历年行列式考研真题精选资料下载.pdf

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）利用行列式性质，计算出行列式是几次多项式，即可作出判别。

2.（1996数一

（2）题）四阶行列式4433221100000000ababbaba的值等于（）.）（43214321bbbbaaaaA.）（43214321bbbbaaaaB+）.）（）（43432121bbaabbaaC）.）（）（41413232bbaabbaaD求解：

原式33224133224143322143322100000000abbabbabbaaababbabaabbaa=）（41413232bbaabbaa=。

故选）（D。

考虑到行列式的零比较多，可根据行列式展开定理按第一行展开计算。

3.（1998西安电子科大）计算行列式xaaaxxaaxxaaaaaa=。

求解：

xaaaaxaaxaxa+=000002020000022axaaxaxaa+=22）（20）2（axaaxaxaxaa+=+=4（1999西安电子科大）计算1+n阶行列式nnaaaD0010010011110211=+其中，0ia，ni,2,1=。

第一列提取1，第i列提取）,2,1（niai=，得100101010011111021211=+nnnaaaaaaD再将第1,3,2+n列都加到第1列，然后按第1列展开得=+=niinnaaaaD12111。

二、利用矩阵运算1.（2003数一（6）题）设三阶方阵A，B满足EBABA=2，其中E是三阶单位矩阵，若=201A020101，则_=B。

方法一：

由题设条件EBABA=2EABEA+=）（2,EABEAEA+=+）（.显然,0202030102=+EA,EA+是可逆阵，上式两边左乘1）（+EA,得EBEA=）（.从而有1110012010200BAE=先由矩阵方程求出B，再计算行列式B或者将已知等式变形成含有因子B的矩阵乘积的形式，而其余因子的行列式都可以求出即可。

方法二：

由EBABA=2得（）EABEAEA+=+）（，等式两端取行列式且利用矩阵乘积的行列式=行列式的乘积，得EABEAEA+=+,约去0+EA,得211=EAB.2.（200数4一（6）题）设矩阵=100021012A,矩阵B满足EBAABA+=*2，其中*A为A的伴随矩阵，E是单位矩阵，则_=B.先化简矩阵方程成乘积形式，再两边取行列式。

由题设条件EBAABA+=*2得（）*2AEBAE=，两边取行列式，得12*=EABEA，其中3100021012=A，9213*=AAA，11000010102=EA，故9121*=AEAB。

3.（2005数一（6）题）设1，2，3均为维列向量，记矩阵）,（321=A，）93,42,（321321321+=B。

如果1=A，那么_=B。

利用行列式的性质将B转化为A计算，或将B的每个列向量用A的列向量现行表示。

利用行列式性质32132132193,42,+=B323232182,3,+=3323212,3,+=332321,3,2+=3213221,2,2=+=因1,321=A，故2=B。

因=+111,321321，=+421,42321321，=+931,93321321，故ACB=+=941321111,93,42,321321321321两边取行列式，得CAACB=.因1=A，故2941321111=CB.方法一是基本方法，方法二比较灵活，当二组向量（这里是A和B的列向量）有表出关系时，表示成方法二中的ACB=的矩阵形式是方便的，行列式C的计算，可直接由范德蒙德行列式得到2）12）（13）（23（=C.4.（2006数一（6）题）设矩阵=2112A，E为2阶单位矩阵，矩阵B满足EBBA2+=，则_=B。

化简方程成乘积形式，再两边取行列式。

由题设条件EBBA2+=得，EBBA2=，即EEAB2）（=.两边取行列式，得EEABEAB2）（=.其中2111110012112=EA,4222=EE.故2242=EAEB.5.（2010数二（14）题）设A，B为三阶矩阵，且3=A，2=B，21=+BA，则_1=+BA.求解：

）（111111+=+=+=+BAEABAAAEBABA11111）（）（+=+=BABABABBA3212311=+=BABA6.（1995数一（9）题）设A是n阶矩阵，满足EAAT=（E是n阶单位阵，TA是A的转置矩阵），0A，故0=+EA.方法二：

因为EAAEAAAAEATTTT+=+=+=+）（,即有EAAEA+=+,也即0）1（=+EAA.因为01A，故0=+EA.已知矩阵等式EAAT=求抽象矩阵EA+的行列式，自然想到要利用此等式条件，一种方法是将TAAE=直接代入要计算的行列式中；

一种是“凑”出可利用已经矩阵等式左端的形式TAA，再将EAAT=代入计算。

7.（1999数一

（2）题）设A是nm矩阵，B是mn矩阵，则（））（A当nm时，必有行列式0AB）（B当nm时，必有行列式0=AB）（C当mn时，必有行列式0AB）（D当mn时，必有行列式0=AB求解：

因为AB为m阶方阵，且秩）,min（）（）,（min）（nmBrArABr。

当nm时，由上式可知，mnABr）（，即AB不是满秩的，故有行列式0=AB，因此正确选项为）（B。

四个答案在于区分行列式是否为零，而行列式是否为零又是矩阵是否可逆的充要条件，问题转化为矩阵是否可逆，而矩阵是否可逆又与矩阵是否满秩相联系，最终只要判断AB是否满秩即可。

8.（2000西安电子科大）设A为n阶矩阵，1，2，n是线性无关的n维向量组，满足）1,2,1（1=+niAii，1=nA，求A的行列式A的值。

因为）（）（121121nnnnAAAAA=）（132n=所以13221nnA=nn211）1（=又由于1，2，n线性无关，从而021n，故1）1（=nA。

三、升阶、降阶法1.（2004北航）计算下面行列式的值+nnnaaaaaaaaa212121求解：

升阶化三角形。

+=nnnnnaaaaaaaaaaaaD212121210001各行减去第一行nnaaa000100100112121=nnniiiaaaa2121101=+=）1（121=+=niiina。

2.（2003华南师大）证明行列式等式=+=+ninjijnnnnnnAxAxaxaxaxaxaxaxaxaxa11212222111211其中ijaA=，ijA是ija在ija中的代数余子式。

升阶法。

左边nnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaxxxxaxaxaxaxaxaxaxaxaxxx21222211121121222211121111110001=+=（按第一行展开）+=nnnnnnnnnnnaaaaaaxaaaaaaaaa22221122122221112111111,11,2121,111）1（1111）1（+nnnnnnaaaaaax（从第二项开始均按第一列展开）nnnnnnaaaaaaaaa212222111211=+niniininiiAxAxAx11211=+=ninjijnnnnnnAxaaaaaaaaa11212222111211=右边除了升阶之外，我们还有方法二：

左边xaxaxxaxaxxaxaxxaxaaxaxaaxaxaannnnnnnnnnn+=2222112212222111211nnnnnnnnnnnaaaaaaxaaaaaaaaa2222112212222111211111+=1111,211,222211,11211+nnnnnnaaaaaaaaax=+=niniininiiAxAxAxD11211=+=ninjijAxD11=右边。

3.（1991数四）求n阶行列式abbababa000000000000求解：

利用降阶法按第一列展开abaabaaDn0000000000=babbabbn0000000000）1（1+nnnba1）1（+=一道题目可以有不同的方法来解答，另外还有一种方法就是直接用定义。

由行列式的定义知此行列式除项nnaaa2211和1,12312nnnaaaa外其余乘积项都是零，故nnnnnnyabbbaaaD1）123（）12（）1（）1（）1（+=+=四、范德蒙德行列式1.（2002北交大）计算n阶行列式：

nnnnnnnnnnxxxxxxxxxxxx21222212222121111求解：

作如下行列式使之配成范德蒙行列式：

=nijjiniinnnnnnnnnnnnnnnnnxxxyyxxxyxxxyxxxyxxxyxxxyp112111121122222122222121）（）（1111）（此处y是变数，由此可知nD是）（yp的元素1ny的代数余子式。

+=nijnnnjiyxxxyxxyp1121）（1（）（）（。

另一方面，将）（yp按它的第1+n列展开即得+=nijnnnnnjiyDyxxyp111）1（）（）（。

比较）（yp中关于1ny的系数即得：

+=nijjinnxxxxxD121）（）（。

五、化三角形法1.（2001西安电子科大）计算n阶行列式xaaacaxaacaaxacaaaxcbbbbyDn=求解：

将第n行乘以）1（分别加到第1,3,2n行，得xaaacxaaxxaaxxaaxbbbbyDn=000000000再将第2列，第1n列都加到第n列，得anxaaacaxaxaxbnbbbyDn）2（000000000000）1（+=按第一列展开，anxaaaaxaxaxyDn）2（000000000+=000000000）1（）1（1axaxaxbnbbbcn+nnnnaxbncanxaxy）1（）（）1（）1（）2（）（212+=+bcnanxyaxn）1（）2（）（2+=2.（2004华东理工）计算行列式的值naaa001001001111021，其中naaa,21都不为0。

化三角形100101010011111021211nnnaaaaaaD=+=njjnnaaaaaaa12121100001000010111111=njniijaa11）1（。

化三角形=+=njniijnniinaaaaaaD112111）1（11113.（2000北工大）设111312113243211104641003310002100001）（+=nnnnnnnnnnxCCCnxCCCnxxxxXf计算）（）1（xfxf+。

1）1（1111133003311200021100001）1（113211132232+=+nnnnnnnnnnxnCCCnnxCCCnxxxxxxxf，1）1（1111133003311200021100001）（）1（11312111322+=+nnnnnnnnnnxnCCCnnxCCCnxxxxfxf将上面行列式第一列乘1，第二列乘x，第三列乘2x，第n列乘1nx全部加