矩阵计算大作业-特征值的数值解法_精品文档资料下载.pdf

矩阵计算大作业-特征值的数值解法_精品文档资料下载.pdf

《矩阵计算大作业-特征值的数值解法_精品文档资料下载.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《矩阵计算大作业-特征值的数值解法_精品文档资料下载.pdf（14页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

所以Jacobi方法是求实对称矩阵全部特征值和特征向量的一个较好的方法。

它的弱点是计算量大，对原矩阵是稀疏矩阵，旋转变换后不能保持其稀疏的性质，所以Jacobi方法只能应用于阶数不高的“满矩阵”。

关键词关键词：

特征值；

圆盘定理；

QR算法；

Jacobi方法。

引言引言：

特征值的概念是在1855年由凯莱提出的，它先于矩阵的提出，但直到20世纪中期特征值的名称才得到统一。

这里将介绍几种常用的计算矩阵特征值和特征向量的数值方法，如相似变换法，包括Householder变换、Givens变换、QR方法、对称矩阵的Jacobi方法等。

幂法的实际使用是在20世纪早期开始的，但在此之前它已被反复提到过，如1931年Krylov利用幂法产生的序列求出了矩阵的特征多项式。

反幂法是1944年由Wielandt提出的。

而用Jacobi方法计算对称矩阵特征值要追溯到1845年。

QR迭代方法是在1961年由Francis和Kublanovskaya分别独立提出的。

在纯数学角度来看，特征值和特征向量是将二次型化为标准型的一个重要的工具，在科学研究和工程技术中的许多问题，如信息系统设计、非线性最优化、数量经济分析、微小振动研究等等，都涉及矩阵的特征值与特征向量的计算。

对于,HRAR矩阵特征值问题就是求C及非零向量x，使得Axx,这样的称为矩阵A的特征值，向量x称为对应特征值的特征向量。

在工程技术中许多实际问题最终都要归结为矩阵特征值和特征向量的计算问题。

在线性代数中个，我们知道，矩阵A的特征值的求解可通过矩阵A的特征多项式1112121221212detnnnnaaLaaaLafIAMMMaaLa的根来得到。

上式中I是n阶单位阵，detIA表示IA的行列式，它是的n次代数多项式。

众所周知，5次以上的代数多项式是没有求根公式的，它们的求解大部分是相当困难的。

同时高次多项式的重根的计算往往精度较低等。

因此，从数值计算的观点来看，用特征多项式来求矩阵特征值的方法并不可取，必须建立有效的数值方法。

在实际应用中，求矩阵的特征值和特征向量通常分为变换法和迭代法两种。

变换法是从原矩阵出发，用有限个正交相似变换将其化为便于求出特征值的形式，如对角矩阵、三角形矩阵等。

这类方法有工作量小和应用范围广的优点，但由于舍入误差的影响，其精度往往不高。

迭代法的基本思想是将特征值及特征向量作为一个无限序列的极限来求得。

这类方法对舍入误差的影响有较强的稳定性，但通常工作量较大。

实际问题中提出的特征值问题的要求是不相同的，有些问题只要求计算绝对值最大或最小的特征值，但更多的则要求计算全部特征值和特征向量。

必须针对问题特点进行具体分析，选择适当的方法。

下面介绍几种目前在计算机上比较常用的矩阵特征值问题的数值方法。

本论本论：

1.矩阵特征值问题的有关理论本节叙述一些与特征值有关的概念与结论。

命题

（1）设,（1,2,）HRijiAaRiLnA是的特征值则有1;

niiDetA11,nniuiitrAa式中tr（A）为矩阵A的迹。

在计算矩阵的特征值时，如果能够给出特征值大小的一个范围，在很多情况下是非常有用的。

在前面的范数讲到，可以用范数粗略估计特征值外，还可以利用著名的Gerschgorin圆盘定理来估计特征值。

定理1（Gerschgorin圆盘定理）设,HRijAaC则设A的每一个特征值1niiD其中1,1,2,niijijjjiDzzaaiLn为第i个圆盘。

定理2如果A的n个圆盘中的m个圆盘形成一个连通集S，且S与其他n-m个圆盘是分离的。

则在连通集S中恰好有A的m个特征值。

特别的，当m=1时，即每个孤立圆盘中恰好有一个特征值。

定义1设A为n阶实对称矩阵，对任意非零向量x，称,AxxRxxx为对应于向量x的Rayleigh商，其中1,niiixyxy为向量x和y的内积。

定理3设A为n阶实对称矩阵，其特征值都为实数，排列为12,nL对应的特征向量x1,x2,L,xn组成正交向量组，则有

（1）对任何非零向量n1,nxRRx有

（2）11max（）（）RxRx（3）min（）（）nnRxRx证明设x=0，则有表达式：

211,0nniiiiixxxx2221111（,）nmmniiiiiiiAxx由此可见

（1）成立。

在Rayleigh商中分别取x=x1和x=xn，可得到Rayleigh商的最大值和最小值，即

（2）和（3）成立。

2.乘幂法

（1）乘幂法和加速方法乘幂法是通过求矩阵的特征向量来求出特征值的一种迭代法。

它主要用来求矩阵按模最大的特征值及其对应的特征向量。

设矩阵HRAR的n个特征值满足12nL，

（1）对应的n个特征向量x1，x2，K,xn线性无关。

称模最大的特征值1为主特征值，对应的特征向量x1为主特征向量。

乘幂法用于求主特征值和特征向量。

它的基本思想是任取非零的初始向量v0，由矩阵A构造一个向量序列：

11,2,kkkovAvAvnL由假设v0可表示为：

01122nnvxxLx

（2）若记kiv为向量vk的第i个分量，则有011111121knnkkkkikiiiiiikiivAvaxaxaxax1111111,kkiikkiivxvx其中12knjkiiix。

若10,0,ix则由lim0kk知11111lim,limkkkkkkvvxv可见，当k充分大时，vk近似于主特征向量（相差一个常数倍），vk+1与vk的对应非零分量的比值近似于主特征值。

在实际计算中，需要对计算结果进行规范化。

因为当11时，vk趋于零；

当11时，vk的非零分量趋于无穷，从而计算时会出现下溢或上溢。

为此，对向量12,nnZzzLzR记max（Z）=zi，其中,izZ这样，我们有如下乘幂法的实用的计算公式：

任取000v，对于k=1,2，L分别计算1,/max（）kkkkkvAuuvv（3）求出对应矩阵的主特征向量和特征值的近似值，有下面的定理。

定理4.设HRAR的特征值（1,2,）iiLn满足上式并且对应的n个线性无关的特征向量1,2,ixiLn。

给定初始向量01niiivax，0i，则由上式生成的向量序列有111lim,limmaxmaxkkkxvx证明若记mk=max（vk），有2120111kkkkkkkkkAuAuAuuLmmmmmLm由于uk的最大分量为1，即max（uk）=1,故110maxkkkmmLmAu又注意到假定00uv，从而00100,maxmaxkkkkkkAvAvvuAvAv可以推出201111112111101110111111,maxmaxmaxmaxknkkkikikkkkkkkkkAvxxxxAvuxAvxxkxx同理，可得到1111111111111maxmaxkkkkkkkxxvxx1111111maxmaxmaxkkkxvkx定理得证。

由定理的证明可见，乘幂法的收敛速度由21/的大小决定。

若A的特征值不满足

（1）式，将有不同的情况。

如果12r，且1rr。

可以做类似的分析，对初始向量

（2）和计算公式（3）有111lim,limmaxmaxriiikkrkkiiixuvx可见，uk仍收敛于一个主特征向量。

对特征值的其他情况，讨论较为复杂，完整的乘幂法程序要加上各种情况的判断。

-3.QR算法近代发展起来的QR方法是用来计算任意矩阵的全部特征值和特征向量的最有效的方法之一，对它的研究和应用日益扩大。

这里仅对这一算法的基本思想和实现算法作一个简要的介绍。

（1）Householder变换和Givens变换1.Householder变换定义2设向量2,1nR,则称2THI

（1）为Householder矩阵或Householder变换。

有时也称为镜面反射矩阵。

例如：

122,333r，则2=1，于是7-4-41=-2=-41-89-4-81THI为Householder矩阵。

Householder矩阵HH有如下性质：

（1）H是对称正交阵，即H=HT=H-1.。

事实上，显然有HT=H,又由21T得知244TTTTHHHII

（2）对任何22,y=xnxR记y=Hx,有。

（3）记S为与垂直的超平面，则几何上x与y=Hx关于平面S对称。

事实上，由2TyHxIx得知2Txyx上式表明向量x-y与平行，注意到y与x的长度相等。

它的几何解释是向量x经变换后的象y=Hx是x关于S对称的向量。

对应于性质

（2）,有下面的定理。

定理7设,nxyRxy且22xy，则有Householder矩阵H，使得Hx=y。

证明令2,2TxyHIxy。

则有21。

由TTxxyy可知2222TTTTTxyxxxxyyyxyxyxy从而可得2222TTxyxyxHxxxxxxyyxy定理得证。

该定理的一个重要应用是对12,0TnxxxLx有Householder矩阵H，使得1Hxe

（2）其中112,1,0,0TsignxxeL。

矩阵H的计算公式为111TuxexHI（3）关于符号的选取，是为了使分母的尽量大，从而有利于数值计算的稳定性。

（2）的意义是对向量做消元运算，即使向量的第二个分量到第n个分量全都化为零。

当然，也可以构造相应的Householder矩阵，使向量的连续若干个分量为零。

例子1：

对于向量x=（3,5,1）T,构造Householder矩阵H，使121,0,0THxsignxx解1226,6xsignxx，19,5,1,1Tuxe。

而从2108,54u，按（3）得12745994529551955315495153THI2.Givess变换Householder变换可视一个向量的连续若干个分量化为零，有时希望把指定的一个分量化为零，此时可以使用Givess变换。

定义3将n阶单位矩阵In改变第i，j行和第i，j列的四个元素得到的矩阵10cossin,0sincos01iJJijj称为Givens矩阵或Givens变换。

容易验证，J（i，j，）为正交矩阵，表示在n维空间中将互相正交的两个坐标轴在其所决定