素数无穷的一种证明Word文档下载推荐.docx

1、对于任一奇数M（M2），关于某一奇素数p，pM，设集合p，3p，5p，7p，9p，（2m-1）p中奇数的总个数与集合1，3，5，7，9，M中奇数的总个数的比值为t,则：（1）、当（2m-1）p=M时，t1（2）、当（2m-1）p+p-1=M时，t1（3）、当（2m-1）p+p-1M时，t1（4）、当（2m-1）p+p-1M时，t1其中（2m-1）p为该形式下不大于正整数M的最大奇数。因为集合p，3p，5p，7p，9p，（2m-1）p中有m个奇数,集合1，3，5，7，9，M中有（M+1）2 个奇数，那么集合p，3p，5p，7p，9p，（2m-1）p中奇数的总个数与集合1，3，5，7，9，M中奇数

2、的总个数的比值t为下列情形之一：（）、当（2m-1）p=M时，则（M+1）2=（2m-1）p2mp,所以t=m（M+1）1p ；（）、当（2m-1）p+p-1=M时，则（M+1）2=（2m-1）p+p-1+1 2=mp，所以t=m （）、当（2m-1）p+p-1M时，则（M+1）2mp，所以t=m（M+1）1（）、当（2m-1）p+p-1M时，则（M+1）2mp，所以t=m（M+1） 1综上所述，引理2成立。引理3：对于一个相当大的正整数M，关于任一小于正整数M的奇素数p，设集合p，2p，3p，mp中正整数的总个数与集合1，2，3，4,5,6，M中正整数的总个数的比值为t，则t1p（其中mp为

3、该形式下不大于正整数M的最大正整数）。对于任一奇素数p，集合p，2p，3p，mp有m个元素，集合1，2，3，4, 5, 6，M有M个无素，那么集合p，2p，3p，mp中正整数的总个数与集合1，2，3，4,5,6，M中正整数的总个数的比值t为下列情形之一：（）、当mpM时，因为mp为该形式下不大于正整数M的最大正整数，那么mpM，我们令M=mp+h，那么hp，所以mpM=mp+h（m+1）p，则m（m+1）pt=mM1p，因为正整数M相当大，那么正整数m也相当大，那么m（m+1）p1pmM，故t1综上所述，引理3成立。引理4：对于一个相当大的奇数M，关于任一小于奇数M的奇素数p，设集合p，3p，

4、5p，7p，9p，（2m-1）p中奇数的总个数与集合1，3，5，7，9，M中奇数的总个数的比值为t，则t1p（其中（2m-1）p为该形式下不大于奇数M的最大奇数）。对于任一奇素数p，集合p，3p，5p，7p，9p，（2m-1）p共有m个奇数，集合1，3，5，7，9，M共有（M+1）（）、当（2m-1）p=M时，（M+1）2 =mp-（p-1）2，因为m（mp-p）= m（m-1）p，当M为相当大的奇数时，那么m也为相当大的正整数，则m（m-1）p1p，即mmp-（p-1）21p，t12=mp，那么t=mmp=1（）、当（2m-1）p+p-1M时，我们令（2m-1）p+p-1+h=M，然而1hp

5、+1，这是因为（2m-1）p 为该形式下不大于奇数M的最大奇数，我们假设令h=p，则（M+1）2 =mp+p2（m+1）p，即mpmp+p2（m+1）p，当M为相当大的奇数时，那么m也为相当大的正整数，然而m（m+1）p1p，故t1（）、当（2m-1）p+p-1M时，我们令（2m-1）p+p-1-h=M，然而1hp-1，这是因为（2m-1）p 为该形式下不大于奇数M的最大奇数，我们假设令h=p-1，则（M+1）2 =mp-（p-1）2（m-1）p，即（m-1）pmp-（p-1）2mp，当M为相当大的奇数时，那么m也为相当大的正整数，则m（m-1）p1综上所述，引理4成立。引理5：对于任一比较大

6、的正整数M，设奇素数p1，p2，p3，pt均为不大于M的全体奇素数（pipj ，ij，i、j=1，2，3，t），那么在区间M，M中任何一个奇合数a，奇合数a均能被集合p1，p2，p3，pt中某一个奇素数pi（i=1，2，3，t）整除。设奇数a为区间M，M中的一个奇合数，不管奇合数a等于M还是小于M，奇合数a总可以分解为两个均不小于3的奇数的乘积，不妨设a=bc，b3，c3，那么b或c中至少有一个素因子d，dM。故引理5成立。定义2：在集合1，3，5，7，9，（M-3），（M-1）中筛除属于集合3p，5p，7p，9p，（2m-1）p中的全体元素，这种筛除方式，称之为埃拉托斯特尼顺筛（简称顺筛）；

7、其中M为比较大的偶数，p为小于偶数M的奇素数，（2m-1）p为该形式下小于偶数M的最大奇数。定义3：对于正实数x，符号x表示为不小于x的最小正整数；符号【x】表示为不大于x的最大正整数。引理6：设有一个相当大的正整数M，对于任一小于正整数M的奇素数p，集合p，2p，3p，mp中正整数的总个数为m，其中mp为该形式下不大于正整数M的最大正整数，那么mM（）、当mp=M时，那么m=M（）、当mpM时，因为mp为该形式下不大于正整数M的最大正整数，我们设M=mp+k，显然k为正整数，且kp，那么m（mp+k）p，即mM综上所述，引理6成立。引理7：设有一个相当大的奇数M，对于任一小于奇数M的奇素数p

8、，集合p，3p，5p，7p，9p，（2m-1）p中奇数的总个数为m，其中（2m-1）p为该形式下不大于奇数M的最大奇数，那么mM对于任一小于奇数M的奇素数p，集合p，3p，5p，7p，9p，（2m-1）p中共有m个奇数，集合1，3，5，7，9，M中共有（M+1） 2 个奇数，那么集合1，3，5，7，9，M中含全体奇素数p的倍数（包括奇素数p在内）的总个数为下列情形之一：（）、当（2m-1）p=M时，集合1，3，5，7，9，M中共有（M+1） 2个奇数，而（M+1） 2，因为mp-（p-1）2p（m-1）pp=（m-1），又因为M为相当大的奇数，那么m也为相当大的正整数，故mM（）、当（2m-1

9、）p+p-1=M时，（M+1）2=mp，则m=M（）、当（2m-1）pM，（2m-1）p+p-1M时，我们令（2m-1）p+p-1+h=M，h为正整数，然而1hp+1，这是因为h=p+1时与（2m-1）p 为该形式下不大于奇数M的最大奇数相矛盾；我们令h=p，则（M+1）2 =mp+p2（m+1）p，即mpmp+（p-1）2（m+1）p，因为 M为相当大的奇数，那么m也为相当大的正整数，故mM（）、当（2m-1）pM，（2m-1）p+p-1M时，我们令（2m-1）p+p-1-h=M，然而1hp-1，这是因为h=p-1时与（2m-1）p 为该形式下不大于奇数M的最大奇数相矛盾；我们令h=p-2，

10、则（M+1）2mp，因为M为相当大的奇数，那么m也为相当大的正整数，故mM综上所述，引理7成立。引理8：对于一个相当大的奇数M，关于任何两个均小于正整数M的奇素数p和q（pq），若在集合1，3，5，7，9，M中筛除属于集合p，3p，5p，7p，9p，（2m-1）p中的全体元素和筛除属于集合q，3q，5q，7q，9q，（2m-1）q中的全体元素，则有下列不等式成立：W-【Wp】-【Wq】+【W（pq）】【W（1-1p）（1-1q）】。其中W为集合1，3，5，7，9，M中元素的个数，（2m-1）p为该形式下不大于奇数M的最大奇数，（2m-1）q为该形式下不大于奇数M的最大奇数。对于一个相当大的奇数

11、M，由引理4和引理6以及引理7可知，关于任一小于奇数M的奇素数g，那么集合g，3g，5g，7g，9g，（2m-1）g中奇数的总个数与集合1，3，5，7，9，M中奇数的总个数的比值约等于1g，其中（2m-1）g为该形式下不大于奇数M的最大正整数；那么任何两个均小于正整数M的奇素数p和q（pq），若要在集合1，3，5，7，9，M中筛除属于集合p，3p，5p，7p，9p，（2m-1）p中的全体奇数和筛除属于集合q，3q，5q，7q，9q，（2m-1）q中的全体奇数，又因【Wp】Wp，【Wq】Wq，【W（pq）】W（pq），则有W-【W（pq）】W（1-1p）-【Wq（1-1p）】【W（1-1q）】，

12、其中W为集合1，3，5，7，9，M中奇数的总个数。故引理8成立。引理9：对于一个相当大的奇数M，设奇素数p1，p2，p3，pt均为不大于M的全体奇素数（pipj ，ij，i、j=1，2，3，t），若需在集合1，3，5，7，9，M中筛除全体奇合数，那么只需在集合1，3，5，7，9，M中筛除属于集合p1，3p1，5p1，7p1，9p1，（2m1-1）p1中的全体元素，筛除属于集合p2，3p2，5p2，7p2，9p2，（2m2-1）p2中的全体元素，筛除属于集合p3，3p3，5p3，7p3，9p3，（2m3-1）p3中的全体元素，筛除属于集合pt，3pt，5pt，7pt，9pt，（2mt-1）pt中

13、的全体元素；则有下列不等式成立：W-（【Wp1】+【Wp2】+【Wp3】+【Wpt】）+【W（p1p2）】+【W（p1p3）】+【W（p1p4）】+【W（pt-1pt）】-（【W（p1p2p3）】+【W（p1p2p4）】+【W（p1p2p5）】+【W（pt-2pt-1pt）】+（-1）t【W（p1p2p3pt-2pt-1pt）】【W（1-1p1）（1-1p2）（1-1p3）（1-1pt-1）（1-1pt）】。其中W为集合1，3，5，7，9，M中奇数的总个数，（2m1-1）p1为该形式下不大于奇数M的最大奇数，（2m2-1）p2为该形式下不大于奇数M的最大奇数，（2m3-1）p3为该形式下不大于

14、奇数M的最大奇数，（2mt-1-1）pt-1为该形式下不大于奇数M的最大奇数，（2mt-1）pt为该形式下不大于奇数M的最大奇数。由引理4和引理5以及引理6和引理7可知，因为在区间M，M中的任何一个奇合数a，奇合数a均能被集合p1，p2，p3，pt中某一个奇素数pi整除，那么W-（【W（p1p2p3pt-2pt-1pt）】= W-【Wp1】-（【Wp2】-【W（p1p2）】）-（【Wp3】-【W（p1p3）】-【W（p2p3）】+【W（p1p2p3）】）-（【Wpt】-【W（p1pt）】-【W（p2pt）】-【W（p3pt）】-【W（pt-1pt）】+【W（p1p2pt）】+【W（p1p3pt

15、）】+【W（p1p4pt）】+【W（pt-2pt-1pt）】）-+（-1）t【W（p1p2p3pt-2pt-1pt）】W（1-1p1）-【Wp2（1-1p1）】-（【Wp2）】-（【Wp3（1-1p2）】）-（【Wp3）】-+（-1）t【W故引理9成立。定理1：素数无穷多。根据引理5，对于任一比较大的正整数M，设奇素数p1，p2，p3，pt均为不大于M的全体奇素数（pipj ，ij，i、j=1，2，3，t），设集合1，3，5，7，9，（2m-3），（2m-1）中元素的总个数为W；又设置集合A1= p1，3p1，5p1，7p1，9p1，（2m1-1）p1，集合A2=p2，3p2，5p2，7p2，

16、9p2，（2m2-1）p2，集合A3=p3，3p3，5p3，7p3，9p3，（2m3-1）p3，集合At=pt，3pt，5pt，7pt，9pt，（2mt-1）pt；其中奇数（2m1-1）p1为该表达形式下不大于奇数（2m-1）的最大奇数，奇数（2m2-1）p2为该表达形式下不大于奇数（2m-1）的最大奇数，奇数（2m3-1）p3为该表达形式下不大于奇数（2m-1）的最大奇数，奇数（2mt-1-1）pt-1为该表达形式下不大于奇数（2m-1）的最大奇数，奇数（2mt-1）pt为该表达形式下不大于奇数（2m-1）的最大奇数。我们用【Wp1】表示集合p1，3p1，5p1，7p1，9p1，（2m1-1

17、）p1中全体奇数的总个数，【Wp2】表示集合p2，3p2，5p2，7p2，9p2，（2m2-1）p2中全体奇数的总个数，【W（p1p2）】表示集合p1，3p1，5p1，7p1，9p1，（2m1-1）p1p2，3p2，5p2，7p2，9p2，（2m2-1）p2中全体奇数的总个数，【Wp3】表示集合p3，3p3，5p3，7p3，9p3，（2m3-1）p3 中全体奇数的总个数，【W（p1p3）】表示集合p1，3p1，5p1，7p1，9p1，（2m1-1）p1p3，3p3，5p3，7p3，9p3，（2m3-1）p3中全体奇数的总个数，【W（p2p3）】表示集合p2，3p2，5p2，7p2，9p2，（2

18、m2-1）p2p3，3p3，5p3，7p3，9p3，（2m3-1）p3中全体奇数的总个数，【W（ptpt-1p3p2p1）】表示集合p1，3p1，5p1，7p1，9p1，（2m1-1）p1p2，3p2，5p2，7p2，9p2，（2m2-1）p2p3，3p3，5p3，7p3，9p3，（2m3-1）p3pt，3pt，5pt，7pt，9pt，（2mt-1）pt中全体奇数的总个数。根据减多了要加进来，加多了要减出去的原则；那么我们令u=W-【Wp1】-【W（p1p2）】-【Wp3】+【W（p2p3）】-【W（p1p2p3）】-【Wp4】+【W（p1p4）】+【W（p2p4）】+【W（p3p4）】-【W

19、（p1p2p4）】-【W（p2p3p4）】-【W（p1p3p4）】+【W（p1p2p3p4）】-【Wp5】+（-1）t【W（ptpt-1p3p2p1）】【W（1-1p3）（1-1p4）（1-1对于等式u=【W（1-1pt）】，因为u=【W（1-1pt）】=【W（23）（45）（67）（1011）（1213）（1617）（1-2pt-1）pt）】Wpt，pt为不大于M的最大奇素数，所以我们从比值（Wpt）不难得出这样一个结论：随着正整数M不断地增大，那么u的值也会增大。现在我们假定素数不存在无限多，那么就必然存在一个正整数X，从这个正整数X开始，后面的自然数不会存在有素数，也就是说对于等式upt）】，从正整数X开始，u的值不会随着正整数M的增大而增大，这样就产生了矛盾。所以假定素数不存在无限多不成立。综上所述，定理1成立。参考文献1XX百科2戎士奎，十章数论（贵州教育出版社）1994年9月第1版3王文才，施桂芬，数学小辞典（科学技术文艺出版社）1983年2月第1版4闵嗣鹤，严士健，初等数论（人民教育出版社）1983年2月第6版5刘玉琏，付沛仁，数学分析（高等教育出版社）1984年3月第1版二一五年一月二十六日