应用随机过程答案1资料下载.pdf

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11110010202010110L所以（）pXjtbbtf=

（2）根据期望的定义，有（）（）（）（）（）（）（）bpdxxpbpdxexpbbpdxexbppbexbpbdxexpbdxexpbxdxxxpXEmbxppbxppbxppbxppbxppX=+=010100011类似的，有（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）2201200010101222111111bppdxxpbppdxexpbbppdxexbppbdxexbppbexbpbdxexpbdxexpbxdxxpxXEbxppbxppbxppbxppbxppbxpp+=+=+=+=+=+L的方差为X所以，（）222221bpbpbppmXEDXX=+=（3）（）（）（）jtjntjteneetf=115.试证函数为一特征函数，并求它所对应的随机变量的分布。

（）tf解.根据定理1.3.2（第10页）,我们只需证明是连续非负定，且。

（）10=f注意到（）（）（）（）=nkjktnkjktjtjtnjtjtjtjntjteneneeeneeneetf1111110所以连续且.下面我们证明（）tf（）10=f（）tf是非负定的（性质1.3.3，第8页）。

对任意给定的自然数M，实数以及复数，由于Mttt,21LMaaa,21L（）（）（）（）（）（）=MiMkkittjttjnttjMiMkkikiaaeneeaattfAkikiki111111（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）AaaeneeaaeneeaattfAMkMiikttjttjnttjMiMkkittjttjnttjMiMkkikiikikiikkikiki=1111111111nejltA,2,1nlL=所以是实数。

其次，容易证明对任意函数是非负定的。

因此，函数是非负定的。

（）tf（）tf是特征函数。

（）tf下面我们求对应的随机变量的概率密度函数。

根据定理1.3.1（第10页），（）（）（）（）=nknknkjktjtxjtxkxnkxndteendtetfxp11112212121（）211ttf+=5.试证函数为一特征函数，并求它所对应的随机变量的分布。

解.容易证明连续且（）tf（）10=f（）tf，下面我们证明是非负定的。

对任意给定的自然数M，实数以及复数，首先，由于Mttt,21LMaaa,21L（）（）=+=MiMkkikiMiMkkikiaattaattfA1121111，是实数。

其次，A显然（）（）（）（）0max11max11112212,112,11211+=+=MkikiMiMkkikikiMiMkkikiMiMkkikiaaattaattaattaattfAL所以是非负定的。

（）tf最后，根据定理1.3.1（第10页），（）（）xjtxjtxedtetdttfexp211121212=+=（）,x（）2,aN7.设相互独立服从正态分布nXXX,21L。

试求维向量的分布，并求其均值向量和协方差矩阵，再求n=niiXnX11（nXXX,21L）的概率密度函数。

（）2,aN解.由于相互独立服从正态分布nXXX,21L，维向量的均值向量为n（）aaa,L=（nXXX,21L），协方差矩阵为=222OB，（）的分布为（）BN,。

nXXX,21L（）1,1,11Lnl=niiXnX11，则，al=根据题意，。

令（）nnnlBl222211111,1,11=MOL根据性质1.4.4（第14页），（）=naNlBllNX2,（）1,0N11.设相互独立，且都服从211XXY+=321,XXX和。

试求随机变量和组成的随机向量（）21,YYY=的特征函数。

312XXY+=解.令，则（）321,XXXX=111,0NX（）（）（）XAXXXXXXXYYY=+=:

100111,321312121=2112100111101011111AA根据性质1.4.5（第15页），（）=2112,0,NBNYYY根据定理1.4.1（第13页），（）（）222121exp211221exp21expttttttttBtjtfYYY=（）1,0N。

试求12.设相互独立，且都服从321,XXX和（）321,XXX的特征函数

（1）随机向量

（2）设,321321211XXXSXXSXS+=+=求随机向量（）的特征函数。

321,SSS（）21,YY（3）和的特征函数。

121XXY=232XXY=组成的随机向量跟上题的解法完全一样。

（）1,0N15.设是相互独立同服从正态分布YX,的随机变量，讨论和YXV=的独立性。

22YXU+=解.我们知道，随机向量的概率密度函数为（YX,）（）2,2221,yxYXeyxf+=YXV=根据，有。

由0UYVX=22YXU+=知，代入，可得，所以Y由两个解，即：

22YXU+=（）（）22221YVYYVU+=+=,1,12221VUYVUY+=+=类似的，+=+=212111VUYVVUX+=+=212111VUYVVUX下面我们求Jacobi行列式。

容易验证：

（）2/3211VUVX+=2112VUVUX+=，（）2/3211VVUVY+=21121VUUY+=，所以，（）（）（）21111111121,VVYUYVXUXVUYXJ+=类似地，（）（）（）2222121,VVUYXJ+=因此，随机向量的概率密度函数为（VU,）（）（）（）+=+=+=2exp11211211121exp2121,11,1,222222222,122,uvvvuvvuJvuvvufJvuvvufvugYXYXVU由上式可得U和V的概率密度函数：

（）（）（）（）=+=+=2exp21112exp212exp1121,22,udvvudvuvdvvugugVUU（）（）（）（）（）（）202022,112exp21111212exp11212exp1121,vuvduuvduuvduvugvgVUV+=+=+=+=所以，（）（）（）vgugvugVUVU=,即是独立的。

VU和17.设二维随机变量的概率密度函数为YX,（）=其它00,0,1,yxeyyxpyxyyYXE=。

试求解.容易验证，Y的概率密度函数为（）（）yyxyyxyyxyYeeyyedxeyedxeydxyxpyp=000111,在下的条件概率密度函数为（第24页）XyY=所以（）（）（）yxyyxyYYXeyeeyypyxpyxp=11,|相应的条件数学期望等于（）0,|00|=yydxeyxdxyxxpyYXEyxYX习题二（）2,0N（）tBtAtXsincos=2设，其中是相互独立且有相同的BA,分布的随机变量，（）,t。

试求：

是常数，

（1）的一个样本函数；

（）tX

（2）的一维概率密度函数；

（）tX（3）的均值函数和协方差函数。

（）tX（）2,0,NBA（）0tX是一个样本函数。

解.

（1）由于0=BA，取，则

（2）由于。

根据性质1.4.4（第14页）知，对任意，（）（）（）CBAttBAtX,:

sincos,=t（）（）222,0,0NCCNtX=所以的一维概率密度函数为（）tX（）（）222221txXetp=（3）容易计算：

（）（）0=tXEtmX（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）tststsBBtsABtsBAtsAAtstBtAsBsAtXsXtsCX=+=+=cossinsincoscos,covsinsin,covcossin,covsincos,covcoscossincos,sincoscov,cov,224设是参数为的Wiener过程，求下列过程的均值和相关函数：

（）0,ttW2（）0,1=tttWtX（）（）0,2=ttWtX

（2）

（1）（）（）0,21=ttcWctX（）（）（）0,=tttWtWtX（4）（3）（）（）（）（）ttDtWEtXEtWX22=解

（1）假设，有st（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）sWWsWEsWtWWsWEsWtWWsWEsWsWtWsWtWWsWEsWsWtWWsWEtWsWEtXsXEtsRX2222222222220020200,+=+=+=（）由于是Wiener过程，所以是独立增量过程，所以（）0,ttW（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）stssWtWEWsWEsWtWWsWE=22222200（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）00022=sWtWEWsWEsWtWWsWE（）（）（）（）（）sWEsWWsWE4220=（）（）222tssWetf=，所以根据性质1.3.6（第9页），有因为（）（）（）244）（44301sfjsWEsW=所以，（）（）（）24424242422233,sstssstsststsRX+=+=+=类似的，当时，有ts（）2442,tsttsRX+=（）（）01=ttWEtXEtX

（2）（）（）（）tstssttWsWstEttWssWEtXsXEtsRX,min1,1min1111,22=（）（）（）021=tcWcEtXEtX（3）假设st（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）ssccscWEcscWtcWcWscWEcscWscWtcWscWEctcWscWEctcWcscWcEtXsXEtsRX2222222222222222222221210,=+=+=所以（）tstsRX,min,2=（）（）（）（）0=ttWtWEtXEtX（4）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）tssttstWsWEsttstWsWstEtWsWsEtWsWtEtWsWEttWtWssWsWEtXsXEtsRX,min11,2+=+=+=（）tN9.设某电报局接受的电报数组成Poisson流，平均每小时接到3次电报。

求：

（1）一上午（8点到12点）没有接到电报的概率；

（2）下午第一个电报的到达时间的分布。

解.

（1）由于是Poisson流，满足（）tN（）（）（）0,!

33=+tentnsNtsNPtn所以一上午（8点到12点）没有接到电报的概率等于（）（）（）12430!

0430848=+eeNNP

（2）类似的，用表示下午第一个电报的到达时间。

那么的分布为（定理2.6.3,第41页）1T1T（）（）tTetNPtTPtTPtF31110111=10.设和分别为强度为（）0,1ttN（）0,2ttN21和的独立的Poisson过程。

令，求（）（）（）0,21=ttNtNtX（）0,ttX的均值函数和相关函数。

解.容易知道，的均值函数为（）0,ttX（）（）（）（）021=tNtNEtXEtX（）0,ttX的相关函数为（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）tNsNEtNsNEtNsNEtNsNEtNtNsNsNEtXsXEtsRX221221112121,+=根据定理2.6.1（第4