高考数学一轮复习第八章立体几何层级快练48文doc文档格式.docx
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B.6jt
D.31
它的两个底面的圆周在直径长为2的同一-个球
A.8Ji
C.4ji
解析设正方体的棱长为3,则f=&
因此内切球直径为2,・・.S农=4肌忙=4兀.
4.（2017•课标全国m）已知圆柱的高为1,
的球面上，则该圆柱的体积为（）
A.n
JIJI
C-Td-T
答案B
解析根据已知球的半径反是1,圆柱的高是1,如图，所以圆柱的底面半径r=
“221=¥
，所以圆柱的体积V=nr2h=兀X（平）欣1=<
|兀•故选B.
5.（2018•安徽合肥模拟）己知球的直径SC=6,A,B是该球球面上的两点，且AB=SA=SB=3,则三棱锥S-ABC的体积为（）
A.军B絆
44
答案D
解析设该球球心为0,因为球的直径SC=6,A,B是该球球面上的两点，且AB=SA=SB
=3,所以三棱锥S-0AB是棱长为3的正四面体，其体积Vs-oab=|x|x3X^X^6=^,
故选D.
9a9a/2同理％十=十，故三棱锥S-ABC的体积Vs—ABchVsfb+Vo_aBC=W-
6.已知直三棱柱ABC-AiBiCi的6个顶点都在球0的球面上,若AB=3,AC=4,AB丄AC,AA>
=12,则球0的半径为（）
B.2倾
13
C-T
解析如图，由球心作平面ABC的垂线，则垂足为BC的中点M.
厂151
又AM=-BC=~,0M=-AAi=6,
所以球0的半径R=0A=\^（|）‘+6‘=学
7.（2018•广东惠州一模）己知一个水平放置的各棱长均为4的三棱锥形容器内有一小球
0（质量忽略不计），现从该三棱锥形容器的顶端向内注水，小球慢慢上浮，当注入的水的体
7亠
积是该三棱锥体积的§
时，小球与该三棱锥各侧面均相切（与水面也相切），则小球的表面积等于（）
B-r
c-r
i
D.尹
解析由题知，没有水的部分的体积是三棱锥形容器的体积的右三棱锥形容器的体积为
*.半・42・平・4=呼，所以没有水的部分的体积为爭.设其棱长为a,则其体积为gx
屮fx平・・.a=2,设小球的半径为r,则4X^X^3Xr=^^,解得r=芈，二
19
球的表面积为SX訂故选C.
8•如图,ABCD-A.BiCiDi是棱长为1的正方体,S-ABCD是高为1的正四棱
锥，若点S,AuB：
G,Di在同一个球面上，则该球的体积为（）
A.
25兀
B.
c
G
81Ji243兀
Cn
16128
解析如图所示，0为球心，设OGi=x,则0Bi=S0=2—x,同时由正方体
的性质可知BiG—专,则在RtAOBiGi中,OBi2=GiB!
2+OGi2,即（2~x）z=
扌+（¥
八解得x=|,所以球的半径R=OB：
=|,所以球的表面积S=4nF=等，故选
C.
9.（2018•郑州质检）四棱锥P-ABCD的五个顶点都在一个球面上，该四棱锥的三视图如图所示，E,F分别是棱AB,CD的中点，直线EF被球面所截得的线段长为2住，则该球的表面积为（）
俯视图
C.2^/2JID.12Ji
解析该几何体的直观图如图所示，该几何体可看作由正方体截得，则正方体外接球的直径即为PC.由直线EF被球面所截得的线段长为2电,可知正方形ABCD对角线AC的长为2辺，可得正方形ABCD的边长a=2,在APAC中，PC+（2^2）2=2^3,球的半径R=£
AS^=4nR2=4JiX（y[3）2=12n.
10.（2014•湖南）一块石材表示的儿何体的三视图如图所示.将该石材切削、打磨，加工成
球，则能得到的最大球的半径等于（）
IKO
正视图侧视图
A.1B.2
C.3D.4
解析此几何体为一直三棱柱，底面是边长为6,8,10的直角三角形，侧棱为12,故其最
大球的半径为底面直角三角形内切圆的半径，故其半径为r=^X（6+8-10）=2,故选B.
11.（2017•天津）己知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18,
则这个球的体积为.
9
答案尹
解析设正方体的棱长为a,则6（=18,得设该正方体外接球的半径为R,则2R
—34439
=&
a=3,得R=~,所以该球的体积^3HR3=3H^2^=2兀.
C
12.若一个正四面体的表面积为S”英内切球的表面积为S2,则总=.
答案嬰
解析设正四面体的棱反为a,
则正四面体的表而积为S,=4・申・a2=yf3a2f
其内切球半径为正四面体高的扌，即尊=暮因此内切球表面积为S2=4兀*=亍
13.己知一圆柱内接于球0,且圆柱的底面圆的直径与母线长均为2,则球0的表面积为
答案8n解析圆柱的底面圆的直径与母线长均为2,所以球的直径为百厉=羽=2边，即球半径为边，所以球的表面积为471X（辺尸=8兀.
14.（2017・衡水中学调研卷）已知正三棱锥P-ABC,点P,A,B,C都在半径为羽的球面上,
若PA,PB,PC两两相互垂直，则球心到截面ABC的距离为
答案
解析方法一：
先在一个正方体中找一个满足条件的正三棱锥，再利用正方体的性质解题.如图，满足题意的正三棱锥P—ABC可以是正方体的一部分，其外接球的直径是正方体的体对角线，且面ABC与体对角线的交点是体对角线的一个三等分点，所以球心到平面ABC的距离等于体对角线长的右故球心到截血ABC的距离为卜2书=¥
方法二：
用等体积法：
Vp_abc=Va_pbc求解）.
15.
（2018・四川成都诊断）已知一个多面体的三视图如图所示，其中正视图与侧视图都是直角边长为1的等腰直角三角形，俯视图是边长为1的正方形，若该多面体的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为.
答案3JI
解析由三视图知几何体为四棱锥，且四棱锥的一条侧棱垂直于底
面，高等于1,其底面是边长为1的正方形，・・・四棱锥的外接球即是边长为1的正方体的
16.（2018•河北唐山模拟）已知矩形ABEF所在的平面与矩形ABCD所在平面互相垂直，AD
=2,AB=3,AF=学，M为EF的中点，贝多面体M—/'
BCD的外接球
的表面积为
答案16n
解析记多面体M—ABCD的外接球的球心为0,如图，过点0分别作平而ABCD和平而ABEF的垂线，垂足分别为Q,II,连接MII并延长，交AB于点N,连接0M,NQ,AQ,设球0的半径为R,球心到平面ABCD的距离为d,即0Q=d,・・•矩形ABEF所在的平面与矩形ABCD所在的平面互相垂直，AF=学，M为EF的中点，
・・.r2=（臂辱+42=12+（学一疔,
・・・d=平,F=4,
・•・多面体M-ABCD的外接球的表面积为4hF=i6jt.
离为X,则到AD的距离为2-X,所以R2=x2+（V2）2,R2=12+（2-x）2,解得x=|,R=零,
该多面体外接球的表而积为4兀/=了11,故选D.
3.（2014•陕西，理）已知底面边长为1,侧棱长为边的正四棱柱的各顶点均在同一个球面
上，则该球的体积为（）
4Ji
D-v
C・2兀
答案D解析因为该正四棱柱的外接球的半径是四棱柱体对角线的一半，所以半径心+Z（农）Ji,所以▼球二故选D.
4.
（2018•洛阳统一考试）如图是某儿何体的三视图，则该儿何体的外接球的表面积为（）
B.150n
D.50兀
A.200兀
C.100兀
答案D解析由三视图知，该儿何体可以由一个长方体截去3个角后得到，该长方体的长、宽、高分别为5、4、3,所以其外接球半径R满足2R=^42+32+52=5V2,所以该几何体的外接球
5.（2018•广东清远三中力考）某一简单几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的
表面积是（）
A.13h
C.25n
解析由三视图可知该儿何体是底面为正方形的长方体，底面对角线为4,高为3,设外接球半径为r,则2r=y]（2y[2）2+（2^/2）2+32=5,长方体外接球的表面积S
=4nr2=25兀.
6.（2018•福建厦门模拟）已知球0的半径为R,A,B,C三点在球0的球面上，球心0到平面ABC的距离为乎R,AB=AC=BC=2书，则球0的表面积为（）
B.16Ji
16
A.亍
C.—nD・64兀
解析因为AB=AC=BC=2羽，所以Z\ABC为正三角形，其外接圆的半径號。
=2'
设AABC外接圆的圆心为0】,则g丄平面ABC,所以OA^OO^+r2,所以R2=（^R）2+22,解得R2=16,所以球0的表面积为4hF=64ji,故选D.
7.（2018•四川广元模拟）如图,边长为2的正方形ABCD中，点E,F分别是AB,BC的中点,将AADE,AEBF,AFCD分别沿DE,EF,FD折起，使得A,B,C三点重合于点A'
若四面体2EFD的四个顶点在同一个球面上，则该球的半径为.
答案乎
解析由题意可知AA'
EF是等腰直角三角形，且A'
D丄平面A'
EF.
由于MEF可以补全为边长为1的正方形，则该四面体必能补全为长、宽、高分别为1,1,2的正四棱柱，三棱锥的外接球与正四棱柱的外接球是同一个球，易知正四棱柱的外接球的直径为故球的半径为乎.
&
（2017・德州模拟）一个儿何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视
图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，该几何体的体积是
:
若该几何体的所有顶点在同一球面上，则球的表面积是答案g3兀
解析由三视图知该儿何体是底面为1的正方形，高为1的四棱锥，故体积v=gxixixi=g，该几何体与棱长为1的正方体具有相同的外接球，外接球直径为羽，该球表面积S=4兀X（出）2=3兀，正方体、长方体的体对角线即为外接球的直径.
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