数学新学案同步精致讲义选修21北师大版第三章 圆锥曲线与方程 4 41 Word版含答案Word格式.docx
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.坐标不满足方程(,)=的点不在曲线上.(√)
.坐标满足方程(,)=的点都在曲线上.(×
类型一曲线的方程与方程的曲线解读
例()设方程(,)=的解集非空,若命题“坐标满足方程(,)=的点都在曲线上”是假命题,则下列命题为真命题的是()
.坐标满足方程(,)=的点都不在曲线上
.曲线上的点的坐标不满足(,)=
.坐标满足方程(,)=的点有些在曲线上,有些不在曲线上
.一定有不在曲线上的点,其坐标满足(,)=
()“以方程(,)=的解为坐标的点都是曲线上的点”是“曲线的方程是(,)=”的()
.充分不必要条件.必要不充分条件
.充要条件.既不充分又不必要条件
考点曲线与方程的概念
题点点在曲线上的应用
答案()()
解析()命题“坐标满足方程(,)=的点都在曲线上”为假命题,则命题“坐标满足方程(,)=的点不都在曲线上”是真命题.故选.
()由曲线的方程是(,)=,得以方程(,)=的解为坐标的点都是曲线上的点,但反过来不成立,故选.
反思与感悟()曲线上的点的坐标都是这个方程的解,即直观地说“点不比解多”称为纯粹性;
()以这个方程的解为坐标的点都在曲线上,即直观地说“解不比点多”,称为完备性,只有点和解一一对应,才能说曲线是方程的曲线,方程是曲线的方程.
跟踪训练分析下列曲线上的点与相应方程的关系:
()过点()平行于轴的直线与方程=之间的关系;
()与两坐标轴的距离的积等于的点与方程=之间的关系;
()第二、四象限两坐标轴夹角平分线上的点与方程+=之间的关系.
解()过点()平行于轴的直线上的点的坐标都是方程=的解,但以方程=的解为坐标的点不都在过点()且平行于轴的直线上.因此,=不是过点()且平行于轴的直线的方程.
()与两坐标轴的距离的积等于的点的坐标不一定满足方程=,但以方程=的解为坐标的点与两坐标轴的距离之积一定等于.因此,与两坐标轴的距离的积等于的点的轨迹方程不是=.
()第二、四象限两坐标轴夹角平分线上的点的坐标都满足+=;
反之,以方程+=的解为坐标的点都在第二、四象限两坐标轴夹角的平分线上.因此,第二、四象限两坐标轴夹角平分线上的点的轨迹方程是+=.
类型二 曲线与方程的应用
例已知方程+(-)=.
()判断点(,-),(,)是否在上述方程表示的曲线上;
()若点在上述方程表示的曲线上,求的值.
解()∵+(--)=,()+(-)=≠,
∴点(,-)在方程+(-)=表示的曲线上,
点(,)不在方程+(-)=表示的曲线上.
()∵点在方程+(-)=表示的曲线上,
∴+(--)=,
解得=或=-.
引申探究
本例中曲线方程不变,若点()在圆外,求实数的取值范围.
解结合点与圆的位置关系,
得+(-)>,即>,
解得<-或>,
故所求实数的取值范围为(-∞,-)∪(,+∞).
反思与感悟判断曲线与方程关系的问题时,可以利用曲线与方程的定义,也可利用互为逆否关系的命题的真假性一致判断.
跟踪训练若曲线-++=过点(,-)(∈),求的取值范围.
解∵曲线-++=过点(,-),
∴+++=,
∴=--=-+,
∴≤,
∴的取值范围是.
类型三 求曲线的方程
命题角度直接法求曲线的方程
例一个动点到直线=的距离是它到点()的距离的倍.求动点的轨迹方程.
考点求曲线方程的方法
题点直接法求曲线方程
解设(,),则-=,
则-=,
化简,得+=,
故动点的轨迹方程为+=.
若本例中的直线改为“=”,求动点的轨迹方程.
解设(,),
则到直线=的距离=-,
又=,
故-=,
化简,得+-+-=.
故动点的轨迹方程为+-+-=.
反思与感悟直接法求动点轨迹的关键及方法
()关键:
①建立恰当的平面直角坐标系;
②找出所求动点满足的几何条件.
()方法:
求曲线的方程遵循求曲线方程的五个步骤,在实际求解时可简化为三大步骤:
建系、设点;
根据动点满足的几何条件列方程;
对所求的方程化简、说明.
特别提醒:
直接法求动点轨迹方程的突破点是将几何条件代数化.
跟踪训练已知两点(-),(),且点使·
,·
成公差小于零的等差数列,求点的轨迹方程.
解设点(,),由(-),(),
得=-=(--,-),
=-=(-,-),=-=().
∴·
=(+),·
=+-,
·
=(-).
于是,·
成公差小于零的等差数列等价于
即
∴点的轨迹方程为+=(>
).
命题角度相关点法求曲线的方程
例动点在曲线+=上移动,和定点()连线的中点为,求点的轨迹方程.
题点坐标转移法求曲线方程
解设(,),(,),
因为为的中点,所以即
又因为在曲线+=上,
所以(-)+=.
所以点的轨迹方程为(-)+=.
反思与感悟相关点法求解轨迹方程的步骤
()设动点(,),相关动点(,).
()利用条件求出两动点坐标之间的关系
()代入相关动点的轨迹方程.
()化简、整理,得所求轨迹方程.
跟踪训练已知圆:
+(-)=.过原点作圆的弦,求的中点的轨迹方程.
题点相关点法求曲线方程
由题意,得即
又因为点在圆上,所以+(-)=,
所以+=,
即+=(≠).
.若命题“曲线上点的坐标都是方程(,)=的解”是真命题,则下列命题为真命题的是()
.方程(,)=所表示的曲线是曲线
.方程(,)=所表示的曲线不一定是曲线
.(,)=是曲线的方程
.以方程(,)=的解为坐标的点都在曲线上
答案
解析“曲线上点的坐标都是方程(,)=的解”,但以方程(,)=的解为坐标的点不一定在曲线上,故,,都为假命题,为真命题.
.已知直线:
+-=及曲线:
(-)+(-)=,则点()()
.在直线上,但不在曲线上
.在直线上,也在曲线上
.不在直线上,也不在曲线上
.不在直线上,但在曲线上
解析将()代入直线和曲线的方程,由于+-=,(-)+(-)=,所以点既在直线上,又在曲线上,故选.
.等腰三角形底边的两个顶点分别是(),(,-),则另一个顶点的轨迹方程是()
.-+=(≠).=-
.++=(≠).++=(≠)
考点求曲线的方程的方法
解析设(,),依题意,知=,
所以=,
化简得++=.
又因为,,三点不能共线,所以≠,故选.
.到直线+-=的距离为的点的轨迹方程为.
题点几何法求曲线方程
答案+-=和+=
解析设该点坐标为(,),则
=,即+-=,
∴所求轨迹方程为+-=和+=.
.为直线:
-+=上的一动点,()为一定点,又点在直线上运动,且=,求动点的轨迹方程.
解设点,的坐标分别为(,),(,),由题设及向量共线条件可得所以
因为点(,)在直线-+=上,
所以×
-+=,
即-+=,
从而点的轨迹方程为-+=.
.判断点是否在某个方程表示的曲线上,就是检验该点的坐标是不是方程的解,是否适合方程.若适合方程,就说明点在曲线上;
若不适合,就说明点不在曲线上.
.已知点在某曲线上,可将点的坐标代入曲线的方程,从而可研究有关参数的值或范围问题.
一、选择题
.方程+=+表示的曲线是()
.一条直线.一个正方形
.一个圆.四条直线
考点曲线和方程的概念
题点由方程研究曲线的对称性
解析由+=+,得(-)(-)=,即=±
或=±
,因此该方程表示四条直线.
.已知≤α<
π,点(α,α)在曲线(-)+=上,则α的值为()
π或π或
解析由(α-)+α=,得α=.
又因为≤α<
π,
所以α=或α=π.
.方程-=表示的图形是下图中的()
解析由-=知,=±
,即表示一、三象限角平分线或二、四象限角平分线.
.已知两定点(-),(),若动点满足=,则点的轨迹所围成的面积为()
.π.π.π.π
考点曲线与方程的意义
题点曲线与方程的综合应用
解析设(,),∵=,
∴(+)+=(-)+,∴(-)+=,
∴点的轨迹为以()为圆心,以为半径的圆,
∴所围成的面积=π·
=π.
.在平面直角坐标系中,动点(,)到两条坐标轴的距离之和等于它到点()的距离,记点的轨迹为曲线,则有下列命题:
①曲线关于原点对称;
②曲线关于轴对称;
③曲线关于轴对称;
④曲线关于直线=对称.
其中真命题的个数是()
....
.过三点(),(),(,-)的圆交轴于,两点,则等于()
解析由已知,得=(,-),=(-,-),则·
=×
(-)+(-)×
(-)=,所以⊥,即⊥,故过三点,,的圆以为直径,得其方程为(-)+(+)=,令=得(+)=,解得=--,=-+,所以=-=,故选.
.已知两点(,),(-,),点为平面内一动点,过点作轴的垂线,垂足为,且·
=,则动点的轨迹方程为()
.+=.-=
.-=.-=
题点定义法求曲线方程
解析设动点的坐标为(,),
则点的坐标为(,),
=(-),=(-,-),
=(--,-),·
=-+.
由·
=,得-+=,
所以所求动点的轨迹方程为-=.
二、填空题
.方程(-)+=表示的是.
考点讨论方程的曲线类型
题点其他类型的曲线与方程
答案点()
解析由(-)+=,知(-)=且=,即=且=,所以(-)+=