常微分方程第三版课后习题答案(1)资料下载.pdf

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3=-s+解：

s=e（e）=e（）8=e（）=是原方程的解。

4，n为常数.解：

是原方程的解.5+=解：

=-（）=是原方程的解.6解：

=+令则=u因此：

=（*）9将带入（*）中得：

是原方程的解.101113这是n=-1时的伯努利方程。

两边同除以，令P（x）=Q（x）=-112由一阶线性方程的求解公式=14两边同乘以令这是n=2时的伯努利方程。

两边同除以令P（x）=Q（x）=由一阶线性方程的求解公式=1315这是n=3时的伯努利方程。

两边同除以令=P（y）=-2yQ（y）=由一阶线性方程的求解公式=16y=+P（x）=1Q（x）=由一阶线性方程的求解公式14=c=1y=17设函数（t）于t上连续，（0）存在且满足关系式（t+s）=（t）（s）试求此函数。

令t=s=0得（0+0）=（0）（0）即（0）=故或

（1）当时即,）

（2）当时=于是变量分离得积分由于，即t=0时1=c=1故20.试证：

（1）一阶非齐线性方程（2.28）的任两解之差必为相应的齐线性方程（2.3）之解；

（2）若是（2.3）的非零解，而是（2.28）的解，则方程（2.28）的通解可表为，其中为任意常数.15（3）方程（2.3）任一解的常数倍或任两解之和（或差）仍是方程（2.3）的解.证明：

（2.28）（2.3）

（1）设，是（2.28）的任意两个解则

（1）

（2）

（1）-

（2）得即是满足方程（2.3）所以，命题成立。

（2）由题意得：

（3）（4）1）先证是（2.28）的一个解。

于是得故是（2.28）的一个解。

2）现证方程（4）的任一解都可写成的形式设是（2.28）的一个解16则（4）于是（4）-（4）得从而即所以，命题成立。

（3）设，是（2.3）的任意两个解则（5）（6）于是（5）得即其中为任意常数也就是满足方程（2.3）（5）（6）得即也就是满足方程（2.3）所以命题成立。

21.试建立分别具有下列性质的曲线所满足的微分方程并求解。

（5）曲线上任一点的切线的纵截距等于切点横坐标的平方；

（6）曲线上任一点的切线的纵截距是切点横坐标和纵坐标的等差中项；

设为曲线上的任一点，则过点曲线的切线方程为17从而此切线与两坐标轴的交点坐标为即横截距为，纵截距为。

由题意得：

（5）方程变形为于是所以，方程的通解为。

（6）方程变形为于是18所以，方程的通解为。

22求解下列方程。

（1）解：

=

（2）P（x）=Q（x）=由一阶线性方程的求解公式=19=习题2.31、验证下列方程是恰当方程，并求出方程的解。

1.解：

，=1.则所以此方程是恰当方程。

凑微分，得：

2解：

，.则.所以此方程为恰当方程。

凑微分，得3解：

20则.因此此方程是恰当方程。

（1）

（2）对

（1）做的积分，则=（3）对（3）做的积分，则=则故此方程的通解为4、解：

，.21.则此方程为恰当方程。

5.（sin-cos+1）dx+（cos-sin+）dy=0解：

M=sin-cos+1N=cos-sin+=-sin-cos-cos+sin=-sin-cos-cos+sin所以，=，故原方程为恰当方程因为sindx-cosdx+dx+cosdy-sindy+dy=0d（-cos）+d（sin）+dx+d（-）=0所以，d（sin-cos+x-）=0故所求的解为sin-cos+x-=C求下列方程的解：

62x（y-1）dx+dy=0解：

=2x,=2x22所以，=，故原方程为恰当方程又2xydx-2xdx+dy=0所以，d（y-x）=0故所求的解为y-x=C7.（e+3y）dx+2xydy=0解：

edx+3ydx+2xydy=0exdx+3xydx+2xydy=0所以，de（x-2x+2）+d（xy）=0即de（x-2x+2）+xy=0故方程的解为e（x-2x+2）+xy=C8.2xydx+（x+1）dy=0解：

2xydx+xdy+dy=0d（xy）+dy=0即d（xy+y）=0故方程的解为xy+y=C9、解：

两边同除以得即，故方程的通解为10、23解：

方程可化为：

即，故方程的通解为：

即：

同时，y=0也是方程的解。

11、解：

故方程的通解为：

12、解：

13、解：

这里，方程有积分因子两边乘以得：

方程是恰当方程故方程的通解为：

24即：

14、解：

这里因为故方程的通解为：

15、解：

这里方程有积分因子：

两边乘以得：

方程为恰当方程故通解为：

16、解：

两边同乘以得：

17、试导出方程具有形为和的积分因子的充要条件。

25解：

若方程具有为积分因子，（是连续可导）令，.，方程有积分因子的充要条件是：

是的函数，此时，积分因子为.令，26此时的积分因子为18.设及连续,试证方程为线性方程的充要条件是它有仅依赖于的积分因子.证:

必要性若该方程为线性方程,则有,此方程有积分因子,只与有关.充分性若该方程有只与有关的积分因子.则为恰当方程,从而,.其中.于是方程可化为即方程为一阶线性方程.20.设函数f（u），g（u）连续、可微且f（u）g（u）,，试证方程yf（xy）dx+xg（xy）dy=0有积分因子u=（xyf（xy）-g（xy）证：

在方程yf（xy）dx+xg（xy）dy=0两边同乘以u得：

uyf（xy）dx+uxg（xy）dy=0则=uf+uy+yf=+-yf27=而=ug+ux+xg=+-xg=故=，所以u是方程得一个积分因子21假设方程（2.43）中得函数M（x,y）N（x,y）满足关系=Nf（x）-Mg（y）,其中f（x）,g（y）分别为x和y得连续函数，试证方程（2.43）有积分因子u=exp（+）证明：

M（x,y）dx+N（x,y）dy=0即证u+M=u+Nu（-）=N-Mu（-）=Nef（x）-Meg（y）u（-）=e（Nf（x）-Mg（y）由已知条件上式恒成立，故原命题得证。

22、求出伯努利方程的积分因子.解：

已知伯努利方程为：

两边同乘以，令，28线性方程有积分因子：

，故原方程的积分因子为：

，证毕！

23、设是方程的积分因子，从而求得可微函数，使得试证也是方程的积分因子的充要条件是其中是的可微函数。

证明：

若，则又即为的一个积分因子。

24、设是方程的两个积分因子，且常数，求证（任意常数）是方程的通解。

因为是方程的积分因子所以为恰当方程即，下面只需证的全微分沿方程恒为零事实上：

29即当时，是方程的解。

证毕！

习题2.4求解下列方程1、解：

令，则，从而，于是求得方程参数形式得通解为.2、解：

令，则，即，从而30，于是求得方程参数形式得通解为.3、解：

令，则，从而=，于是求得方程参数形式的通解为,另外，y=0也是方程的解.4、,为常数解：

令，则，从而，于是求得方程参数形式的通解为.5、131解：

令，则，从而，于是求得方程参数形式的通解为.6、解：

令，则，得，所以，从而，于是求得方程参数形式的通解为，因此方程的通解为.习题2.52解：

两边同除以，得：

即324解：

两边同除以，得令则即得到，即另外也是方程的解。

6解：

得到即另外也是方程的解。

8.解：

令33则：

即得到故即另外也是方程的解。

10解：

令即而故两边积分得到因此原方程的解为，。

12.解：

令则即故方程的解为3414解：

令则那么求得：

故方程的解为或可写为16解：

令则即方程的解为18解：

将方程变形后得同除以得：

35令则即原方程的解为19.X（解：

方程可化为2y（令363727.解：

令，则，两边积分得即为方程的通解。

另外，即也是方程的解。

28.解：

两边同除以，方程可化为：

令，则38即，两边积分得即为方程的解。

29.解：

令，则，那么即两边积分得即为方程的解。

30.解：

方程可化为两边积分得即为方程的解。

31.解：

方程可化为39两边同除以，得即令，则即两边积分得将代入得，即故32.解：

方程可化为两边同加上，得（*）再由，可知（*）将（*）/（*）得即整理得两边积分得即40另外，也是方程的解。

33.求一曲线，使其切线在纵轴上之截距等于切点的横坐标。

设为所求曲线上的任一点，则在点的切线在轴上的截距为：

由题意得即也即两边同除以，得即即为方程的解。

34.摩托艇以5米/秒的速度在静水运动，全速时停止了发动机，过了20秒钟后，艇的速度减至米/秒。

确定发动机停止2分钟后艇的速度。

假定水的阻力与艇的运动速度成正比例。

，又，由此即其中，解之得又时，；

时，。

故得，从而方程可化为41当时，有米/秒即为所求的确定发动机停止2分钟后艇的速度。

35.一质量为m的质点作直线运动，从速度等于零的时刻起，有一个和时间成正比（比例系数为k1）的力作用在它上面，此质点又受到介质的阻力，这阻力和速度成正比（比例系数为k2）。

试求此质点的速度与时间的关系。

由物理知识得：

根据题意：

故：

（*）式为一阶非齐线性方程，根据其求解公式有又当t=0时，V=0，故c=因此，此质点的速度与时间的关系为：

36.解下列的黎卡提方程

（1）解：

原方程可转化为：

观察得到它的一个特解为：

，设它的任意一个解为，代入（*）式得到：

42由（*）-（*）得：

变量分离得：

两边同时积分：

故原方程的解为

（2）解：

由观察得，它的一个特解为，设它的任意一个解为，故变量分离再两边同时积分得：

即故原方程的解为（3）解：

由观察得到，它的一个特解为，设它的任一个解为，故，该式是一个的伯努利方程两边同除以得到：

，令，则：

，根据一阶非齐线性方程的求解公式得：

因此：

原方程的解为：

43（4）解：

由观察得到，它的一个特解为，设它的任一个解为，于是，这是的伯努利方程两边同除以得到：

则：

（5）解：

由观察得，它的一个特解为，故设它的任一个解为，于是，这是的伯努利方程两边同除以得到：

，即.（6）解：

44由观察得到它的一个特解为，设它的任一个解为，于是，这是的伯努利方程两边同除以得到：

从而：

故原方程的解为：

（7）解：

由观察得到它的一个特解为，故设它的任一个解为，于是，这是n=2的佰努利方程，两边同除以得：

习题3.1451求方程=x+y通过点（0,0）的第三次近似解；

取=2求方程=x-y通过点（1