量子力学思考题及解答.docx
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量子力学思考题及解答
量子力学思考题
1以下说法是否正确：
（1）量子力学适用于微观体系，而经典力学适用于宏观体系；
（2）量子力学适用于一不能忽略的体系，而经典力学适用于一可以忽略的体系。
解答：
（1）量子力学是比经典力学更为普遍的理论体系，它可以包容整个经典力学体系。
（2）对于宏观体系或一可以忽略的体系，并非量子力学不能适用，而是量子力学实际上已
经过渡到经典力学，二者相吻合了。
2、微观粒子的状态用波函数完全描述，这里“完全”的含义是什么？
解答：
按着波函数的统计解释，波函数统计性的描述了体系的量子态。
如已知单粒子（不考
虑自旋）波函数'-（r），则不仅可以确定粒子的位置概率分布，而且如粒子的动量、能量等
其他力学量的概率分布也均可通过'■（r）而完全确定。
由于量子理论和经典理论不同，它一
般只能预言测量的统计结果，而只要已知体系的波函数，便可由它获得该体系的一切可能物
理信息。
从这个意义上说，有关体系的全部信息显然已包含在波函数中，所以说微观粒子的
状态用波函数完全描述，并把波函数称为态函数。
3、以微观粒子的双缝干涉实验为例，说明态的叠加原理。
解答：
设匸1和匸2是分别打开左边和右边狭缝时的波函数，当两个缝同时打开时，实验说明
到达屏上粒子的波函数由=和I的线性叠加即-cr;i-*2来表示，可见态的叠加不是概率相加，而是波函数的叠加，屏上粒子位置的概率分布由卜|2二1-V22确定，卜|2中
出现有和匸2的干涉项2Re[cic；t1-2]，ci和C2的模对相对相位对概率分布具有重要作用。
4、量子态的叠加原理常被表述为：
“如果：
和‘2是体系的可能态，则它们的线性叠加
=C^L；1C?
；2也是体系的一个可能态”。
（〔）是否可能出现■（x,t）=C1（t）‘‘1（x）•C2（t）J2（x）；
（2）对其中的c1与c2是任意与r无关的复数，但可能是时间t的函数。
这种理解正确吗？
解答：
（1）可能，这时^（t）与c2（t）按薛定谔方程的要求随时间变化。
已知’-：
1和'-：
2是体系的可能态，它们应满足波方程式
如果和匸2的线性叠加'■（X,t^Ci（tri（x,t）C2（t尸2（X,t）也是体系的可能态,
就必须满足波方程式iH'-：
，然而，
盘
irgH-1亜C2二―咚
；:
tI.tdt；:
tdt
=c1H-1qHj半t2匝
11_1dt2dt
可见，只有当dC^=dCL=0时，才有i「H（c「jC2‘2）=*。
dtdtct
因此，■（x,t）二cjtyr&t）•C（t）‘2（X,t）中，C1与C2应是任意复常数，而不是
时间t的复函数。
如上式中态不含时间，则有（x^cr\（x）c?
2（x）。
5、
（1）波函数与、e^-;是否描述同一态？
（2）下列波函数在什么情况下才是描述同一态？
■,-'2;c<'1-c^^;2;c1ei：
^;1-c2e^'^'2
这里C,C2是复常数,：
'1/'2是实常数。
解答：
（1与、ei二描述的相对概率分布完全相同，如对空间捲和X2两点的相对概
率
N（X1『
|kW（X1）|2
e切（xj
2
故W与k屮、e©P均描述同一态。
W（X2）2
—2—k屮（X2）
e呵区）
2，
（2）
由于
任意
复数c=ce旧，以及
屮1±C2屮22=申12+C2屮』2士GC；屮y2+c*C2屮化
显然，只有当复数C1二c2=c，即C1=C2=C，且e^e^'^e-时，
=t,cr「C2「2=Uc^ei：
-\c2ei：
-^cC；'-■2）ei：
-
均描述同一态。
6、量子力学规律的统计性与经典统计力学的统计规律有何不同？
量子力学统计规律的客观
基础是什么?
解答：
经典统计力学的基础是牛顿力学，例如一定量气体中每个气体分子在每个瞬时都有确
定的位置和动量，每个分子都按牛顿运动定律而运动，而大量分子组成的体系存在着统计
规律。
例如，对个别分子不存在温度这个概念，处于平衡态的理想气体的温度是分子平均
平动动能的量度。
与经典力学不同，量子力学不是像经典统计力学那样建立起来的宏观理论，波函数的
统计解释是量子力学的理论结构中的基本假设。
在传统的解释中，量子力学规律的统计性被认为是由波粒二象性所决定的微观粒子的
本质特性，是观测仪器对微观粒子的不可控制的作用的结果。
如类似经典粒子那样，进一
步问：
统计性的微观实质是什么？
依据是什么？
则被认为是超出了基本假设限度，因而是
没有意义的，也是没有必要的。
7、量子力学为什么要用算符表示力学量？
表示力学量的算符为什么必须是线性厄密的？
解答：
用算符表示力学量，是量子体系所固有的波粒二象性所要求的，这正是量子力学处理
方法上的基本特点之一。
我们知道，表示量子态的波函数是一种概率波，因此，即是在一
确定的量子态中，也并非各力学量都有完全确定值，而是一般的表现为不同数值的统计分
布，这就注定了经典力学量的表示方法（可由运动状态完全决定）不再使用，因此需要寻
求新的表示方法。
下面从力学量的平均值的表示式出发，说明引入算符的必要性。
如果体系处于'■（X）中，则它的位置平均值为
x_（x）xdx
类似地，它的动量的平均值也可表示为
p=旷（x）2pdx
若要求出上述积分，必须将p表示为x的函数，然而这是做不到的，因为按不确定关系
P（x）的表示是无意义的，因此不能直接在坐标表象中用上式求动量平均值。
我们可先在动量表象中求出动量平均值，然后再转换到坐标表象中去。
—2
P=.（P）pdp
利用（P）=（2…\/2'（处心/dx有
「点Meip山*（x）p屮gewMdx&dp
作代换peJpxr=i「，并对p,x积分得（推广到三维）
*—«■—«■
p=（r）（-i、（r）d.
可见，要在坐标表象中计算动量平均值，那么动量矢量恰与算符-i飞相当。
实际上，
任何一个力学量在非自身表象中计算平均值时，都与相应的算符相当，自然会引入算符表
示力学量的概念。
用算符表示力学量问题还可以从另一个角度来说明。
我们知道，在量子力学中，力学量
之间的关系从其数值是否能同时确定来考虑，有相互对易与不对易两种，而经典力学量之
间都是对易的，因此经典力学量的表示方法不能适用于量子力学，然而数学运算中算符与
算符之间一般并不满足交换律，也就是存在不对易情况，因此用算符表示力学量是适当的。
力学量必须用线性厄密算符表示，这是由量子态叠加原理所要求的；任何力学量的实际
测量值必须是实数，因此它的本征值也必为实数，这就决定了力学量必须由厄密算符来表
示。
8、力学量之间的对易关系有何物理意义？
解答：
力学量之间的对易关系，是量子力学中极为重要的关系。
它相当于旧量子论中的量子
化条件，具有深刻的物理含义。
对易关系表明，经典因果性不是普遍成立的，并指出各类力
学量能够同时确定的条件（相互对易），体现了量子力学的基本特点。
与不确定原理一样，
力学量之间的对易关系也是来源于物质的波粒二象性。
从纯理论的角度说，它也可以作为量
子力学的基本出发点。
此外，对于有的力学量，对易关系反映了它的基本特征，如
[L..,L-]汴丄，就可作为角动量的定义。
9、什么是力学量的完全集？
它有何特征？
解答：
设有一组彼此独立而又相互对易的力学量（F“F2,…），它们的共同本征函数系为
（匚，=2,…），如果给定一组量子数（m,n2,…）就可以确定体系的一个可能态，那么，就称
（Fi，F2/）为体系的一个力学量完全集。
它的特点是：
（1）力学量完全集的共同本征函
数系构成一个希尔伯特空间；
（2）力学量完全集所包含力学量的数目等于量子数组
（m,n2,…）所包含的量子数数目，即体系的自由度数；（3）力学量完全集中所有力学量是可
以同时测量的。
10、何谓定态？
它有何特征?
解答：
定态就是概率密度和概率流密度不随时间而变化的状态。
若势场恒定-—=0，则体
盘
系可以处于定态。
定态具有以下特征：
（1）定态波函数时空坐标可以分离，,-（r,t^'';!
（r）eJEt/，其中口（r）是哈密顿量H的本征函数，而E为相应的本征值；
（2）不显含时间t的任何力学量，对于定态的平均值不随时间而变化，各种可能值出
现的概率分布也不随时间而变化。
注意，通常用（r）表示定态只是一种简写，定态是含时态，任何描写粒子状态的波函数都是含时的。
11、
（1）任意定态的叠加一定是定态。
理由如下：
定态的线性叠加■（x,t）八晡n（x）eJEnt/'
n
—*2
W（x,t）态中平均值E=”HWdx=52|CnEn与t无关，所以叠加态即（x,t）
n
定态。
（2）体系的哈密顿量不显含时间时，波动方程的解都是定态解。
以上说法正确吗？
解答：
（1）能量不同的定态的叠加态’-：
（x,t）=7c<;n（x）eJEnt/中，不具有确定的能量值，
n
尽管E与t无关，但位置概率密度W（x,t）=$（x,t）$=瓦c：
c詰；（x）屮m（x）ei（En_Em）t/依赖
n,m
于时间t，这表明任意定态的叠加不再具有定态的特征，是非定态。
（2）由于波动方程是线性的，体系中不同定态叠加而成的非定态
'■（x,tHvc^；n（x）e4Ent/仍是波动方程的解。
因此，只能说定态解（H不显含时间t）
n
是体系含时波动方程iH'・的解，但不能说该体系的含时波动方程的解都是定态解。
由此可以看出，由于定态是能量的本征态，本征值方程H?
中明显出现E，体系中
不同能量的本征态的线性叠加不可能再是原本征方程的解，而这种叠加态正是实际存在的最
一般的可能态。
12、什么是束缚态？
它有何特征？
束缚态是否必为定态？
定态是否必为束缚态？
举例说明。
解答：
当粒子被势场约束在特定的区域内运动，即在无限远处波函数等于零的态叫束缚态。
束缚态的能级是分立的。
例如，一维谐振子就属于束缚定态，具有量子化的能级。
但束
态不一定是定态，例如限制在一维盒子中的粒子，最一般的可能态是一系列分立的定态叠加
而
成的波包，这种叠加态是没有确定能量的非定态。
虽然一般情况下定态多属束缚态，但定态
也
可能有非束缚态，例如在散射中，粒子并不局限于有限区域，但粒子处于能量本征态，这时
粒
子处于非束缚态，或者说粒子处于散射定态（简称为散射态）。
13、不确定关系如何体现微观粒子的普遍本质一一波粒二象性？
解答：
对于微观粒子使用“波粒二象性”的术语，这本身既反映了经典物理概念的局限性，
又反映了我们语言的局限性。
我们可以认为，物质兼具粒子性和波动性，但确切地说，它们
既不是经典波，也不是经典粒子，经典物理中粒子和波的概念只有经过修正才能被量子理论
借用，不确定性关系就反映了这种修正，它给出了这两个概念能够被有效借用的限度，如
li
p给出了用粒子图像描述物质的局限性。
2
14、如何用矩阵表示量子态与力学量，并说明理由。
解答：
矩阵表示一般用于本征值为分立谱的表象（相应希尔伯特空间的维数是可数的）。
具
体说，如果力学量A的本征函数为打，「2,…匚，相应本征值为A|,A2,…An。
任意态矢*可展开为
'八a?
；n
n
态矢在A表象的表示为展开系数^an组成的一列矩阵
屮=a_2
6丿
2
其意义是：
在屮
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