高中排列组合知识点汇总及典型例题全.docx

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高中排列组合知识点汇总及典型例题全

一．基本原理

1．加法原理：

做一件事有n类办法，则完成这件事的方法数等于各类方法数相加。

2．乘法原理：

做一件事分n步完成，则完成这件事的方法数等于各步方法数相乘。

注：

做一件事时，元素或位置允许重复使用，求方法数时常用基本原理求解。

二．排列：

从n个不同元素中，任取m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一

1.公式：

1.

2.

（1）

（2）；

（3）

三．组合：

从n个不同元素中任取m（m≤n）个元素并组成一组，叫做从n个不同的m元素中任取m个元素的组合数，记作Cn。

1.公式：

①；②；③；④

若

四．处理排列组合应用题1.①明确要完成的是一件什么事（审题）②有序还是无序③分步还是分类。

2．解排列、组合题的基本策略

（1）两种思路：

①直接法；

②间接法：

对有限制条件的问题，先从总体考虑，再把不符合条件的所有情况去掉。

这是解决排列组合应用题时一种常用的解题方法。

（2）分类处理：

当问题总体不好解决时，常分成若干类，再由分类计数原理得出结论。

注意：

分类不重复不遗漏。

即：

每两类的交集为空集，所有各类的并集为全集。

（3）分步处理：

与分类处理类似，某些问题总体不好解决时，常常分成若干步，再由分步计数原理解决。

在处理排列组合问题时，常常既要分类，又要分步。

其原则是先分类，后分步。

（4）两种途径：

①元素分析法；②位置分析法。

3．排列应用题：

（1）穷举法（列举法）：

将所有满足题设条件的排列与组合逐一列举出来；

（2）、特殊元素优先考虑、特殊位置优先考虑；

（3）．相邻问题：

捆邦法：

对于某些元素要求相邻的排列问题，先将相邻接的元素“捆绑”起来，看作一“大”元素与其余元素排列，然后再对相邻元素内部进行排列。

（4）、全不相邻问题，插空法：

某些元素不能相邻或某些元素要在某特殊位置时可采用插空法.即先安排好没有限制条件的元素，然后再将不相邻接元素在已排好的元素之间及两端的空隙之间插入。

（5）、顺序一定，除法处理。

先排后除或先定后插

解法一：

对于某几个元素按一定的顺序排列问题，可先把这几个元素与其他元素一同进行全排列，然后用总的排列数除于这几个元素的全排列数。

即先全排，再除以定序元素的全排列。

解法二：

在总位置中选出定序元素的位置不参加排列，先对其他元素进行排列，剩余的几个位置放定序的元素，若定序元素要求从左到右或从右到左排列，则只有1种排法；若不要求，则有2种排法；

（6）“小团体”排列问题——采用先整体后局部策略

对于某些排列问题中的某些元素要求组成“小团体”时，可先将“小团体”看作一个元素与其余元素排列，最后再进行“小团体”内部的排列。

（7）分排问题用“直排法”把元素排成几排的问题，可归纳为一排考虑，再分段处理。

（8）．数字问题（组成无重复数字的整数）

①能被2整除的数的特征：

末位数是偶数；不能被2整除的数的特征：

末位数是奇数。

②能被3整除的数的特征：

各位数字之和是3的倍数；

③能被9整除的数的特征：

各位数字之和是9的倍数④能被4整除的数的特征：

末两位是4的倍数。

⑤能被5整除的数的特征：

末位数是0或5。

⑥能被25整除的数的特征：

末两位数是25，50，75。

⑦能被6整除的数的特征：

各位数字之和是3的倍数的偶数。

4．组合应用题：

（1）.“至少”“至多”问题用间接排除法或分类法:

（2）．“含”与“不含”用间接排除法或分类法:

3．分组问题：

均匀分组：

分步取，得组合数相乘，再除以组数的阶乘。

即除法处理。

非均匀分组：

分步取，得组合数相乘。

即组合处理。

混合分组：

分步取，得组合数相乘，再除以均匀分组的组数的阶乘。

4．分配问题：

定额分配：

（指定到具体位置）即固定位置固定人数，分步取，得组合数相乘。

随机分配：

（不指定到具体位置）即不固定位置但固定人数，先分组再排列，先组合分堆后排，注意平均分堆除以均匀分组组数的阶乘。

5．隔板法：

不可分辨的球即相同元素分组问题

例1.电视台连续播放6个广告，其中含4个不同的商业广告和2个不同的公益广告，要求首尾必须播放公益广告，则共有种不同的播放方式（结果用数值表示）.

解：

分二步：

首尾必须播放公益广告的有A22种；中间4个为不同的商业广告有A44种，从而应当填A22·A44＝48.从而应填48．

例3.6人排成一行，甲不排在最左端，乙不排在最右端，共有多少种排法？

解一：

间接法：

即

解二：

（1）分类求解：

按甲排与不排在最右端分类.

（1）甲排在最右端时,有种排法；

（2）甲不排在最右端（甲不排在最左端）时，则甲有种排法，乙有种排法，其他人有种排法，共有种排法，分类相加得共有+=504种排法

例.有4个男生，3个女生，高矮互不相等，现将他们排成一行，要求从左到右，女生从矮到高排列，有多少种排法？

分析一：

先在7个位置上任取4个位置排男生，有A种排法.剩余的3个位置排女生，因要求“从矮到高”，只有1种排法，故共有A·1=840种.

1.从4台甲型和5台乙型电视机中任取3台，其中至少要甲型和乙型电视机各一台，则不同的取法共有

解析1：

逆向思考，至少各一台的反面就是分别只取一种型号，不取另一种型号的电视机，故不同的取法共有种,选.

解析2：

至少要甲型和乙型电视机各一台可分两种情况：

甲型1台乙型2台；甲型2台乙型1台；故不同的取法有台,选.

2．从5名男生和4名女生中选出4人去参加辩论比赛

（1）如果4人中男生和女生各选2人，有种选法；

（2）如果男生中的甲与女生中的乙必须在内，有种选法；（3）如果男生中的甲与女生中的乙至少要有1人在内，有种选法；（4）如果4人中必须既有男生又有女生，有种选法

分析：

本题考查利用种数公式解答与组合相关的问题.由于选出的人没有地位的差异，所以是组合问题.

解：

（1）先从男生中选2人，有种选法，再从女生中选2人，有种选法，所以共有=60（种）；

（2）除去甲、乙之外，其余2人可以从剩下的7人中任意选择，所以共有=21（种）；

（3）在9人选4人的选法中，把甲和乙都不在内的去掉，得到符合条件的选法数：

=91（种）；

直接法，则可分为3类：

只含甲；只含乙；同时含甲和乙，得到符合条件的方法数=91（种）.

（4）在9人选4人的选法中，把只有男生和只有女生的情况排除掉，得到选法总数=120（种）.

直接法：

分别按照含男生1、2、3人分类，得到符合条件的选法为=120（种）.

1．6个人分乘两辆不同的汽车，每辆车最多坐4人，则不同的乘车方法数为（　　）

A．40　　　B．50　　　C．60　　　D．70

[解析]　先分组再排列，一组2人一组4人有C＝15种不同的分法；两组各3人共有＝10种不同的分法，所以乘车方法数为25×2＝50，故选B.

2．有6个座位连成一排，现有3人就坐，则恰有两个空座位相邻的不同坐法有（　　）

A．36种B．48种C．72种D．96种

[解析]　恰有两个空座位相邻，相当于两个空位与第三个空位不相邻，先排三个人，然后插空，从而共AA＝72种排法，故选C.

3．只用1,2,3三个数字组成一个四位数，规定这三个数必须同时使用，且同一数字不能相邻出现，这样的四位数有（　　）

A．6个B．9个C．18个D．36个

[解析]　注意题中条件的要求，一是三个数字必须全部使用，二是相同的数字不能相邻，选四个数字共有C＝3（种）选法，即1231,1232,1233，而每种选择有A×C＝6（种）排法，所以共有3×6＝18（种）情况，即这样的四位数有18个．

4．男女学生共有8人，从男生中选取2人，从女生中选取1人，共有30种不同的选法，其中女生有（　　）

A．2人或3人B．3人或4人C．3人D．4人

[解析]　设男生有n人，则女生有（8－n）人，由题意可得CC＝30，解得n＝5或n＝6，代入验证，可知女生为2人或3人．

5．某幢楼从二楼到三楼的楼梯共10级，上楼可以一步上一级，也可以一步上两级，若规定从二楼到三楼用8步走完，则方法有（　　）

A．45种B．36种C．28种D．25种

[解析]　因为10÷8的余数为2，故可以肯定一步一个台阶的有6步，一步两个台阶的有2步，那么共有C＝28种走法．

6．某公司招聘来8名员工，平均分配给下属的甲、乙两个部门，其中两名英语翻译人员不能分在同一个部门，另外三名电脑编程人员也不能全分在同一个部门，则不同的分配方案共有（　　）

A．24种B．36种C．38种D．108种

[解析]　本题考查排列组合的综合应用，据题意可先将两名翻译人员分到两个部门，共有2种方法，第二步将3名电脑编程人员分成两组，一组1人另一组2人，共有C种分法，然后再分到两部门去共有CA种方法，第三步只需将其他3人分成两组，一组1人另一组2人即可，由于是每个部门各4人，故分组后两人所去的部门就已确定，故第三步共有C种方法，由分步乘法计数原理共有2CAC＝36（种）．

7．已知集合A＝{5}，B＝{1,2}，C＝{1,3,4}，从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标，则确定的不同点的个数为（　　）

A．33B．34C．35D．36

[解析]　①所得空间直角坐标系中的点的坐标中不含1的有C·A＝12个；

②所得空间直角坐标系中的点的坐标中含有1个1的有C·A＋A＝18个；

③所得空间直角坐标系中的点的坐标中含有2个1的有C＝3个．

故共有符合条件的点的个数为12＋18＋3＝33个，故选A.

8．由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是（　　）

A．72B．96C．108D．144

[解析]　分两类：

若1与3相邻，有A·CAA＝72（个），若1与3不相邻有A·A＝36（个）

故共有72＋36＝108个．

9．如果在一周内（周一至周日）安排三所学校的学生参观某展览馆，每天最多只安排一所学校，要求甲学校连续参观两天，其余学校均只参观一天，那么不同的安排方法有（　　）

A．50种B．60种C．120种D．210种

[解析]　先安排甲学校的参观时间，一周内两天连排的方法一共有6种：

（1,2）、（2,3）、（3,4）、（4,5）、（5,6）、（6,7），甲任选一种为C，然后在剩下的5天中任选2天有序地安排其余两所学校参观，安排方法有A种，按照分步乘法计数原理可知共有不同的安排方法C·A＝120种，故选C.

10．安排7位工作人员在5月1日到5月7日值班，每人值班一天，其中甲、乙二人都不能安排在5月1日和2日，不同的安排方法共有________种．（用数字作答）

[解析]　先安排甲、乙两人在后5天值班，有A＝20（种）排法，其余5人再进行排列，有A＝120（种）排法，所以共有20×120＝2400（种）安排方法．

11．今有2个红球、3个黄球、4个白球，同色球不加以区分，将这9个球排成一列有________种不同的排法．（用数字作答）

[解析]　由题意可知，因同色球不加以区分，实际上是一个组合问题，共有C·C·C＝1260（种）排法．

12．将6位志愿者分成4组，其中两个组各2人，另两个组各1人，分赴世博会的四个不同场馆服务，不同的分配方案有________种（用数字作答）．

[解析]　先将6名志愿者分为4组，共有种分法，再将4组人员分到4个不同场馆去，共有A种分法，故所有分配方案有：

·A＝1080种．

13．要在如图所示的花圃中的5个区域中种入4种颜色不同的花，要求相邻区域不同色，有________种不同的种法（用数字作答）．

[解析]　5有4种种法，1有3种种法，4有2种种法．若1、3同色，2有2种种法，若1、3不同色，2有1种种法，∴有4×3×2×（1×