历年行列式考研真题精选资料下载.pdf
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)利用行列式性质,计算出行列式是几次多项式,即可作出判别。
2.(1996数一
(2)题)四阶行列式4433221100000000ababbaba的值等于().)(43214321bbbbaaaaA.)(43214321bbbbaaaaB+).)()(43432121bbaabbaaC).)()(41413232bbaabbaaD求解:
原式33224133224143322143322100000000abbabbabbaaababbabaabbaa=)(41413232bbaabbaa=。
故选)(D。
考虑到行列式的零比较多,可根据行列式展开定理按第一行展开计算。
3.(1998西安电子科大)计算行列式xaaaxxaaxxaaaaaa=。
求解:
xaaaaxaaxaxa+=000002020000022axaaxaxaa+=22)(20)2(axaaxaxaxaa+=+=4(1999西安电子科大)计算1+n阶行列式nnaaaD0010010011110211=+其中,0ia,ni,2,1=。
第一列提取1,第i列提取),2,1(niai=,得100101010011111021211=+nnnaaaaaaD再将第1,3,2+n列都加到第1列,然后按第1列展开得=+=niinnaaaaD12111。
二、利用矩阵运算1.(2003数一(6)题)设三阶方阵A,B满足EBABA=2,其中E是三阶单位矩阵,若=201A020101,则_=B。
方法一:
由题设条件EBABA=2EABEA+=)(2,EABEAEA+=+)(.显然,0202030102=+EA,EA+是可逆阵,上式两边左乘1)(+EA,得EBEA=)(.从而有1110012010200BAE=先由矩阵方程求出B,再计算行列式B或者将已知等式变形成含有因子B的矩阵乘积的形式,而其余因子的行列式都可以求出即可。
方法二:
由EBABA=2得()EABEAEA+=+)(,等式两端取行列式且利用矩阵乘积的行列式=行列式的乘积,得EABEAEA+=+,约去0+EA,得211=EAB.2.(200数4一(6)题)设矩阵=100021012A,矩阵B满足EBAABA+=*2,其中*A为A的伴随矩阵,E是单位矩阵,则_=B.先化简矩阵方程成乘积形式,再两边取行列式。
由题设条件EBAABA+=*2得()*2AEBAE=,两边取行列式,得12*=EABEA,其中3100021012=A,9213*=AAA,11000010102=EA,故9121*=AEAB。
3.(2005数一(6)题)设1,2,3均为维列向量,记矩阵),(321=A,)93,42,(321321321+=B。
如果1=A,那么_=B。
利用行列式的性质将B转化为A计算,或将B的每个列向量用A的列向量现行表示。
利用行列式性质32132132193,42,+=B323232182,3,+=3323212,3,+=332321,3,2+=3213221,2,2=+=因1,321=A,故2=B。
因=+111,321321,=+421,42321321,=+931,93321321,故ACB=+=941321111,93,42,321321321321两边取行列式,得CAACB=.因1=A,故2941321111=CB.方法一是基本方法,方法二比较灵活,当二组向量(这里是A和B的列向量)有表出关系时,表示成方法二中的ACB=的矩阵形式是方便的,行列式C的计算,可直接由范德蒙德行列式得到2)12)(13)(23(=C.4.(2006数一(6)题)设矩阵=2112A,E为2阶单位矩阵,矩阵B满足EBBA2+=,则_=B。
化简方程成乘积形式,再两边取行列式。
由题设条件EBBA2+=得,EBBA2=,即EEAB2)(=.两边取行列式,得EEABEAB2)(=.其中2111110012112=EA,4222=EE.故2242=EAEB.5.(2010数二(14)题)设A,B为三阶矩阵,且3=A,2=B,21=+BA,则_1=+BA.求解:
)(111111+=+=+=+BAEABAAAEBABA11111)()(+=+=BABABABBA3212311=+=BABA6.(1995数一(9)题)设A是n阶矩阵,满足EAAT=(E是n阶单位阵,TA是A的转置矩阵),0A,故0=+EA.方法二:
因为EAAEAAAAEATTTT+=+=+=+)(,即有EAAEA+=+,也即0)1(=+EAA.因为01A,故0=+EA.已知矩阵等式EAAT=求抽象矩阵EA+的行列式,自然想到要利用此等式条件,一种方法是将TAAE=直接代入要计算的行列式中;
一种是“凑”出可利用已经矩阵等式左端的形式TAA,再将EAAT=代入计算。
7.(1999数一
(2)题)设A是nm矩阵,B是mn矩阵,则())(A当nm时,必有行列式0AB)(B当nm时,必有行列式0=AB)(C当mn时,必有行列式0AB)(D当mn时,必有行列式0=AB求解:
因为AB为m阶方阵,且秩),min()(),(min)(nmBrArABr。
当nm时,由上式可知,mnABr)(,即AB不是满秩的,故有行列式0=AB,因此正确选项为)(B。
四个答案在于区分行列式是否为零,而行列式是否为零又是矩阵是否可逆的充要条件,问题转化为矩阵是否可逆,而矩阵是否可逆又与矩阵是否满秩相联系,最终只要判断AB是否满秩即可。
8.(2000西安电子科大)设A为n阶矩阵,1,2,n是线性无关的n维向量组,满足)1,2,1(1=+niAii,1=nA,求A的行列式A的值。
因为)()(121121nnnnAAAAA=)(132n=所以13221nnA=nn211)1(=又由于1,2,n线性无关,从而021n,故1)1(=nA。
三、升阶、降阶法1.(2004北航)计算下面行列式的值+nnnaaaaaaaaa212121求解:
升阶化三角形。
+=nnnnnaaaaaaaaaaaaD212121210001各行减去第一行nnaaa000100100112121=nnniiiaaaa2121101=+=)1(121=+=niiina。
2.(2003华南师大)证明行列式等式=+=+ninjijnnnnnnAxAxaxaxaxaxaxaxaxaxa11212222111211其中ijaA=,ijA是ija在ija中的代数余子式。
升阶法。
左边nnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaxxxxaxaxaxaxaxaxaxaxaxxx21222211121121222211121111110001=+=(按第一行展开)+=nnnnnnnnnnnaaaaaaxaaaaaaaaa22221122122221112111111,11,2121,111)1(1111)1(+nnnnnnaaaaaax(从第二项开始均按第一列展开)nnnnnnaaaaaaaaa212222111211=+niniininiiAxAxAx11211=+=ninjijnnnnnnAxaaaaaaaaa11212222111211=右边除了升阶之外,我们还有方法二:
左边xaxaxxaxaxxaxaxxaxaaxaxaaxaxaannnnnnnnnnn+=2222112212222111211nnnnnnnnnnnaaaaaaxaaaaaaaaa2222112212222111211111+=1111,211,222211,11211+nnnnnnaaaaaaaaax=+=niniininiiAxAxAxD11211=+=ninjijAxD11=右边。
3.(1991数四)求n阶行列式abbababa000000000000求解:
利用降阶法按第一列展开abaabaaDn0000000000=babbabbn0000000000)1(1+nnnba1)1(+=一道题目可以有不同的方法来解答,另外还有一种方法就是直接用定义。
由行列式的定义知此行列式除项nnaaa2211和1,12312nnnaaaa外其余乘积项都是零,故nnnnnnyabbbaaaD1)123()12()1()1()1(+=+=四、范德蒙德行列式1.(2002北交大)计算n阶行列式:
nnnnnnnnnnxxxxxxxxxxxx21222212222121111求解:
作如下行列式使之配成范德蒙行列式:
=nijjiniinnnnnnnnnnnnnnnnnxxxyyxxxyxxxyxxxyxxxyxxxyp112111121122222122222121)()(1111)(此处y是变数,由此可知nD是)(yp的元素1ny的代数余子式。
+=nijnnnjiyxxxyxxyp1121)(1()()(。
另一方面,将)(yp按它的第1+n列展开即得+=nijnnnnnjiyDyxxyp111)1()()(。
比较)(yp中关于1ny的系数即得:
+=nijjinnxxxxxD121)()(。
五、化三角形法1.(2001西安电子科大)计算n阶行列式xaaacaxaacaaxacaaaxcbbbbyDn=求解:
将第n行乘以)1(分别加到第1,3,2n行,得xaaacxaaxxaaxxaaxbbbbyDn=000000000再将第2列,第1n列都加到第n列,得anxaaacaxaxaxbnbbbyDn)2(000000000000)1(+=按第一列展开,anxaaaaxaxaxyDn)2(000000000+=000000000)1()1(1axaxaxbnbbbcn+nnnnaxbncanxaxy)1()()1()1()2()(212+=+bcnanxyaxn)1()2()(2+=2.(2004华东理工)计算行列式的值naaa001001001111021,其中naaa,21都不为0。
化三角形100101010011111021211nnnaaaaaaD=+=njjnnaaaaaaa12121100001000010111111=njniijaa11)1(。
化三角形=+=njniijnniinaaaaaaD112111)1(11113.(2000北工大)设111312113243211104641003310002100001)(+=nnnnnnnnnnxCCCnxCCCnxxxxXf计算)()1(xfxf+。
1)1(1111133003311200021100001)1(113211132232+=+nnnnnnnnnnxnCCCnnxCCCnxxxxxxxf,1)1(1111133003311200021100001)()1(11312111322+=+nnnnnnnnnnxnCCCnnxCCCnxxxxfxf将上面行列式第一列乘1,第二列乘x,第三列乘2x,第n列乘1nx全部加