1、3=-s+解:s=e(e)=e()8=e()=是原方程的解。4,n为常数.解:是原方程的解.5+=解:=-()=是原方程的解.6 解:=+令则=u因此:=(*)9将带入(*)中得:是原方程的解.1 01 11 3这是 n=-1时的伯努利方程。两边同除以,令P(x)=Q(x)=-11 2由一阶线性方程的求解公式=1 4两边同乘以令这是 n=2时的伯努利方程。两边同除以令P(x)=Q(x)=由一阶线性方程的求解公式=1 31 5这是 n=3时的伯努利方程。两边同除以令=P(y)=-2 yQ(y)=由一阶线性方程的求解公式=1 6 y=+P(x)=1Q(x)=由一阶线性方程的求解公式1 4=c=1y
2、=1 7设函数(t)于 t 上连续,(0)存在且满足关系式(t+s)=(t)(s)试求此函数。令 t=s=0 得(0+0)=(0)(0)即(0)=故或(1)当时即,)(2)当时=于是变量分离得积分由于,即 t=0时1=c=1故2 0.试证:(1)一阶非齐线性方程(2.2 8)的任两解之差必为相应的齐线性方程(2.3)之解;(2)若是(2.3)的非零解,而是(2.2 8)的解,则方程(2.2 8)的通解可表为,其中 为任意常数.1 5(3)方程(2.3)任一解的常数倍或任两解之和(或差)仍是方程(2.3)的解.证明:(2.2 8)(2.3)(1)设,是(2.2 8)的任意两个解则(1)(2)(1
3、)-(2)得即是满足方程(2.3)所以,命题成立。(2)由题意得:(3)(4)1)先证是(2.2 8)的一个解。于是得故是(2.2 8)的一个解。2)现证方程(4)的任一解都可写成的形式设是(2.2 8)的一个解1 6则(4 )于是(4 )-(4)得从而即所以,命题成立。(3)设,是(2.3)的任意两个解则(5)(6)于是(5)得即其中 为任意常数也就是满足方程(2.3)(5)(6)得即也就是满足方程(2.3)所以命题成立。2 1.试建立分别具有下列性质的曲线所满足的微分方程并求解。(5)曲线上任一点的切线的纵截距等于切点横坐标的平方;(6)曲线上任一点的切线的纵截距是切点横坐标和纵坐标的等差
4、中项;设为曲线上的任一点,则过点曲线的切线方程为1 7从而此切线与两坐标轴的交点坐标为即 横截距为,纵截距为。由题意得:(5)方程变形为于是所以,方程的通解为。(6)方程变形为于是1 8所以,方程的通解为。2 2 求解下列方程。(1)解:=(2)P(x)=Q(x)=由一阶线性方程的求解公式=1 9=习题 2.31、验证下列方程是恰当方程,并求出方程的解。1.解:,=1.则所以此方程是恰当方程。凑微分,得:2 解:,.则.所以此方程为恰当方程。凑微分,得3 解:2 0则.因此此方程是恰当方程。(1)(2)对(1)做 的积分,则=(3)对(3)做 的积分,则=则故此方程的通解为4、解:,.2 1.
5、则此方程为恰当方程。5.(s i n-c o s+1)d x+(c o s-s i n+)d y=0解:M=s i n-c o s+1N=c o s-s i n+=-s i n-c o s-c o s+s i n=-s i n-c o s-c o s+s i n所以,=,故原方程为恰当方程因为s i n d x-c o s d x+d x+c o s d y-s i n d y+d y=0d(-c o s)+d(s i n)+d x+d(-)=0所以,d(s i n-c o s+x-)=0故所求的解为 s i n-c o s+x-=C求下列方程的解:6 2 x(y-1)d x+d y=0解:=
6、2 x,=2 x2 2所以,=,故原方程为恰当方程又 2 x y d x-2 x d x+d y=0所以,d(y-x)=0故所求的解为 y-x=C7.(e+3 y)d x+2 x y d y=0解:ed x+3 yd x+2 x y d y=0exd x+3 xyd x+2 xy d y=0所以,de(x-2 x+2)+d(xy)=0即 d e(x-2 x+2)+xy=0故方程的解为 e(x-2 x+2)+xy=C8.2 x y d x+(x+1)d y=0解:2 x y d x+xd y+d y=0d(xy)+d y=0即 d(xy+y)=0故方程的解为 xy+y=C9、解:两边同除以得即,
7、故方程的通解为1 0、2 3解:方程可化为:即,故方程的通解为:即:同时,y=0也是方程的解。1 1、解:故方程的通解为:1 2、解:1 3、解:这里,方程有积分因子两边乘以得:方程是恰当方程故方程的通解为:2 4即:1 4、解:这里因为故方程的通解为:1 5、解:这里方程有积分因子:两边乘以得:方程为恰当方程故通解为:1 6、解:两边同乘以得:1 7、试导出方程具有形为和的积分因子的充要条件。2 5解:若方程具有为积分因子,(是连续可导)令,.,方程有积分因子的充要条件是:是的函数,此时,积分因子为.令,2 6此时的积分因子为1 8.设及连续,试证方程为线性方程的充要条件是它有仅依赖于 的积
8、分因子.证:必要性若该方程为线性方程,则有,此方程有积分因子,只与 有关.充分性若该方程有只与 有关的积分因子.则为恰当方程,从而,.其中.于是方程可化为即方程为一阶线性方程.2 0.设函数 f(u),g(u)连续、可微且 f(u)g(u),,试证方程 y f(x y)d x+x g(x y)d y=0有积分因子 u=(x y f(x y)-g(x y)证:在方程 y f(x y)d x+x g(x y)d y=0两边同乘以 u得:u y f(x y)d x+u x g(x y)d y=0则=u f+u y+y f=+-y f2 7=而=u g+u x+x g=+-x g=故=,所以 u是方程
9、得一个积分因子2 1 假设方程(2.4 3)中得函数 M(x,y)N(x,y)满足关系=N f(x)-Mg(y),其中 f(x),g(y)分别为 x 和 y 得连续函数,试证方程(2.4 3)有积分因子 u=e x p(+)证明:M(x,y)d x+N(x,y)d y=0即证u+M=u+Nu(-)=N-Mu(-)=N ef(x)-Meg(y)u(-)=e(N f(x)-Mg(y)由已知条件上式恒成立,故原命题得证。2 2、求出伯努利方程的积分因子.解:已知伯努利方程为:两边同乘以,令,2 8线性方程有积分因子:,故原方程的积分因子为:,证毕!2 3、设是方程的积分因子,从而求得可微函数,使得试
10、证也是方程的积分因子的充要条件是其中是 的可微函数。证明:若,则又即为的一个积分因子。2 4、设是方程的两个积分因子,且常数,求证(任意常数)是方程的通解。因为是方程的积分因子所以为恰当方程即,下面只需证的全微分沿方程恒为零事实上:2 9即当时,是方程的解。证毕!习题 2.4求解下列方程1、解:令,则,从而,于是求得方程参数形式得通解为.2、解:令,则,即,从而3 0,于是求得方程参数形式得通解为.3、解:令,则,从而=,于是求得方程参数形式的通解为,另外,y=0也是方程的解.4、,为常数解:令,则,从而,于是求得方程参数形式的通解为.5、13 1解:令,则,从而,于是求得方程参数形式的通解为
11、.6、解:令,则,得,所以,从而,于是求得方程参数形式的通解为,因此方程的通解为.习题 2.52 解:两边同除以,得:即3 24 解:两边同除以,得令则即得到,即另外也是方程的解。6 解:得到即另外也是方程的解。8.解:令3 3则:即得到故即另外也是方程的解。1 0 解:令即而故两边积分得到因此原方程的解为,。1 2.解:令则即故方程的解为3 41 4 解:令则那么求得:故方程的解为或可写为1 6 解:令则即方程的解为1 8 解:将方程变形后得同除以得:3 5令则即原方程的解为1 9.X(解:方程可化为 2 y(令3 63 72 7.解:令,则,两边积分得即为方程的通解。另外,即也是方程的解。
12、2 8.解:两边同除以,方程可化为:令,则3 8即,两边积分得即为方程的解。2 9.解:令,则,那么即两边积分得即为方程的解。3 0.解:方程可化为两边积分得即为方程的解。3 1.解:方程可化为3 9两边同除以,得即令,则即两边积分得将代入得,即故3 2.解:方程可化为两边同加上,得(*)再由,可知(*)将(*)/(*)得即整理得两边积分得即4 0另外,也是方程的解。3 3.求一曲线,使其切线在纵轴上之截距等于切点的横坐标。设为所求曲线上的任一点,则在点的切线 在 轴上的截距为:由题意得即也即两边同除以,得即即为方程的解。3 4.摩托艇以 5米/秒的速度在静水运动,全速时停止了发动机,过了 2
13、 0秒钟后,艇的速度减至米/秒。确定发动机停止 2分钟后艇的速度。假定水的阻力与艇的运动速度成正比例。,又,由此即其中,解之得又时,;时,。故得,从而方程可化为4 1当时,有米/秒即为所求的确定发动机停止 2分钟后艇的速度。3 5.一质量为m的质点作直线运动,从速度等于零的时刻起,有一个和时间成正比(比例系数为k1)的力作用在它上面,此质点又受到介质的阻力,这阻力和速度成正比(比例系数为k2)。试求此质点的速度与时间的关系。由物理知识得:根据题意:故:(*)式为一阶非齐线性方程,根据其求解公式有又当t=0时,V=0,故c=因此,此质点的速度与时间的关系为:3 6.解下列的黎卡提方程(1)解:原
14、方程可转化为:观察得到它的一个特解为:,设它的任意一个解为,代入(*)式得到:4 2由(*)-(*)得:变量分离得:两边同时积分:故原方程的解为(2)解:由观察得,它的一个特解为,设它的任意一个解为,故变量分离再两边同时积分得:即故原方程的解为(3)解:由观察得到,它的一个特解为,设它的任一个解为,故,该式是一个的伯努利方程两边同除以得到:,令,则:,根据一阶非齐线性方程的求解公式得:因此:原方程的解为:4 3(4)解:由观察得到,它的一个特解为,设它的任一个解为,于是,这是的伯努利方程两边同除以得到:则:(5)解:由观察得,它的一个特解为,故设它的任一个解为,于是,这是的伯努利方程两边同除以得到:,即.(6)解:4 4由观察得到它的一个特解为,设它的任一个解为,于是,这是的伯努利方程两边同除以得到:从而:故原方程的解为:(7)解:由观察得到它的一个特解为,故设它的任一个解为,于是,这是n=2的佰努利方程,两边同除以得:习题 3.14 51 求方程=x+y通过点(0,0)的第三次近似解;取=2 求方程=x-y通过点(1
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