矩阵计算大作业-特征值的数值解法_精品文档资料下载.pdf

1、所以 Jacobi 方法是求实对称矩阵全部特征值和特征向量的一个较好的方法。它的弱点是计算量大，对原矩阵是稀疏矩阵，旋转变换后不能保持其稀疏的性质，所以 Jacobi 方法只能应用于阶数不高的“满矩阵”。关键词关键词：特征值；圆盘定理；QR 算法；Jacobi 方法。引言引言：特征值的概念是在 1855 年由凯莱提出的，它先于矩阵的提出，但直到 20 世纪中期特征值的名称才得到统一。这里将介绍几种常用的计算矩阵特征值和特征向量的数值方法，如相似变换法，包括 Householder 变换、Givens 变换、QR 方法、对称矩阵的 Jacobi 方法等。幂法的实际使用是在 20 世纪早期开始的，

2、但在此之前它已被反复提到过，如 1931 年 Krylov利用幂法产生的序列求出了矩阵的特征多项式。反幂法是 1944 年由 Wielandt 提出的。而用Jacobi 方法计算对称矩阵特征值要追溯到 1845 年。QR 迭代方法是在 1961 年由 Francis 和Kublanovskaya 分别独立提出的。在纯数学角度来看，特征值和特征向量是将二次型化为标准型的一个重要的工具，在科学研究和工程技术中的许多问题，如信息系统设计、非线性最优化、数量经济分析、微小振动研究等等，都涉及矩阵的特征值与特征向量的计算。对于,H RAR 矩阵特征值问题就是求C 及非零向量 x，使得Axx,这样的 称为

3、矩阵 A 的特征值，向量 x 称为对应特征值的特征向量。在工程技术中许多实际问题最终都要归结为矩阵特征值和特征向量的计算问题。在线性代数中个，我们知道，矩阵 A 的特征值的求解可通过矩阵 A 的特征多项式 1112121221212detnnnnaaLaaaLafIAMMMaaLa 的根来得到。上式中 I 是 n 阶单位阵，detIA 表示IA 的行列式，它是的n 次代数多项式。众所周知，5 次以上的代数多项式是没有求根公式的，它们的求解大部分是相当困难的。同时高次多项式的重根的计算往往精度较低等。因此，从数值计算的观点来看，用特征多项式来求矩阵特征值的方法并不可取，必须建立有效的数值方法。在

4、实际应用中，求矩阵的特征值和特征向量通常分为变换法和迭代法两种。变换法是从原矩阵出发，用有限个正交相似变换将其化为便于求出特征值的形式，如对角矩阵、三角形矩阵等。这类方法有工作量小和应用范围广的优点，但由于舍入误差的影响，其精度往往不高。迭代法的基本思想是将特征值及特征向量作为一个无限序列的极限来求得。这类方法对舍入误差的影响有较强的稳定性，但通常工作量较大。实际问题中提出的特征值问题的要求是不相同的，有些问题只要求计算绝对值最大或最小的特征值，但更多的则要求计算全部特征值和特征向量。必须针对问题特点进行具体分析，选择适当的方法。下面介绍几种目前在计算机上比较常用的矩阵特征值问题的数值方法。本

5、论本论：1.矩阵特征值问题的有关理论 本节叙述一些与特征值有关的概念与结论。命题（1）设,（1,2,）H RijiAaRiL nA是 的特征值则有 1;niiDet A 11,nniuiitr Aa 式中 tr（A）为矩阵 A 的迹。在计算矩阵的特征值时，如果能够给出特征值大小的一个范围，在很多情况下是非常有用的。在前面的范数讲到，可以用范数粗略估计特征值外，还可以利用著名的Gerschgorin 圆盘定理来估计特征值。定理 1（Gerschgorin 圆盘定理）设,H RijAaC 则设 A 的每一个特征值 1niiD 其中 1,1,2,niijijjj iDz zaaiL n 为第 i 个

6、圆盘。定理 2 如果 A 的 n 个圆盘中的 m 个圆盘形成一个连通集 S，且 S 与其他 n-m 个圆盘是分离的。则在连通集 S 中恰好有 A 的 m 个特征值。特别的，当 m=1 时，即每个孤立圆盘中恰好有一个特征值。定义 1 设 A 为 n 阶实对称矩阵，对任意非零向量 x，称 ,Ax xR xx x 为对应于向量 x 的 Rayleigh 商，其中1,niiix yx y 为向量 x 和 y 的内积。定理 3 设 A 为 n 阶实对称矩阵，其特征值都为实数，排列为 12,nL 对应的特征向量 x1,x2,L,xn 组成正交向量组，则有 （1）对任何非零向量 n1,nxRR x有 （2）

7、11max（）（）R xR x （3）min（）（）nnR xR x 证明 设 x=0，则有表达式：211,0nniiiiixxx x 2221111（,）nmmniiiiiiiAx x 由此可见（1）成立。在 Rayleigh 商中分别取 x=x1和 x=xn，可得到 Rayleigh 商的最大值和最小值，即（2）和（3）成立。2.乘幂法 （1）乘幂法和加速方法 乘幂法是通过求矩阵的特征向量来求出特征值的一种迭代法。它主要用来求矩阵按模最大的特征值及其对应的特征向量。设矩阵H RAR 的 n 个特征值满足 12nL，（1）对应的 n 个特征向量 x1，x2，K,xn 线性无关。称模最大的特征

8、值1 为主特征值，对应的特征向量 x1 为主特征向量。乘幂法用于求主特征值和特征向量。它的基本思想是任取非零的初始向量 v0，由矩阵A 构造一个向量序列：11,2,kkkovAvA vnL 由假设 v0 可表示为：01 122nnvxxLx （2）若记kiv 为向量 vk 的第 i 个分量，则有 01 111 1121knnkkkkikiiiiiikiivA vaxa xaxa x 111 111 1,kkiikkiivxvx 其中12knjkiiix。若10,0,ix 则由lim0kk 知 11 111lim,limkkkkkkvvxv 可见，当 k 充分大时，vk近似于主特征向量（相差一个

9、常数倍），vk+1与 vk的对应非零分量的比值近似于主特征值。在实际计算中，需要对计算结果进行规范化。因为当11 时，vk趋于零；当11 时，vk的非零分量趋于无穷，从而计算时会出现下溢或上溢。为此，对向量12,nnZz zL zR 记 max（Z）=zi，其中,izZ 这样，我们有如下乘幂法的实用的计算公式：任取000v，对于 k=1,2，L 分别计算 1,/max（）kkkkkvAuuvv （3）求出对应矩阵的主特征向量和特征值的近似值，有下面的定理。定理 4.设H RAR 的特征值（1,2,）iiL n 满足上式并且对应的 n 个线性无关的特征向量1,2,ix iL n。给定初始向量01

10、niiiva x，0i，则由上式生成的向量序列有 111lim,limmaxmaxkkkxvx 证明 若记 mk=max（vk），有 2120111kkkkkkkkkAuA uA uuLmm mm mLm 由于 uk的最大分量为 1，即 max（uk）=1,故 110maxkkkm mLmA u 又注意到假定00uv，从而 00100,maxmaxkkkkkkA vA vvuAvA v 可以推出 2011 111 12111 1011 101 111 11,maxmaxmaxmaxknkkkikikkkkkkkkkA vxxxxA vuxA vxxkxx 同理，可得到 1 111 111 11

11、11 11maxmaxkkkkkkkxxvxx 1 1111 11maxmaxmaxkkkxvkx 定理得证。由定理的证明可见，乘幂法的收敛速度由21/的大小决定。若 A 的特征值不满足（1）式，将有不同的情况。如果12r，且1rr。可以做类似的分析，对初始向量（2）和计算公式（3）有 111lim,limmaxmaxriiikkrkkiiixuvx 可见，uk 仍收敛于一个主特征向量。对特征值的其他情况，讨论较为复杂，完整的乘幂法程序要加上各种情况的判断。-3.QR 算法 近代发展起来的 QR 方法是用来计算任意矩阵的全部特征值和特征向量的最有效的方法之一，对它的研究和应用日益扩大。这里仅对

12、这一算法的基本思想和实现算法作一个简要的介绍。（1）Householder 变换和 Givens 变换 1.Householder 变换 定义 2 设向量2,1nR,则称 2THI （1）为 Householder 矩阵或 Householder 变换。有时也称为镜面反射矩阵。例如：1 2 2,3 3 3r，则2=1，于是 7-4-41=-2=-41-89-4-81TH I 为 Householder 矩阵。Householder 矩阵 HH 有如下性质：（1）H 是对称正交阵，即 H=HT=H-1.。事实上，显然有 HT=H,又由21T 得知 244TTTTH HHII （2）对任何22,y

13、=xnxR记y=Hx,有 。（3）记 S 为与 垂直的超平面，则几何上 x 与 y=Hx 关于平面 S 对称。事实上，由2TyHxIx 得知 2Txyx 上式表明向量 x-y 与 平行，注意到 y 与 x 的长度相等。它的几何解释是向量 x 经变换后的象 y=Hx 是 x 关于 S 对称的向量。对应于性质（2）,有下面的定理。定理 7 设 ,nx yRxy 且22xy，则有 Householder 矩阵 H，使得 Hx=y。证明 令2,2TxyHIxy。则有21。由TTx xy y 可知 2222TTTTTxyxx xx yy yxyxyxy 从而可得 2222TTxyxyxHxxxxxxyy

14、xy 定理得证。该定理的一个重要应用是对12,0Tnxx x L x 有 Householder 矩阵 H，使得 1Hxe （2）其中112,1,0,0Tsign xxeL 。矩阵 H 的计算公式为 111TuxexHI （3）关于符号 的选取，是为了使分母的 尽量大，从而有利于数值计算的稳定性。（2）的意义是对向量做消元运算，即使向量的第二个分量到第 n 个分量全都化为零。当然，也可以构造相应的 Householder 矩阵，使向量的连续若干个分量为零。例子 1：对于向量 x=（3,5,1）T,构造 Householder 矩阵 H，使 121,0,0THxsign xx 解 1226,6xsign xx ，19,5,1,1Tuxe。而从2108,54u，按（3）得 12745994529551955315495153THI 2.Givess 变换 Householder 变换可视一个向量的连续若干个分量化为零，有时希望把指定的一个分量化为零，此时可以使用 Givess 变换。定义 3 将 n 阶单位矩阵 In改变第 i，j 行和第 i，j 列的四个元素得到的矩阵 10cossin,0sincos01iJJ i jj 称为 Givens 矩阵或 Givens 变换。容易验证，J（i，j，）为正交矩阵，表示在 n 维空间中将互相正交的两个坐标轴在其所决定