高考数学二轮复习专题五解析几何第二讲椭圆双曲线抛物线的定义方程与性质能力训练理1219284Word格式文档下载.docx

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B

3．（2018·

张掖模拟）双曲线－＝1（a＞0，b＞0）的渐近线与圆x2＋（y－2）2＝1相切，则双曲线的离心率为（　　）

A.　　　B.C．2　　　D．3

双曲线－＝1的渐近线与圆x2＋（y－2）2＝1相切，则圆心（0,2）到直线bx－ay＝0的距离为1，所以＝1，即＝1，所以双曲线的离心率e＝＝2，故选C.

C

4．（2017·

高考全国卷Ⅲ）已知椭圆C：

＋＝1（a>

b>

0）的左、右顶点分别为A1、A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx－ay＋2ab＝0相切，则C的离心率为（　　）

A.　　　B.C.　　　D.

以线段A1A2为直径的圆的圆心为坐标原点O（0,0），半径为a.由题意，圆心到直线bx－ay＋2ab＝0的距离为＝a，即a2＝3b2.又e2＝1－＝，所以e＝.

A

5．已知双曲线－＝1（a＞0，b＞0）的焦距为4，渐近线方程为2x±

y＝0，则双曲线的方程为（　　）

A.－＝1B.－＝1

C.－＝1D.－＝1

易知双曲线－＝1（a＞0，b＞0）的焦点在x轴上，所以由渐近线方程为2x±

y＝0，得＝2，因为双曲线的焦距为4，所以c＝2，结合c2＝a2＋b2，可得a＝2，b＝4，所以双曲线的方程为－＝1，故选A.

6．（2018·

长春模拟）已知O为坐标原点，设F1，F2分别是双曲线x2－y2＝1的左、右焦点，P为双曲线上任意一点，过点F1作∠F1PF2的平分线的垂线，垂足为H，则|OH|＝（　　）

A．1B．2

C．4D.

不妨设P在双曲线的左支，如图，延长F1H交PF2于点M，由于PH既是∠F1PF2的平分线又垂直于F1M，故△PF1M为等腰三角形，|PF1|＝|PM|且H为F1M的中点，所以OH为△MF1F2的中位线，所以|OH|＝|MF2|＝（|PF2|－|PM|）＝（|PF2|－|PF1|）＝1.故选A.

7．（2018·

高考全国卷Ⅲ）已知双曲线C：

－＝1（a＞0，b＞0）的离心率为，则点（4,0）到C的渐近线的距离为（　　）

A.B．2

C.D．2

由题意，得e＝＝，c2＝a2＋b2，得a2＝b2.又因为a＞0，b＞0，所以a＝b，渐近线方程为x±

y＝0，点（4,0）到渐近线的距离为＝2，

故选D.

8．（2018·

石家庄一模）已知直线l：

y＝2x＋3被椭圆C：

＋＝1（a＞b＞0）截得的弦长为7，有下列直线：

①y＝2x－3；

②y＝2x＋1；

③y＝－2x－3；

④y＝－2x＋3.其中被椭圆C截得的弦长一定为7的有（　　）

A．1条B．2条

C．3条D．4条

易知直线y＝2x－3与直线l关于原点对称，直线y＝－2x－3与直线l关于x轴对称，直线y＝－2x＋3与直线l关于y轴对称，故由椭圆的对称性可知，有3条直线被椭圆C截得的弦长一定为7.选C.

9．（2018·

洛阳模拟）设双曲线C：

－＝1的右焦点为F，过F作双曲线C的渐近线的垂线，垂足分别为M，N，若d是双曲线上任意一点P到直线MN的距离，则的值为（　　）

A.B.

C.D．无法确定

双曲线C：

－＝1中，a＝4，b＝3，c＝5，右焦点F（5,0），渐近线方程为y＝±

x.不妨设M在直线y＝x上，N在直线y＝－x上，则直线MF的斜率为－，其方程为y＝－（x－5），设M（t，t），代入直线MF的方程，得t＝－（t－5），解得t＝，即M（，）．由对称性可得N（，－），所以直线MN的方程为x＝.设P（m，n），则d＝|m－|，－＝1，即n2＝（m2－16），则|PF|＝＝|5m－16|.故＝＝，故选B.

10．（2018·

高考全国卷Ⅰ）设抛物线C：

y2＝4x的焦点为F，过点（－2,0）且斜率为的直线与C交于M，N两点，则·

＝（　　）

A．5B．6

C．7D．8

由题意知直线MN的方程为y＝（x＋2），

联立直线与抛物线的方程，得

解得或

不妨设M为（1,2），N为（4,4）．

又∵抛物线焦点为F（1,0），∴＝（0,2），＝（3,4），

∴·

＝0×

3＋2×

4＝8.

11．（2018·

广西五校联考）已知点F1，F2分别是双曲线－＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过F2且垂直于x轴的直线与双曲线交于M，N两点，若·

1＞0，则该双曲线的离心率e的取值范围是（　　）

A．（，＋1）B．（1，＋1）

C．（1，）D．（，＋∞）

设F1（－c,0），F2（c,0），

依题意可得－＝1，得到y＝，

不妨设M，N，

则1·

1＝·

＝4c2－＞0，

得到4a2c2－（c2－a2）2＞0，

即a4＋c4－6a2c2＜0，

故e4－6e2＋1＜0，

解得3－2＜e2＜3＋2，

又e＞1，所以1＜e2＜3＋2，

解得1＜e＜1＋

12．（2018·

南昌模拟）抛物线y2＝8x的焦点为F，设A（x1，y1），B（x2，y2）是抛物线上的两个动点，若x1＋x2＋4＝|AB|，则∠AFB的最大值为（　　）

C.D.

由抛物线的定义可得|AF|＝x1＋2，|BF|＝x2＋2，又x1＋x2＋4＝|AB|，

得|AF|＋|BF|＝|AB|，

所以|AB|＝（|AF|＋|BF|）．

所以cos∠AFB＝

＝

＝－≥×

2－＝－，而0＜∠AFB＜π，

所以∠AFB的最大值为.

二、填空题

13．（2018·

成都模拟）已知双曲线－＝1（a＞0）和抛物线y2＝8x有相同的焦点，则双曲线的离心率为________．

易知抛物线y2＝8x的焦点为（2,0），所以双曲线－＝1的一个焦点为（2,0），则a2＋2＝22，即a＝，所以双曲线的离心率e＝＝＝.

14．（2018·

武汉调研）双曲线Γ：

－＝1（a＞0，b＞0）的焦距为10，焦点到渐近线的距离为3，则Γ的实轴长等于________．

双曲线的焦点（0,5）到渐近线y＝x，即ax－by＝0的距离为＝＝b＝3，所以a＝4,2a＝8.

8

15．（2018·

唐山模拟）过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F作直线交抛物线于A，B两点，若|AF|＝2|BF|＝6，则p＝________.

设AB的方程为x＝my＋，A（x1，y1），B（x2，y2），且x1＞x2，将直线AB的方程代入抛物线方程得y2－2pmy－p2＝0，所以y1y2＝－p2,4x1x2＝p2.设抛物线的准线为l，过A作AC⊥l，垂足为C，过B作BD⊥l，垂足为D，因为|AF|＝2|BF|＝6，根据抛物线的定义知，|AF|＝|AC|＝x1＋＝6，|BF|＝|BD|＝x2＋＝3，所以x1－x2＝3，x1＋x2＝9－p，所以（x1＋x2）2－（x1－x2）2＝4x1x2＝p2，即18p－72＝0，解得p＝4.

4

16．（2017·

高考全国卷Ⅰ改编）设A，B是椭圆C：

＋＝1长轴的两个端点．若C上存在点M满足∠AMB＝120°

，则m的取值范围是________．

当0＜m＜3时，焦点在x轴上，

要使C上存在点M满足∠AMB＝120°

，

则≥tan60°

＝，即≥，

解得0＜m≤1.

当m＞3时，焦点在y轴上，

＝，即≥，解得m≥9.

故m的取值范围为（0,1]∪[9，＋∞）．

（0,1]∪[9，＋∞）

三、解答题

17．（2018·

辽宁五校联考）已知椭圆C：

＋＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为B，若△BF1F2的周长为6，且点F1到直线BF2的距离为b.

（1）求椭圆C的方程；

（2）设A1，A2是椭圆C长轴的两个端点，P是椭圆C上不同于A1，A2的任意一点，直线A1P交直线x＝m于点M，若以MP为直径的圆过点A2，求实数m的值．

（1）由题意得F1（－c,0），F2（c,0），B（0，b），

则2a＋2c＝6，①

直线BF2的方程为bx＋cy－bc＝0，

所以＝b，即2c＝a，②

又a2＝b2＋c2，③

所以由①②③可得a＝2，b＝，

所以椭圆C的方程为＋＝1.

（2）不妨设A1（－2,0），A2（2,0），P（x0，y0），

则直线A1P的方程为y＝（x＋2），

所以M（m，（m＋2）），

又点P在椭圆C上，所以y＝3（1－），

若以MP为直径的圆过点A2，则A2M⊥A2P，·

＝0，

所以（m－2，（m＋2））·

（x0－2，y0）＝（m－2）（x0－2）＋（m＋2）＝（m－2）（x0－2）＋（m＋2）＝（x0－2）（m－）＝0.

又点P不同于点A1，A2，所以x0≠±

2，

所以m＝14.

18．（2018·

福州模拟）抛物线C：

y＝2x2－4x＋a与两坐标轴有三个交点，其中与y轴的交点为P.

（1）若点Q（x，y）（1＜x＜4）在C上，求直线PQ斜率的取值范围；

（2）证明：

经过这三个交点的圆E过定点．

（1）由题意得P（0，a）（a≠0），Q（x,2x2－4x＋a）（1＜x＜4），

故kPQ＝＝2x－4，

因为1＜x＜4，所以－2＜kPQ＜4，

所以直线PQ的斜率的取值范围为（－2,4）．

法一：

P（0，a）（a≠0）．

令2x2－4x＋a＝0，则Δ＝16－8a＞0，a＜2，且a≠0，

解得x＝1±

故抛物线C与x轴交于A（1－，0），B（1＋，0）两点．

故可设圆E的圆心为M（1，t），

由|MP|2＝|MA|2，得12＋（t－a）2＝（）2＋t2，解得t＝＋，

则圆E的半径r＝|MP|＝.

所以圆E的方程为（x－1）2＋（y－－）2＝1＋（－）2，

所以圆E的一般方程为x2＋y2－2x－（a＋）y＋＝0，

即x2＋y2－2x－y＋a（－y）＝0.

由得或

故圆E过定点（0，），（2，）．

法二：

P（0，a）（a≠0），设抛物线C与x轴的两个交点分别为A（x1,0），B（x2,0），圆E的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Fy＋G＝0，则

因为x1，x2是方程2x2－4x＋a＝0，即x2－2x＋＝0的两根，

所以x－2x1＋＝0，x－2x2＋＝0，

所以D＝－2，G＝，

所以F＝＝－（a＋），

19．（2018·

广州模拟）如图，在直角坐标系xOy中，椭圆C：

＋＝1（a＞b＞0）的上焦点为F1，椭圆C的离心率为，且过点（1，）．

（2）设过椭圆C的上顶点A的直线l与椭圆C交于点B（B不在y轴上），垂直于l的直线与l交于点M，与x轴交于点H，若·

＝0，且|MO|＝|MA|，求直线l的方程．

（1）因为椭圆C的离心率为，所以＝，即a＝2c.

又a2＝b2＋c2，所以b2＝3c2，即b2＝a2，所以椭圆C的方程为＋＝1.