高中数学易错知识点总结 计数原理.docx

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高中数学易错知识点总结计数原理

高中数学易错知识点总结计数原理

易错点1分类计数时考虑不全

例1：

有红、黄、蓝旗各3面，每次升1面、2面、3面在某一旗杆上纵向排列，表示不同的信号，顺序不同也表示不同的信号，共可以组成多少种不同的信号？

【错解】每次升一面旗可组成3种不同的信号；

每次升2面旗可组成3×2＝6种不同的信号；

每次升3面旗可组成3×2×1＝6种不同的信号，

根据分类加法计数原理知，共有不同的信号3＋6＋6＝15种．

【错因分析】本题中没有规定升起旗子的颜色不同，所以每次升起2面或3面旗时，颜色可以相同．

【试题解析】每次升1面旗可组成3种不同的信号；

每次升2面旗可组成3×3＝9种不同的信号；

每次升3面旗可组成3×3×3＝27种不同的信号．

根据分类加法计数原理得，共可组成：

3＋9＋27＝39种不同的信号．

【参考答案】39种.

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1．能用分类加法计数原理解决的问题具有如下特点:

（1）完成一件事有若干种方法,这些方法可以分成n类;

（2）用每一类中的每一种方法都可以完成这件事;

（3）把各类的方法数相加,就可以得到完成这件事的所有方法数.

2．使用分类加法计数原理遵循的原则：

有时分类的划分标准有多个，但不论是以哪一个为标准，都应遵循“标准要明确，不重不漏”的原则．

3．应用分类加法计数原理要注意的问题：

（1）明确题目中所指的“完成一件事”是什么事，完成这件事可以有哪些办法，怎样才算是完成这件事．

（2）完成这件事的n类方法是相互独立的，无论哪种方案中的哪种方法都可以单独完成这件事，而不需要再用到其他的方法．

（3）确立恰当的分类标准，准确地对“这件事”进行分类，要求每一种方法必属于某一类方案，不同类方案的任意两种方法是不同的方法，也就是分类时必须既不重复也不遗漏．

即时巩固

1．某人从甲地到乙地,可以乘火车,也可以坐轮船,在这一天的不同时间里,火车有4趟,轮船有3趟,则此人的走法可有_________种. 

【答案】7

易错点2未选准分步依据

例2：

将4封信投入到3个信箱中，共有多少种不同的投法？

【错解】第1个信箱可能投1封信，2封信，3封信或4封信，共有4种投法；

同理，第2个信箱也有4种投法，第3个信箱也有4种投法.

根据分步乘法计数原理，共有种不同的投法.

【错因分析】要完成的一件事是“将4封信投入到3个信箱中”，且1封信只能投入1个信箱，错解中会出现1封信同时投入2个信箱或3个信箱的情况，这是不可能发生的.因此，分步的依据应该是“信”，而不应该是“信箱”.

【试题解析】第1封信可以投入3个信箱中的任意一个，有3种投法;

同理，第2，3，4封信各有3种投法.

根据分步乘法计数原理，共有种投法.

【参考答案】81种.

特别提醒

对于一类元素允许重复选取的计数问题，可以用分步乘法计数原理来解决，求解的关键是明确要完成的一件事是什么.即用分步乘法计数原理求解元素可重复选取的问题时，哪类元素必须“用完”就以哪类元素作为分步的依据.对于本题，若是将3封信投入到4个信箱中，则共有种不同的投法.

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1．能用分步乘法计数原理解决的问题具有如下特点:

（1）完成一件事需要经过n个步骤,缺一不可;

（2）完成每一步有若干方法;

（3）把各个步骤的方法数相乘,就可以得到完成这件事的所有方法数.

2．应用分步乘法计数原理要注意的问题：

（1）明确题目中所指的“完成一件事”是什么事，单独用题目中所给的某一步骤的某种方法是不能完成这件事的，也就是说必须要经过几步才能完成这件事．

（2）完成这件事需要分成若干个步骤，只有每个步骤都完成了，才算完成这件事，缺少哪一步骤，这件事都不可能完成．

（3）根据题意正确分步，要求各步之间必须连续，只有按照这几步逐步地去做，才能完成这件事，各步骤之间既不能重复也不能遗漏．

即时巩固

2．数字0,1,2,3,4可以组成（   ）个无重复数字的五位数.

A．96B．120

C．625D．1024

【答案】A

特别提醒

常见的组数问题及解题原则：

（1）常见的组数问题：

奇数、偶数、整除数、各数位上的和或数字间满足某种特殊关系等．

（2）常用的解题原则：

首先明确题目条件对数字的要求，针对这一要求通过分类、分步进行组数；其次注意特殊数字对各数位上数字的要求，如偶数的个位数字为偶数、两位及其以上的数首位数字不能是0、被3整除的数各位数上的数字之和能被3整除等；最后先分类再分步从特殊数字或特殊位置进行组数．

易错点3忽视排列数、组合数公式的隐含条件

例3：

解不等式.

【错解】由排列数公式得，化简得x2－19x＋84<0，解之得7

∵x∈N*，∴x＝8,9,10,11.

【错因分析】在排列数公式A中，隐含条件m≤n，m∈N*，n∈N*，错解中没有考虑到x－2>0，8≥x，导致错误．

【试题解析】由，得，

化简得x2－19x＋84<0，解之得7

又∴2

由①②及x∈N*得x＝8.

【参考答案】x＝8.

特别提醒

注意公式的适用条件．数学中有许多公式、定理、法则都是有限制条件的，如在排列数公式A中，n∈N*，m∈N*，且n≥m，忽视限制条件就可能导致错误．

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1．应用排列数、组合数公式化简、求值、解方程、解不等式等时，一定要注意隐含条件“n∈N*，m∈N*，且n≥m”，即上标不大于下标且均为正整数.

2．这个公式体现了排列数公式和组合数公式的联系，也可以用这个关系去加强对公式的记忆.每个公式都有相应的连乘形式和阶乘形式，连乘形式多用于数字计算，阶乘形式多用于对含有字母的排列数或者组合数进行变形或证明.

特别提醒

对于排列数公式的连乘形式与阶乘形式,运用时注意把握以下几点：

（1）排列数公式的连乘形式常用于计算具体的排列数.

（2）排列数公式的阶乘形式主要有两个作用：

①当m，n较大时，使用计算器快捷地算出结果；

②对含有字母的排列数的式子进行变形.

注意常用变形的应用.

即时巩固

3．解不等式.

【答案】n≥9且n∈N*.

特别提醒

组合数公式的连乘形式体现了组合数与相应排列数的关系，一般在计算具体的组合数时会用到.

组合数公式的阶乘形式主要作用有：

（1）计算m，n较大时的组合数；

（2）对含有字母的组合数的式子进行变形和证明.

易错点4重复计数与遗漏计数

例4：

有甲、乙、丙三项任务，甲需2人承担，乙、丙各需一人承担，从10人中选出4人承担这三项任务，不同的选法种数是

A．1260B．2025

C．2520D．5040

【错解】分三步完成：

第1步,从10人中选出4人，有种方法.

第2步,从这4人中选出2人承担任务甲，有种方法.

第3步,剩下的2人分别承担任务乙、丙，有种方法.

根据分步乘法计数原理，不同的选法共有种.故选D．

【错因分析】错解中对“排列”、“组合”两个概念掌握不准确.承担任务甲的两人与顺序无关，此处应是组合问题，即应为.

【试题解析】先从10人中选出2人承担任务甲；再从余下8人中选出2人分别承担任务乙、丙.

根据分步乘法计数原理，不同的选法共有种.故选C．

【参考答案】C．

特别提醒

计数问题中，首先要分清楚是排列问题还是组合问题，即看取出的元素是“合成一组”还是“排成一列”，不能将二者混淆，若将排列问题误认为是组合问题，会导致遗漏计数，反之，会导致重复计数.排列问题还要找出排序的依据，看每一种情况是否都考虑进去了.

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1．没有限制条件的排列问题,即对所排列的“元素”或所排列的“位置”没有特别的限制,这一类题相对简单,分清“元素”和“位置”即可.

无约束条件的组合问题,只需按照组合的定义,直接列出组合数即可,注意分清元素的总个数及取出元素的个数.有时还需分清完成一件事是需要分类还是分步.

2．“在”与“不在”的有限制条件的问题，一般都是对某个或某些元素加以限制，被限制的元素通常称为特殊元素，被限制的位置称为特殊位置.这一类问题通常以三种途径考虑：

（1）以元素为主考虑，一般先解决特殊元素的排法问题，即先满足特殊元素，再安排其他元素；

（2）以位置为主考虑，一般先解决特殊位置的排法问题，即先满足特殊位置，再考虑其他位置；

（3）用间接法解题，先不考虑限制条件，计算出排列总数，再减去不符合要求的排列数.

3．解决相邻问题的方法是“捆绑法”，其模型为将n个不同元素排成一排，其中某k个元素排在相邻位置上，求不同排法种数的方法是：

先将这k个元素“捆绑在一起”，看成一个整体，当作一个元素同其他元素一起排列，然后再将“捆绑”在一起的元素“内部”进行排列，最后利用分步乘法计数原理求解.

解决不相邻问题的方法为“插空法”，其模型为将n个不同元素排成一排，其中某k个元素互不相邻，求不同排法种数的方法是：

先将个元素排成一排,然后把k个元素插入个空隙中，最后利用分步乘法计数原理求解.

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4．4名运动员参加4×100接力赛，根据平时队员训练的成绩，甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒，则不同的出场顺序有

A．12种B．14种

C．16种D．24种

【答案】B

【解析】用排除法，若不考虑限制条件，4名队员全排列共有A＝24种排法，

减去甲跑第一棒有A＝6种排法，乙跑第四棒有A＝6种排法，

再加上甲在第一棒且乙在第四棒有A＝2种排法，

共有A－2A＋A＝14种不同的出场顺序．故选B．

特别提醒

本题求解中的A－2A是排除甲跑第一棒和乙跑第四棒的情况，但是减去了两次甲跑第一棒且乙跑第四棒的情况，所以需加上A.

易错点5要正确区分分堆与分配问题

例5：

有12本不同的书，分成4堆.

（1）若每堆3本，有几种方法？

（2）若4堆依次为1本，3本，4本，4本，有几种分法？

（3）若4堆依次为1本，2本，3本，6本，有几种分法？

（只要求列出算式）

【错解】

（1）有种分法；

（2）有种分法；

（3）有种分法．

【错因分析】A、B、C、D四本书平均分为两堆，只有AB，CD；AC，BD；AD，BC三种分法，而C·C＝6，显然计数错误，原因是先从4本书中选取AB，再取CD和先取CD，再取AB是同一种分法，上述错解犯了相同的错误．

【试题解析】

（1）有种分法．

（2）有种分法．

（3）有种分法．

【参考答案】见试题解析.

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1．分堆与分配问题

将一组n个不同元素平均分给A、B、C等不同的单位，每个单位m个，可先从n个中选取m个给A，再从剩下的n－m个中选取m个给B，…，依次类推，不同方法种数为CC…C个；将一组n个不同元素平均分成k堆，每堆m个，由于某m个元素先选和后选分堆结果是一样的，故不同分堆方法数为.

2．相同元素分配，每单位至少含有一个元素，可用插板法；相同元素分组，按元素最多的组分类，用数数法．

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5．有6本不同的书按下列分配方式分配，问共有多少种不同的分配方法？

（1）分成1本、2本、3本三组；

（2）分给甲、乙、丙三人，其中一个人1本，一个人2本，一个人3本；

（3）分成每组都是2本的三组；

（4）分给甲、乙、丙三人，每个人2本．

【答案】

（1）60（种）．

（2）360（种）．（3）15（种）．（4）90（种）.

（3）先分三步，则应是C·C·C种方法，但是这里面出现了重复，不妨记六本书为A、B、C、D、E、F，若第一步取了AB，第二步取了CD，第三步取了EF，记该种分法为（AB，CD，EF），则C·C·C种分法中还有（AB，EF，CD）、（CD、AB、EF）、（CD、EF，AB）、（EF，CD，AB）、（EF，AB，CD），共A种情况，而且这A种情况仅是AB，CD，EF的顺序不同，因此，只能作为一种分法，故分配方法有＝15（种）．

（4）在问题（3）的基础上再分配即可，共有分