常微分方程第三版课后习题答案(1)资料下载.pdf

1、3=-s+解：s=e（e）=e（）8=e（）=是原方程的解。4，n为常数.解：是原方程的解.5+=解：=-（）=是原方程的解.6 解：=+令则=u因此：=（*）9将带入（*）中得：是原方程的解.1 01 11 3这是 n=-1时的伯努利方程。两边同除以，令P（x）=Q（x）=-11 2由一阶线性方程的求解公式=1 4两边同乘以令这是 n=2时的伯努利方程。两边同除以令P（x）=Q（x）=由一阶线性方程的求解公式=1 31 5这是 n=3时的伯努利方程。两边同除以令=P（y）=-2 yQ（y）=由一阶线性方程的求解公式=1 6 y=+P（x）=1Q（x）=由一阶线性方程的求解公式1 4=c=1y

2、=1 7设函数（t）于 t 上连续，（0）存在且满足关系式（t+s）=（t）（s）试求此函数。令 t=s=0 得（0+0）=（0）（0）即（0）=故或（1）当时即,）（2）当时=于是变量分离得积分由于，即 t=0时1=c=1故2 0.试证：（1）一阶非齐线性方程（2.2 8）的任两解之差必为相应的齐线性方程（2.3）之解；（2）若是（2.3）的非零解，而是（2.2 8）的解，则方程（2.2 8）的通解可表为，其中 为任意常数.1 5（3）方程（2.3）任一解的常数倍或任两解之和（或差）仍是方程（2.3）的解.证明：（2.2 8）（2.3）（1）设，是（2.2 8）的任意两个解则（1）（2）（1

3、）-（2）得即是满足方程（2.3）所以，命题成立。（2）由题意得：（3）（4）1）先证是（2.2 8）的一个解。于是得故是（2.2 8）的一个解。2）现证方程（4）的任一解都可写成的形式设是（2.2 8）的一个解1 6则（4 ）于是（4 ）-（4）得从而即所以，命题成立。（3）设，是（2.3）的任意两个解则（5）（6）于是（5）得即其中 为任意常数也就是满足方程（2.3）（5）（6）得即也就是满足方程（2.3）所以命题成立。2 1.试建立分别具有下列性质的曲线所满足的微分方程并求解。（5）曲线上任一点的切线的纵截距等于切点横坐标的平方；（6）曲线上任一点的切线的纵截距是切点横坐标和纵坐标的等差

4、中项；设为曲线上的任一点，则过点曲线的切线方程为1 7从而此切线与两坐标轴的交点坐标为即 横截距为，纵截距为。由题意得：（5）方程变形为于是所以，方程的通解为。（6）方程变形为于是1 8所以，方程的通解为。2 2 求解下列方程。（1）解：=（2）P（x）=Q（x）=由一阶线性方程的求解公式=1 9=习题 2.31、验证下列方程是恰当方程，并求出方程的解。1.解：，=1.则所以此方程是恰当方程。凑微分，得：2 解：，.则.所以此方程为恰当方程。凑微分，得3 解：2 0则.因此此方程是恰当方程。（1）（2）对（1）做 的积分，则=（3）对（3）做 的积分，则=则故此方程的通解为4、解：，.2 1.

5、则此方程为恰当方程。5.（s i n-c o s+1）d x+（c o s-s i n+）d y=0解：M=s i n-c o s+1N=c o s-s i n+=-s i n-c o s-c o s+s i n=-s i n-c o s-c o s+s i n所以，=，故原方程为恰当方程因为s i n d x-c o s d x+d x+c o s d y-s i n d y+d y=0d（-c o s）+d（s i n）+d x+d（-）=0所以，d（s i n-c o s+x-）=0故所求的解为 s i n-c o s+x-=C求下列方程的解：6 2 x（y-1）d x+d y=0解：=

6、2 x,=2 x2 2所以，=，故原方程为恰当方程又 2 x y d x-2 x d x+d y=0所以，d（y-x）=0故所求的解为 y-x=C7.（e+3 y）d x+2 x y d y=0解：ed x+3 yd x+2 x y d y=0exd x+3 xyd x+2 xy d y=0所以，de（x-2 x+2）+d（xy）=0即 d e（x-2 x+2）+xy=0故方程的解为 e（x-2 x+2）+xy=C8.2 x y d x+（x+1）d y=0解：2 x y d x+xd y+d y=0d（xy）+d y=0即 d（xy+y）=0故方程的解为 xy+y=C9、解：两边同除以得即，

7、故方程的通解为1 0、2 3解：方程可化为：即，故方程的通解为：即：同时，y=0也是方程的解。1 1、解：故方程的通解为：1 2、解：1 3、解：这里，方程有积分因子两边乘以得：方程是恰当方程故方程的通解为：2 4即：1 4、解：这里因为故方程的通解为：1 5、解：这里方程有积分因子：两边乘以得：方程为恰当方程故通解为：1 6、解：两边同乘以得：1 7、试导出方程具有形为和的积分因子的充要条件。2 5解：若方程具有为积分因子，（是连续可导）令，.，方程有积分因子的充要条件是：是的函数，此时，积分因子为.令，2 6此时的积分因子为1 8.设及连续,试证方程为线性方程的充要条件是它有仅依赖于 的积

8、分因子.证:必要性若该方程为线性方程,则有,此方程有积分因子,只与 有关.充分性若该方程有只与 有关的积分因子.则为恰当方程,从而,.其中.于是方程可化为即方程为一阶线性方程.2 0.设函数 f（u），g（u）连续、可微且 f（u）g（u）,，试证方程 y f（x y）d x+x g（x y）d y=0有积分因子 u=（x y f（x y）-g（x y）证：在方程 y f（x y）d x+x g（x y）d y=0两边同乘以 u得：u y f（x y）d x+u x g（x y）d y=0则=u f+u y+y f=+-y f2 7=而=u g+u x+x g=+-x g=故=，所以 u是方程

9、得一个积分因子2 1 假设方程（2.4 3）中得函数 M（x,y）N（x,y）满足关系=N f（x）-Mg（y）,其中 f（x）,g（y）分别为 x 和 y 得连续函数，试证方程（2.4 3）有积分因子 u=e x p（+）证明：M（x,y）d x+N（x,y）d y=0即证u+M=u+Nu（-）=N-Mu（-）=N ef（x）-Meg（y）u（-）=e（N f（x）-Mg（y）由已知条件上式恒成立，故原命题得证。2 2、求出伯努利方程的积分因子.解：已知伯努利方程为：两边同乘以，令，2 8线性方程有积分因子：，故原方程的积分因子为：，证毕！2 3、设是方程的积分因子，从而求得可微函数，使得试

10、证也是方程的积分因子的充要条件是其中是 的可微函数。证明：若，则又即为的一个积分因子。2 4、设是方程的两个积分因子，且常数，求证（任意常数）是方程的通解。因为是方程的积分因子所以为恰当方程即，下面只需证的全微分沿方程恒为零事实上：2 9即当时，是方程的解。证毕！习题 2.4求解下列方程1、解：令，则，从而，于是求得方程参数形式得通解为.2、解：令，则，即，从而3 0，于是求得方程参数形式得通解为.3、解：令，则，从而=，于是求得方程参数形式的通解为,另外，y=0也是方程的解.4、,为常数解：令，则，从而，于是求得方程参数形式的通解为.5、13 1解：令，则，从而，于是求得方程参数形式的通解为

11、.6、解：令，则，得，所以，从而，于是求得方程参数形式的通解为，因此方程的通解为.习题 2.52 解：两边同除以，得：即3 24 解：两边同除以，得令则即得到，即另外也是方程的解。6 解：得到即另外也是方程的解。8.解：令3 3则：即得到故即另外也是方程的解。1 0 解：令即而故两边积分得到因此原方程的解为，。1 2.解：令则即故方程的解为3 41 4 解：令则那么求得：故方程的解为或可写为1 6 解：令则即方程的解为1 8 解：将方程变形后得同除以得：3 5令则即原方程的解为1 9.X（解：方程可化为 2 y（令3 63 72 7.解：令，则，两边积分得即为方程的通解。另外，即也是方程的解。

12、2 8.解：两边同除以，方程可化为：令，则3 8即，两边积分得即为方程的解。2 9.解：令，则，那么即两边积分得即为方程的解。3 0.解：方程可化为两边积分得即为方程的解。3 1.解：方程可化为3 9两边同除以，得即令，则即两边积分得将代入得，即故3 2.解：方程可化为两边同加上，得（*）再由，可知（*）将（*）/（*）得即整理得两边积分得即4 0另外，也是方程的解。3 3.求一曲线，使其切线在纵轴上之截距等于切点的横坐标。设为所求曲线上的任一点，则在点的切线 在 轴上的截距为：由题意得即也即两边同除以，得即即为方程的解。3 4.摩托艇以 5米/秒的速度在静水运动，全速时停止了发动机，过了 2

13、 0秒钟后，艇的速度减至米/秒。确定发动机停止 2分钟后艇的速度。假定水的阻力与艇的运动速度成正比例。，又，由此即其中，解之得又时，；时，。故得，从而方程可化为4 1当时，有米/秒即为所求的确定发动机停止 2分钟后艇的速度。3 5.一质量为m的质点作直线运动，从速度等于零的时刻起，有一个和时间成正比（比例系数为k1）的力作用在它上面，此质点又受到介质的阻力，这阻力和速度成正比（比例系数为k2）。试求此质点的速度与时间的关系。由物理知识得：根据题意：故：（*）式为一阶非齐线性方程，根据其求解公式有又当t=0时，V=0，故c=因此，此质点的速度与时间的关系为：3 6.解下列的黎卡提方程（1）解：原

14、方程可转化为：观察得到它的一个特解为：，设它的任意一个解为，代入（*）式得到：4 2由（*）-（*）得：变量分离得：两边同时积分：故原方程的解为（2）解：由观察得，它的一个特解为，设它的任意一个解为，故变量分离再两边同时积分得：即故原方程的解为（3）解：由观察得到，它的一个特解为，设它的任一个解为，故，该式是一个的伯努利方程两边同除以得到：，令，则：，根据一阶非齐线性方程的求解公式得：因此：原方程的解为：4 3（4）解：由观察得到，它的一个特解为，设它的任一个解为，于是，这是的伯努利方程两边同除以得到：则：（5）解：由观察得，它的一个特解为，故设它的任一个解为，于是，这是的伯努利方程两边同除以得到：，即.（6）解：4 4由观察得到它的一个特解为，设它的任一个解为，于是，这是的伯努利方程两边同除以得到：从而：故原方程的解为：（7）解：由观察得到它的一个特解为，故设它的任一个解为，于是，这是n=2的佰努利方程，两边同除以得：习题 3.14 51 求方程=x+y通过点（0,0）的第三次近似解；取=2 求方程=x-y通过点（1