丰台区高三数学期末试题及答案Word文档下载推荐.docx

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（C）3

（D）1

4

2

5．已知菱形ABCD边长为1，

BAD=60

，则BDCD=

（B）

3

6．双曲线4x2

y2

1的离心率为

（）

5

（

D

）

A

C

7．已知公差不为0的等差数列

an

，前n项和为Sn，满足S3

S1

10，且a1,a2,a4

成等比数列，则a3

（A）2

（B）6

（C）5或6

（D）12

8.在（x2）6的展开式中，常数项是x

丰台区高三数学期末考试试题第1页/共12页

（A）20（B）15（C）15（D）30

9.大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回到自己出生的淡水流域产卵.记鲑鱼的游速为v（单位：

m/s），

鲑鱼的耗氧量的单位数为Q.科学研究发现v与log3Q成正比.当v1m/s时，鲑鱼的耗氧量的单

100

位数为900.当v=2m/s时，其耗氧量的单位数为

（A）1800（B）2700（C）7290（D）8100

10.在边长为2的等边三角形ABC中，点D，E分别是边AC，AB上的点，满足DE‖BC且

AD

（0,1）），将△ADE沿直线DE折到△ADE的位置.

在翻折过程中，下列结论成立的是

AC

（A）在边AE上存在点F，使得在翻折过程中，满足

BF‖平面ACD

（B）存在

ABC平面BCDE

（0,），使得在翻折过程中的某个位置，满足平面

（C）若

AB

10

，当二面角ADEB为直二面角时，

（D）在翻折过程中，四棱锥ABCDE体积的最大值记为f（），f（）的最大值为

23

9

第二部分（非选择题

共110分）

二、填空题共

6小题，每小题

5分，共30分．

11.

复数

的实部为

．

1+i

12.

我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的

6

个爻组成，爻分为阳爻“

”和阴爻“

”，右图就是一重卦．如果某

重卦中有2个阳爻，则它可以组成

种重卦．（用数字作答）

13.

已知a,b,c分别为△ABC内角A,B,C的对边，c2

2ab且sinA

sinC，则cosA

14.我们称一个数列是“有趣数列”，当且仅当该数列满足以下两个条件：

①所有的奇数项满足a2n1a2n1，所有的偶数项满足a2na2n2；

②任意相邻的两项a2n1，a2n满足a2n1a2n.

根据上面的信息完成下面的问题：

（i）数列1，2，3，4，5，6“有趣数列”（填“是”或者“不是”）；

丰台区高三数学期末考试试题第2页/共12页

（ⅱ）若ann

n2

“有趣数列”（填“是”或者“不是”）.

（1）

，则数列an

n

15．已知抛物线C：

4x的焦点为F，则F的坐标为

；

过点F的直线交抛物线C于A,B两

点，若AF

4，则△AOB的面积为

16．定义域为R的函数f（x）同时满足以下两条性质：

①存在x0R,使得f（x0）0；

②对于任意xR，有f（x1）2f（x）.

根据以下条件，分别写出满足上述性质的一个函数.

（i）若f（x）是增函数，则f（x）；

（ⅱ）若f（x）不是单调函数，则f（x）.

三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．

17.（本小题共

13分）

已知函数f（x）sinxcosx3cos2x.

（Ⅰ）求

f（

π

）的值；

（Ⅱ）求

f（x）在区间[0,

上的最大值.

]

18.（本小题共14分）

如图，在三棱柱ABC

A1B1C1中，AA1

平面ABC，BAC

，

AA1ABAC1，CC1的中点为H.

（Ⅰ）求证：

AC；

（Ⅱ）求二面角A1

BCA的余弦值；

（Ⅲ）在棱A1B1上是否存在点

N，使得HN‖平面A1BC？

若存在，求

出A1N的值；

若不存在，请说明理由．

A1B1

丰台区高三数学期末考试试题第3页/共12页

19.（本小题共13分）

目前，中国有三分之二的城市面临“垃圾围城”的窘境.我国的垃圾处理多采用填埋的方式，占用上

万亩土地，并且严重污染环境.垃圾分类把不易降解的物质分出来，减轻了土地的严重侵蚀，减少了土地

流失.2020年5月1日起，北京市将实行生活垃圾分类，分类标准为厨余垃圾、可回收物、有害垃圾和其

它垃圾四类.生活垃圾中有30%~40%可以回收利用，分出可回收垃圾既环保，又节约资源.如：

回收利用

1吨废纸可再造出0.8吨好纸，可以挽救17棵大树，少用纯碱240千克，降低造纸的污染排放75％，节省

造纸能源消耗40％～50％.

现调查了北京市5个小区12月份的生活垃圾投放情况，其中可回收物中废纸和塑料品的投放量如下

表：

A小区

B小区

C小区

D小区

E小区

废纸投放量（吨）

5.1

5.2

4.8

4.9

塑料品投放量（吨）

3.5

3.6

3.7

3.4

3.3

（Ⅰ）从A，B，C，D，E这5个小区中任取

个小区，求该小区12

月份的可回收物中，废纸投放量超过

5吨且塑料品投放量超过

3.5吨的概率；

（Ⅱ）从A，B，C，D，E这5个小区中任取

个小区，记X为12月份投放的废纸可再造好纸超过

4吨的

小区个数，求X的分布列及期望．

20.（本小题共13分）

C的短半轴长为半径的圆与直

已知椭圆C:

b

21（ab0）的离心率为

，以原点为圆心，椭圆

a

线xy60相切.

（Ⅰ）求椭圆方程；

（Ⅱ）设S为椭圆右顶点，过椭圆C的右焦点的直线l与椭圆C交于P，Q两点（异于S），直线PS，

QS分别交直线x4于A，B两点.求证：

A，B两点的纵坐标之积为定值.

21.（本小题共14分）

已知函数f（x）

（a

1）

ax.

（Ⅰ）当a1时，求曲线y

f（x）在点（0,f（0））处的切线方程；

（Ⅱ）讨论函数

f（x）的单调性；

x1，x2

[0,2]，都有f（x1）f（x2）

（Ⅲ）对于任意

，求实数a的取值范围.

丰台区高三数学期末考试试题第4页/共12页

22.（本小题共13

分）

已知nN*，n

2，给定n

n个整点（x,y）,其中1x,y

n,x,yN*

.

（Ⅰ）当n

时,从上面的

22个整点中任取两个不同的整点

（x1,y1）,（x2,y2），求x1

x2的所有可能

值；

（Ⅱ）从上面

nn个整点中任取m个不同的整点，m

5n

1.

（i）证明：

存在互不相同的四个整点

（x1,y1）,（x1,y1）,（x2,y2）,（x2,y2），满足y1

y1,

y2,y1y2；

（ii）证明：

存在互不相同的四个整点（x1,y1）,（x1,y1）,（x2,y2）,（x2,y2），满足

x1x1x2x2,y1y2.

（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）

丰台区2019~2020学年度第一学期期末练习

高三数学参考答案及评分参考

2020．01

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．

题号12345678910

答案CCBBAABCDD

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．

11．112．1513．7

28

14．是；

是15．（1,0）；

4316．2x；

2xsin2x（答案不唯一）

注：

第14、15、16题第一空3分，第二空2分.

17.（本小题共13分）

丰台区高三数学期末考试试题第5页/共12页

解：

（Ⅰ）

2π

f（）sin

cos

3cos

）2

⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分.（Ⅱ）

f（x）sinxcosx3cos2x

cos2x

sin2x

sin（2x

因为x[0,

ππ4π

]，所以

2x

[,

].

ππ

当2x

，即x

时，

12

f（x）取得最大值

18.（本小题共14

证明：

（Ⅰ）因为AA1

平面ABC，AB

平面ABC，所以AA1AB.

因为

BAC

π，所以AC

AB.

又因为AC

AA1

A，

所以AB

平面AAC.

平面

A1AC

，所以

ABAC

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知

AB，AC，AA1两两互相垂直，

⋯⋯⋯⋯⋯⋯13.分

⋯⋯⋯⋯⋯⋯分.4

如图，建立空间直角坐标系Axyz．

因为AA1ABAC1，

丰台区高三数学期末考试试题第6页/共12页

所以A（0，0，0），B（1，0，0），C（0，1，0），A1（0，0，1）.

因为AA1

平面ABC，

所以AA1

（0,0,1）即为平面ABC的一个法向量.

设平面A1BC的一个法向量为

n（x,y,z），

（1,0,

1），AC

（0,1,

1），

则

nA1B

0,

z

即

nA1C

0.

y

令z

1，则x

1,y

于是n（1,1,1）.

所以cosAA1,n

由题知二面角ABC

A为锐角，所以其余弦值为

⋯⋯⋯⋯⋯⋯10.分

（Ⅲ）假设棱A1B1上存在点

N（x,y,z），使得HN‖平面A1BC.

由AN

AB（0

1），又AB

（1,0,0），故AN

（,0,0）.

因为C1（0，1，1），H为CC1的中点，所以H（0，1，）.

所以HNHA1A1N（,-1,）.

若HN‖平面A1BC，则HNn

-1+1

0，解得

[0,1].

又因为HN

平面A1BC.

所以在棱A1B1上存在点N，使得HN‖平面A1BC，且

A1N

⋯⋯⋯⋯⋯⋯14.分

19．（本小题共13分）

（Ⅰ）记“该小区12月份的可回收物中废纸投放量超过5吨且塑料品投放量超过3.5吨”为事件A.

丰台区高三数学期末考试试题第7页/共12页

由题意，有B，C两个小区

12月份的可回收物中废纸投放量超过

3.5吨，

所以

P（A）

⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分.

（Ⅱ）因为回收利用

吨废纸可再造出

0.8吨好纸，

所以12月份投放的废纸可再造好纸超过

4吨的小区有B，C，共2个小区.

X的所有可能取值为

0，1，2.

P（X

0）

C32

C52

C31

C21

2）

C22

所以X的分布列为:

X

P

E（X）0

20.（本小题共13分）

（Ⅰ）因为以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线

0相切，

所以半径b等于原点到直线的距离

d，b

，即b

3.

d

由离心率e

，可知c

，且a2

b2

c2，得a

2.

故椭圆C的方程为x2

（Ⅱ）由椭圆C的方程可知S（2,0）.

若直线l的斜率不存在，则直线

l方程为x

1，

所以P（1,3）,Q（1,

3）.

则直线PS的方程为3x

2y

0，直线QS的方程为3x

令x4，得A（4,-3），B（4,3）.

丰台区高三数学期末考试试题第8页/共12页

所以A，B两点的纵坐标之积为

若直线l的斜率存在，设直线l

的方程为

yk（x

1）（k

0）,

由y

k（x

得（34k2）x2

8k2x

4k2

0，

3x2

4y2

依题意

0恒成立.

设P（x1,y1）,Q（x2,y2）（x1,x2

0），

则x1

8k2

x1x2

设A（4,yA）B（4,yB），

由题意P，S，A三点共线可知

yA

y1

x12

所以点A的纵坐标为yA

2y1.

同理得点B的纵坐标为yB

2y2.

所以yAyB

2y1

x22

x1x2

（x1

x2）1

2（x1

x2）4

4（4k2

3）

29

4k4k2

综上，A，B两点的纵坐标之积为定值.

21．（本小题共14分）

（Ⅰ）当a1时，因为

f（x）

所以f（x）

2x1

，f

（0）

又因为f（0）

所以曲线y

f（x）在点（0,f（0））处的切线方程为yx.

丰台区高三数学期末考试试题第9页/共12页

（Ⅱ）因为

x3（a

ax，

所以f（x）x2

（a1）xa0.

令f

（x）

，解得x

a或x

若a

，当f

即x

或xa时，函数f（x）单调递增；

当f

a时，函数f（x）单调递减.

1，则f（x）

2x1（x1）2

当且仅当x

1时取等号，函数

f（x）是增函数.

1，当f

0即x

a或x1时，函数f（x）单调递增.

即a

x1时，函数f（x）单调递减.

综上，a1时，函数

a1时，函数

f（x）单调递增区间为

1）,（a,+），单调递减区间为

（1,a）；

）；

a）,（1,+），单调递减区间为

（a,1）.

⋯⋯⋯⋯⋯⋯分.9

（Ⅲ）

（x）x2

（a1）x

0，解得xa或x1.

当a

0时，随x变化，

f

（x）,f（x）变化情况如下表：