数列综合讲义资料下载.pdf
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12选择题数列的周期性利用周期性求和5分文:
14填空题等比数列前n项和方程思想5分2013年理:
7选择题等差数列前n项和方程思想5分理:
12选择题与三角形的综合应用判断数列的增(减)性特殊、比较5分理:
14填空题由na与nS关系求an比差法5分文:
6选择题等比数列通项、前n项和方程思想5分文:
17解答题等差数列通项、前n项和方程组、列项相消12分2014年理:
17解答题由na与nS关系判定及证明比差法12分文:
17解答题等差数列通项前n项和及一元二次的解法,乘公比错位相消方程组12分2015年理:
17解答题由na与nS关系求通项;
前n项和换元法,裂项相消法12分文:
7选择题等差数列:
基本量求某一项;
方程思想5分文:
13填空题等比数列:
基本量求项数方程思想5分2016年理:
3选择题等差数列,基本量求某一项方程思想5分理:
15填空题等比数列,累积求最值函数思想5分文:
17解答题等差数列通项公式,等比数列前n项和nS赋值,利用公式求和12分2017年理:
4选择题等差数列,基本量求公差方程思想5分理:
12选择题数列分群问题等比数列求和5分文:
17解答题等比数列求通项,判定等差方程思想12分纵观全国卷的数列试题,我们可以发现,全国卷的数列题注重基础,强调双基,讲究解题的通性通法,常常以“找常数”、“找邻居”、“找配对”、“构函数”作为数列问题一大亮点。
从2011年至2017年,全国卷理科试题共考查了12道数列题,其中9道都是标准的等差或等比数列,主要考查等差或等比数列的定义、性质、通项、前n项和、某一项的值或某几项的和以及证明等差或等比数列等基础知识。
而文科试题共考查了11道数列题,其中9道也都是标准的等差或等比数列,主要考查数列的性质、求通项、求和、求数列有关基本量以及证明等差或等比数列等基础知识。
SYSU荣3【基础知识基础知识】一、等差等比对比一、等差等比对比类型类型项目项目等差数列等比数列定义1
(1)nnaadn1nnaqa中项(,aAb)2abA2abA通项公式1
(1)=()nmaandanmd11nnmnmaaqaqmnpqmnpqaaaamnpqaaaa232,mmmmmSSSSS成公差为2md的等差数列成公比为mq的等比数列nS122pqnnaaaaSnn或1
(1)2nnnSnad1111
(1)111nnnnaqSaaqaqqqq或单调性00dd单调递增:
单调递减:
11110,1(1,2,4,8)0,01(8,4,2,1)0,01(8,4,2,1)0,1(1,2,4,8)aqaqaqaq单调递增单调递减二、等差等比补充二、等差等比补充等差数列篇:
等差数列篇:
1、判定:
1
(1)nnaadn;
1
(2)nnaadn;
112
(1)nnnaaan(等差中项法)naknb,11
(1)222pqnnaaaannSnnnad,2nSAnBn(可用于选择填空快速判断,不可用于证明)SYSU荣42、函数的观点看数列(i)111naanddnad,所以该通项公式可看作na关于n的一次函数,从而可通过函数的角度分析等差数列的性质。
(ii)21111()222nnndSnadnadn,即nS是关于项数n的二次函数,且不含常数项,可记为2nSAnBn的形式。
从而可将nS的变化规律图像化3、数列nSn也是等差数列4、若两个等差数列,nnab的前n和分别为,nnST,则2121nnnnaSbT5、奇偶数项问题(会自行推导)项数为2n项:
SSnd奇偶项数为21n项:
nSSa奇偶等比数列篇:
等比数列篇:
1nnaqnNa对于nN,均有212nnnaaa(等比中项法)nnakq(指数类函数)111
(1)111nnnnaqaaSqkqkqqq(可用于选择填空快速判断,不可用于证明)2、函数的观点看数列等比数列na的通项公式111(0)nnaaqaq还可以改写成1nnaaqq,当0q且10a时,xyq是一个指数函数,而1xayqq是指数型函数.因此等比数列na的点列(),nna分布在指数型函数1xayqq的图像上,即等比数列na的图像是函数1xayqq的图像上的一群孤立点SYSU荣5三、数列的周期性三、数列的周期性类比周期函数的概念,我们可定义:
对于数列na,如果存在一个常数T)(NT,使得对任意的正整数0nn恒有nTnaa成立,则称数列na是从第0n项起的周期为T的周期数列。
若10n,则称数列na为纯周期数列,若20n,则称数列na为混周期数列,T的最小值称为最小正周期,简称周期常见周期如下所列:
常见周期如下所列:
(1)21Tsaann21Tsaann1121nnnaaTa特别地,1,2nnnxayaxbTkab
(2)123nnnaaasT123nnnaaasT1131nnaTa1113nnaTa(3)1141nnnaaTa1121nnnaaTa1141nnnaaTa(4)216nnnaaaT111331363313nnnnnaaaTaa(类比tantan6tan()61tantan6)四、几个常见的求和公式四、几个常见的求和公式
(1)1
(1)2ninni
(2)21
(1)(21)6ninnni(3)321
(1)2ninniSYSU荣6第第1讲讲数列通项数列通项【高考真题】【高考真题】
(2016全国全国卷文)卷文)已知na是公差为3的等差数列,数列nb满足1211,3bb,11nnnnabbnb,则na的通项公式是na_(2015全国全国卷卷)nS为数列na的前n项和.已知na0,2nnaa=43nS则na的通项公式为_(2013全国全国卷文卷文)已知等差数列na的前n项和nS满足350,5SS,则na的通项公式是na_(2013全国全国卷理)卷理)若数列na的前n项和2133nnSa,则na的通项公式是na_(2010全国全国卷理卷理)设数列na满足21112,32nnnaaa,则na的通项公式是na_(20092009全国全国卷卷文文)设等差数列na的前n项和为nS,公比是正数的等比数列nb的前n项和为nT.已知1133331,3,17,12ababTS,求,nnab的通项公式(2007全国卷全国卷文文)设na是等差数列,nb是各项都为正数的等比数列,且111ab,3521ab,5313ab,求na、nb的通项公式(2005全国卷全国卷文文)设正项等比数列na的首项211a,前n项和为nS,且10103020102(21)0SSS,则na的通项公式是na_SYSU荣71.1公式法公式法等差比通项公式万能公式11,
(1),
(2)nnnSnaSSn注意通项能否合并能否合并(2017.12化州二模化州二模)已知nS为数列na的前n项和,且1)1(log2nSn,则数列na的通项公式为(2016.9广东适应性考试广东适应性考试)已知数列na的各项均为正数,nS为其前n项和,且对任意*Nn,均有na、nS、2na成等差数列,则na1.2累加法累加法形如形如)(1nfaann型的递推数列型的递推数列例例:
数列na满足:
11a,且121nnnaa,求na(2017.04武汉调研武汉调研)已知数列na满足11a,312a,若),2(3)2(1111Nnnaaaaannnnn,则数列na的通项na()(A)121n(B)121n(C)131n(D)1211n(2017河北衡水六调河北衡水六调改改)若数列na满足11a,且对于任意的*nN都有11nnaan,则122018111.aaa_SYSU荣81.3累乘法累乘法形如形如1()nnaafn1()nnafna型的递推数列型的递推数列例例:
已知数列na满足:
11a,且11nnnana,求na变式变式:
设na是首项为1的正项数列,且2211
(1)0(1,2,3,.)nnnnnanaaai,则na_1.4差商法差商法(2017.12广州调研广州调研)已知数列na满足211234444nnnaaaaL*nN求数列na的通项公式已知数列na中,11a,对所有*nN且2n时都有2123.naaaan,求naSYSU荣91.5构造辅助数列构造辅助数列类型类型11:
形如形如qpaann1(其中(其中,pq均为常数且均为常数且0p)类型类型22:
形如形如1()nnapafn
(1)p类型类型33:
形如形如1nnnmaapaq类型类型44:
形如形如21nnnapaqa特别地,当特别地,当1pq时,便是著名的兔子数列,也就是斐波那契数列,时,便是著名的兔子数列,也就是斐波那契数列,其通项可通过特征根方程求得其通项可通过特征根方程求得51515()()522nnna类型类型55:
形如形如1(0,0)qnnnapapa1、(2017.10惠州二调惠州二调)已知数列na满足)(22,111Nnaaannn,则数列na的通项公式为na变式变式1:
已知数列na满足)(32,111Nnaaannn,则数列na的通项公式为na变式变式2:
已知数列na满足)(12,111Nnaaann,则数列na的通项公式为na变式变式3:
已知数列na满足)(2,111Nnnaaann,则数列na的通项公式为na22、(20172017云南师大附中月考云南师大附中月考)已知数列na满足12a,且*112(2,)1nnnnaannNan,则na_3、设数列na满足:
121,2aa,且对于其中任意三个连续的项11,nnnaaa,都有:
11112nnnnanaan,求na通项公式SYSU荣10第第2讲讲数列求和数列求和【高考真题】【高考真题】
(2016全国全国卷文)卷文)已知na是公差为3的等差数列,数列nb满足1211,3bb,11nnnnabbnb,求nb的前n项和(2015全国全国卷卷文文)数列na中112,2,nnnaaaS为na的前n项和,若126nS,则n(2015全国全国卷理卷理)nS为数列na的前n项和.已知na0,2nnaa=43nS,设11nnnbaa,则数列nb的前n项和为_(2013全国卷全国卷文)文)已知等差数列na的前n项和nS满足350