1、12选择题数列的周期性利用周期性求和5 分文:14填空题等比数列前n项和方程思想5 分2013 年理:7选择题等差数列前n项和方程思想5 分理:12选择题与三角形的综合应用判断数列的增(减)性特殊、比较5 分理:14填空题由na与nS关系求an比差法5 分文:6选择题等比数列通项、前n项和方程思想5 分文:17解答题等差数列通项、前n项和方程组、列项相消12 分2014 年理:17解答题由na与nS关系判定及证明比差法12 分文:17解答题等差数列通项 前 n 项和及一元二次的解法,乘公比错位相消方程组12 分2015 年理:17解答题由na与nS关系求通项;前n项和换元法,裂项相消法12 分
2、文:7选择题等差数列:基本量求某一项;方程思想5 分文:13填空题等比数列:基本量求项数方程思想5 分2016 年理:3选择题等差数列,基本量求某一项方程思想5 分理:15填空题等比数列,累积求最值函数思想5 分文:17解答题等差数列通项公式,等比数列前n项和nS赋值,利用公式求和12 分2017 年理:4选择题等差数列,基本量求公差方程思想5 分理:12选择题数列分群问题等比数列求和5 分文:17解答题等比数列求通项,判定等差方程思想12 分纵观全国卷的数列试题,我们可以发现,全国卷的数列题注重基础,强调双基,讲究解题的通性通法,常常以“找常数”、“找邻居”、“找配对”、“构函数”作为数列问
3、题一大亮点。从 2011 年至 2017 年,全国卷理科试题共考查了 12 道数列题,其中 9 道都是标准的等差或等比数列,主要考查等差或等比数列的定义、性质、通项、前n项和、某一项的值或某几项的和以及证明等差或等比数列等基础知识。而文科试题共考查了 11 道数列题,其中 9 道也都是标准的等差或等比数列,主要考查数列的性质、求通项、求和、求数列有关基本量以及证明等差或等比数列等基础知识。SYSU荣3【基础知识基础知识】一、等差等比对比一、等差等比对比类型类型项目项目等差数列等比数列定义1(1)nnaad n1nnaqa中项(,a A b)2abA2abA通项公式1(1)=()nmaandan
4、m d11nn mnmaa qa qmnpqmnpqaaaamnpqaaaa232,mmmmmSSSSS成公差为2m d的等差数列成公比为mq的等比数列nS122pqnnaaaaSnn或1(1)2nn nSnad1111(1)111nnnna qSaa qaqqqq或单调性00dd单调递增:单调递减:11110,1(1,2,4,8)0,01(8,4,2,1)0,01(8,4,2,1)0,1(1,2,4,8)aqaqaqaq 单调递增单调递减二、等差等比补充二、等差等比补充等差数列篇:等差数列篇:1、判定:1(1)nnaad n;1(2)nnaad n;112(1)nnnaaa n(等差中项法)
5、naknb,11(1)222pqnnaaaan nSnnnad,2nSAnBn(可用于选择填空快速判断,不可用于证明)SYSU荣42、函数的观点看数列(i)111naandd nad,所以该通项公式可看作na关于n的一次函数,从而可通过函数的角度分析等差数列的性质。(ii)21111()222nn ndSnadnad n,即nS是关于项数n的二次函数,且不含常数项,可记为2nSAnBn的形式。从而可将nS的变化规律图像化3、数列nSn也是等差数列4、若两个等差数列,nnab的前n和分别为,nnS T,则2121nnnnaSbT5、奇偶数项问题(会自行推导)项数为2n项:SSnd奇偶项数为21n
6、项:nSSa奇偶等比数列篇:等比数列篇:1nnaq nNa对于nN,均有212nnnaa a(等比中项法)nnak q(指数类函数)111(1)111nnnnaqaaSqk qkqqq(可用于选择填空快速判断,不可用于证明)2、函数的观点看数列等比数列 na的通项公式111(0)nnaaqa q还可以改写成1nnaaqq,当0q且10a时,xyq是一个指数函数,而1xayqq是指数型函数.因此等比数列 na的点列(),nna分布在指数型函数1xayqq的图像上,即等比数列 na的图像是函数1xayqq的图像上的一群孤立点SYSU荣5三、数列的周期性三、数列的周期性类比周期函数的概念,我们可定义
7、:对于数列na,如果存在一个常数T)(NT,使得对任意的正整数0nn 恒有nTnaa成立,则称数列na是从第0n项起的周期为T的周期数列。若10n,则称数列na为纯周期数列,若20n,则称数列na为混周期数列,T的最小值称为最小正周期,简称周期常见周期如下所列:常见周期如下所列:(1)21Tsaann21Tsaann1121nnnaaTa特别地,1,2nnnxayaxbTkab(2)123nnnaaasT123nnnaaasT1131nnaTa 1113nnaTa(3)1141nnnaaTa1121nnnaaTa1141nnnaaTa(4)216nnnaaaT111331363313nnnnn
8、aaaTaa(类比tantan6tan()61tantan6)四、几个常见的求和公式四、几个常见的求和公式(1)1(1)2nin ni(2)21(1)(21)6nin nni(3)321(1)2nin niSYSU荣6第第 1 讲讲数列通项数列通项【高考真题】【高考真题】(2016 全国全国卷文)卷文)已知na是公差为3的等差数列,数列 nb满足1211,3bb,11nnnna bbnb,则na的通项公式是na _(2015 全国全国卷卷)nS为数列na的前n项和.已知na0,2nnaa=43nS 则na的通项公式为_(2013 全国全国卷文卷文)已知等差数列na的前n项和nS满足350,5S
9、S,则na的通项公式是na _(2013 全国全国卷理)卷理)若数列na的前n项和2133nnSa,则na的通项公式是na _(2010 全国全国卷理卷理)设数列na满足21112,3 2nnnaaa,则na的通项公式是na _(20092009 全国全国卷卷文文)设等差数列na的前n项和为nS,公比是正数的等比数列 nb的前n项和为nT.已知1133331,3,17,12ababTS,求,nnab的通项公式(2007 全国卷全国卷文文)设na是等差数列,nb是各项都为正数的等比数列,且111ab,3521ab,5313ab,求na、nb的通项公式(2005 全国卷全国卷文文)设正项等比数列
10、na的首项211a,前 n 项和为nS,且10103020102(21)0SSS,则na的通项公式是na _SYSU荣71.1 公式法公式法等差比通项公式万能公式11 ,(1),(2)nnnSnaSSn注意通项能否合并能否合并(2017.12 化州二模化州二模)已知nS为数列na的前n项和,且1)1(log2nSn,则数列na的通项公式为(2016.9 广东适应性考试广东适应性考试)已知数列na的各项均为正数,nS为其前n项和,且对任意*Nn,均有na、nS、2na成等差数列,则na1.2 累加法累加法形如形如)(1nfaann型的递推数列型的递推数列例例:数列 na满足:11a,且121nn
11、naa,求na(2017.04 武汉调研武汉调研)已知数列 na满足11a,312a,若),2(3)2(1111Nnnaaaaannnnn,则数列na的通项na()(A)121n(B)121n(C)131n(D)1211n(2017 河北衡水六调河北衡水六调改改)若数列 na满足11a,且对于任意的*nN都有11nnaan,则122018111.aaa_SYSU荣81.3 累乘法累乘法形如形如1()nnaaf n1()nnaf na型的递推数列型的递推数列例例:已知数列 na满足:11a,且11nnnana,求na变式变式:设 na是首项为 1 的正项数列,且2211(1)0(1,2,3,.)
12、nnnnnanaaai,则na _1.4 差商法差商法(2017.12 广州调研广州调研)已知数列 na满足211234444nnnaaaaL*nN求数列 na的通项公式已知数列 na中,11a,对所有*nN且2n时都有2123.naaaan,求 naSYSU荣91.5 构造辅助数列构造辅助数列类型类型 1 1:形如形如qpaann1(其中(其中,p q均为常数且均为常数且0p)类型类型 2 2:形如形如1()nnapaf n(1)p 类型类型 3 3:形如形如1nnnmaapaq类型类型 4 4:形如形如21nnnapaqa特别地,当特别地,当1pq时,便是著名的兔子数列,也就是斐波那契数列
13、,时,便是著名的兔子数列,也就是斐波那契数列,其通项可通过特征根方程求得其通项可通过特征根方程求得51515()()522nnna类型类型 5 5:形如形如1(0,0)qnnnapapa1、(2017.10 惠州二调惠州二调)已知数列 na满足)(22,111Nnaaannn,则数列 na的通项公式为na变式变式 1:已知数列 na满足)(32,111Nnaaannn,则数列 na的通项公式为na变式变式 2:已知数列 na满足)(12,111Nnaaann,则数列 na的通项公式为na变式变式 3:已知数列 na满足)(2,111Nnnaaann,则数列 na的通项公式为na2 2、(201
14、72017 云南师大附中月考云南师大附中月考)已知数列 na满足12a,且*112(2,)1nnnnaannNan,则na _3、设数列 na满足:121,2aa,且对于其中任意三个连续的项11,nnnaa a,都有:11112nnnnanaan,求 na通项公式SYSU荣10第第 2 讲讲数列求和数列求和【高考真题】【高考真题】(2016 全国全国卷文)卷文)已知na是公差为3的等差数列,数列 nb满足1211,3bb,11nnnna bbnb,求 nb的前n项和(2015 全国全国卷卷文文)数列 na中112,2,nnnaaa S为 na的前 n 项和,若126nS,则n(2015 全国全国卷理卷理)nS为数列na的前n项和.已知na0,2nnaa=43nS,设11nnnba a,则数列nb的前n项和为_(2013 全国卷全国卷文)文)已知等差数列na的前n项和nS满足350
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