【W÷

（p1p2p3）】+【W÷

（p1p2p4）】+【W÷

（p1p2p5）】+…+【W÷

（pt-2pt-1pt）】]+…+（-1）t【W÷

（p1p2p3…pt-2pt-1pt）】≈【W（1-1÷

p1）（1-1÷

p2）（1-1÷

p3）…（1-1÷

pt-1）（1-1÷

pt）】。

其中W为集合{1，3，5，7，9，…，M}中奇数的总个数，（2m1-1）p1为该形式下不大于奇数M的最大奇数，（2m2-1）p2为该形式下不大于奇数M的最大奇数，（2m3-1）p3为该形式下不大于奇数M的最大奇数，…，（2mt-1-1）pt-1为该形式下不大于奇数M的最大奇数，（2mt-1）pt为该形式下不大于奇数M的最大奇数。

由引理4和引理5以及引理6和引理7可知，因为在区间[√M，M]中的任何一个奇合数a，奇合数a均能被集合{p1，p2，p3，…，pt}中某一个奇素数pi整除，那么W-（【W÷

（p1p2p3…pt-2pt-1pt）】=W-【W÷

p1】-（【W÷

p2】-【W÷

（p1p2）】）-（【W÷

p3】-【W÷

（p1p3）】-【W÷

（p2p3）】+【W÷

（p1p2p3）】）-…-（【W÷

pt】-【W÷

（p1pt）】-【W÷

（p2pt）】-【W÷

（p3pt）】-…-【W÷

（pt-1pt）】+【W÷

（p1p2pt）】+【W÷

（p1p3pt）】+【W÷

（p1p4pt）】+…+【W÷

（pt-2pt-1pt）】）-…+（-1）t【W÷

（p1p2p3…pt-2pt-1pt）】≈〔W（1-1÷

p1）〕-【W÷

p2（1-1÷

p1）】-（【W÷

p2）】-（【W÷

p3（1-1÷

p2）】）-…-（【W÷

p3）】-…+（-1）t【W÷

故引理9成立。

定理1：

素数无穷多。

根据引理5，对于任一比较大的正整数M，设奇素数p1，

p2，p3，…，pt均为不大于√M的全体奇素数（pi＜pj，i＜j，i、j=1，2，3，…，t），设集合{1，3，5，7，9，…，（2m-3），（2m-1）}中元素的总个数为W；

又设置集合A1={p1，3p1，5p1，7p1，9p1，…，（2m1-1）p1}，集合A2={p2，3p2，5p2，7p2，9p2，…，（2m2-1）p2}，集合A3={p3，3p3，5p3，7p3，9p3，…，（2m3-1）p3}，…，集合At={pt，3pt，5pt，7pt，9pt，…，（2mt-1）pt}；

其中奇数（2m1-1）p1为该表达形式下不大于奇数（2m-1）的最大奇数，奇数（2m2-1）p2为该表达形式下不大于奇数（2m-1）的最大奇数，奇数（2m3-1）p3为该表达形式下不大于奇数（2m-1）的最大奇数，…，奇数（2mt-1-1）pt-1为该表达形式下不大于奇数（2m-1）的最大奇数，奇数（2mt-1）pt为该表达形式下不大于奇数（2m-1）的最大奇数。

我们用【W÷

p1】表示集合{p1，3p1，5p1，7p1，9p1，…，（2m1-1）p1}中全体奇数的总个数，【W÷

p2】表示集合{p2，3p2，5p2，7p2，9p2，…，（2m2-1）p2}中全体奇数的总个数，【W÷

（p1p2）】表示集合{p1，3p1，5p1，7p1，9p1，…，（2m1-1）p1}∩{p2，3p2，5p2，7p2，9p2，…，（2m2-1）p2}中全体奇数的总个数，【W÷

p3】表示集合{p3，3p3，5p3，7p3，9p3，…，（2m3-1）p3}中全体奇数的总个数，【W÷

（p1p3）】表示集合{p1，3p1，5p1，7p1，9p1，…，（2m1-1）p1}∩{p3，3p3，5p3，7p3，9p3，…，（2m3-1）p3}中全体奇数的总个数，【W÷

（p2p3）】表示集合{p2，3p2，5p2，7p2，9p2，…，（2m2-1）p2}∩{p3，3p3，5p3，7p3，9p3，…，（2m3-1）p3}中全体奇数的总个数，…，【W÷

（ptpt-1…p3p2p1）】表示集合{p1，3p1，5p1，7p1，9p1，…，（2m1-1）p1}∩{p2，3p2，5p2，7p2，9p2，…，（2m2-1）p2}∩{p3，3p3，5p3，7p3，9p3，…，（2m3-1）p3}∩…∩{pt，3pt，5pt，7pt，9pt，…，（2mt-1）pt}中全体奇数的总个数。

根据减多了要加进来，加多了要减出去的原则；

那么我们令u=W-【W÷

p1】-【W÷

（p1p2）】-【W÷

p3】+【W÷

（p2p3）】-【W÷

（p1p2p3）】-【W÷

p4】+【W÷

（p1p4）】+【W÷

（p2p4）】+【W÷

（p3p4）】-【W÷

（p1p2p4）】-【W÷

（p2p3p4）】-【W÷

（p1p3p4）】+【W÷

（p1p2p3p4）】-【W÷

p5】+…+（-1）t【W÷

（ptpt-1…p3p2p1）】≈【W（1-1÷

p3）（1-1÷

p4）…（1-1÷

对于等式u´

=【W（1-1÷

pt）】，因为u=【W（1-1÷

pt）】=【W×

（2÷

3）×

（4÷

5）×

（6÷

7）×

（10÷

11）×

（12÷

13）×

（16÷

17）×

…×

（1-2÷

pt-1）×

pt）】＞W÷

pt，pt为不大于√M的最大奇素数，所以我们从比值（W÷

pt）不难得出这样一个结论：

随着正整数M不断地增大，那么u´

的值也会增大。

现在我们假定素数不存在无限多，那么就必然存在一个正整数X，从这个正整数X开始，后面的自然数不会存在有素数，也就是说对于等式u´

pt）】，从正整数X开始，u´

的值不会随着正整数M的增大而增大，这样就产生了矛盾。

所以假定素数不存在无限多不成立。

综上所述，定理1成立。

参考文献

[1]XX百科

[2]戎士奎，十章数论（贵州教育出版社）1994年9月第1版

[3]王文才，施桂芬，数学小辞典（科学技术文艺出版社）1983年2月第1版

[4]闵嗣鹤，严士健，初等数论（人民教育出版社）1983年2月第6版

[5]刘玉琏，付沛仁，数学分析（高等教育出版社）1984年3月第1版

二〇一五年一月二十六日