概率论和数理统计第二章课后习题答案解析Word文档下载推荐.docx
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0时,F(x)=P(X≤x)=0
当0≤x<
1时,F(x)=P(X≤x)=P(X=0)=
当1≤x<
2时,F(x)=P(X≤x)=P(X=0)+P(X=1)=
当x≥2时,F(x)=P(X≤x)=1
故X得分布函数
3、射手向目标独立地进行了3次射击,每次击中率为0、8,求3次射击中击中目标得次数得分布律及分布函数,并求3次射击中至少击中2次得概率、
设X表示击中目标得次数、则X=0,1,2,3、
故X得分布律为
P
0、008
0、096
0、384
0、512
分布函数
4、
(1)设随机变量X得分布律为
P{X=k}=,
其中k=0,1,2,…,λ>0为常数,试确定常数a、
(2)设随机变量X得分布律为
P{X=k}=a/N,k=1,2,…,N,
试确定常数a、
(1)由分布律得性质知
故
(2)由分布律得性质知
即、
5、甲、乙两人投篮,投中得概率分别为0、6,0、7,今各投3次,求:
(1)两人投中次数相等得概率;
(2)甲比乙投中次数多得概率、
【解】分别令X、Y表示甲、乙投中次数,则X~b(3,0、6),Y~b(3,0、7)
(1)
+
(2)
=0、243
6、设某机场每天有200架飞机在此降落,任一飞机在某一时刻降落得概率设为0、02,且设各飞机降落就是相互独立得、试问该机场需配备多少条跑道,才能保证某一时刻飞机需立即降落而没有空闲跑道得概率小于0、01(每条跑道只能允许一架飞机降落)?
【解】设X为某一时刻需立即降落得飞机数,则X~b(200,0、02),设机场需配备N条跑道,则有
即
利用泊松近似
查表得N≥9、故机场至少应配备9条跑道、
7、有一繁忙得汽车站,每天有大量汽车通过,设每辆车在一天得某时段出事故得概率为0、0001,在某天得该时段内有1000辆汽车通过,问出事故得次数不小于2得概率就是多少(利用泊松定理)?
【解】设X表示出事故得次数,则X~b(1000,0、0001)
8、已知在五重贝努里试验中成功得次数X满足P{X=1}=P{X=2},求概率P{X=4}、
【解】设在每次试验中成功得概率为p,则
所以、
9、设事件A在每一次试验中发生得概率为0、3,当A发生不少于3次时,指示灯发出信号,
(1)进行了5次独立试验,试求指示灯发出信号得概率;
(2)进行了7次独立试验,试求指示灯发出信号得概率、
(1)设X表示5次独立试验中A发生得次数,则X~6(5,0、3)
(2)令Y表示7次独立试验中A发生得次数,则Y~b(7,0、3)
10、某公安局在长度为t得时间间隔内收到得紧急呼救得次数X服从参数为(1/2)t得泊松分布,而与时间间隔起点无关(时间以小时计)、
(1)求某一天中午12时至下午3时没收到呼救得概率;
(2)求某一天中午12时至下午5时至少收到1次呼救得概率、
(1)
(2)
11、设P{X=k}=,k=0,1,2
P{Y=m}=,m=0,1,2,3,4
分别为随机变量X,Y得概率分布,如果已知P{X≥1}=,试求P{Y≥1}、
【解】因为,故、
而
故得
从而
12、某教科书出版了2000册,因装订等原因造成错误得概率为0、001,试求在这2000册书中恰有5册错误得概率、
【解】令X为2000册书中错误得册数,则X~b(2000,0、001)、利用泊松近似计算,
得
13、进行某种试验,成功得概率为,失败得概率为、以X表示试验首次成功所需试验得次数,试写出X得分布律,并计算X取偶数得概率、
14、有2500名同一年龄与同社会阶层得人参加了保险公司得人寿保险、在一年中每个人死亡得概率为0、002,每个参加保险得人在1月1日须交12元保险费,而在死亡时家属可从保险公司领取2000元赔偿金、求:
(1)保险公司亏本得概率;
(2)保险公司获利分别不少于10000元、20000元得概率、
【解】以“年”为单位来考虑、
(1)在1月1日,保险公司总收入为2500×
12=30000元、
设1年中死亡人数为X,则X~b(2500,0、002),则所求概率为
由于n很大,p很小,λ=np=5,故用泊松近似,有
(2)P(保险公司获利不少于10000)
即保险公司获利不少于10000元得概率在98%以上
P(保险公司获利不少于20000)
即保险公司获利不少于20000元得概率约为62%
15、已知随机变量X得密度函数为
f(x)=Ae|x|,∞<
x<
+∞,
求:
(1)A值;
(2)P{0<
X<
1};
(3)F(x)、
(1)由得
故、
(3)当x<
0时,
当x≥0时,
16、设某种仪器内装有三只同样得电子管,电子管使用寿命X得密度函数为
f(x)=
(1)在开始150小时内没有电子管损坏得概率;
(2)在这段时间内有一只电子管损坏得概率;
(3)F(x)、
100时F(x)=0
当x≥100时
17、在区间[0,a]上任意投掷一个质点,以X表示这质点得坐标,设这质点落在[0,a]中任意小区间内得概率与这小区间长度成正比例,试求X得分布函数、
【解】由题意知X~∪[0,a],密度函数为
故当x<
0时F(x)=0
当0≤x≤a时
当x>
a时,F(x)=1
即分布函数
18、设随机变量X在[2,5]上服从均匀分布、现对X进行三次独立观测,求至少有两次得观测值大于3得概率、
【解】X~U[2,5],即
故所求概率为
19、设顾客在某银行得窗口等待服务得时间X(以分钟计)服从指数分布、某顾客在窗口等待服务,若超过10分钟她就离开、她一个月要到银行5次,以Y表示一个月内她未等到服务而离开窗口得次数,试写出Y得分布律,并求P{Y≥1}、
【解】依题意知,即其密度函数为
该顾客未等到服务而离开得概率为
即其分布律为
20、某人乘汽车去火车站乘火车,有两条路可走、第一条路程较短但交通拥挤,所需时间X服从N(40,102);
第二条路程较长,但阻塞少,所需时间X服从N(50,42)、
(1)若动身时离火车开车只有1小时,问应走哪条路能乘上火车得把握大些?
(2)又若离火车开车时间只有45分钟,问应走哪条路赶上火车把握大些?
(1)若走第一条路,X~N(40,102),则
若走第二条路,X~N(50,42),则
++
故走第二条路乘上火车得把握大些、
(2)若X~N(40,102),则
若X~N(50,42),则
故走第一条路乘上火车得把握大些、
21、设X~N(3,22),
(1)求P{2<
X≤5},P{4<
X≤10},P{|X|>2},P{X>3};
(2)确定c使P{X>c}=P{X≤c}、
(2)c=3
22、由某机器生产得螺栓长度(cm)X~N(10、05,0、062),规定长度在10、05±
0、12内为合格品,求一螺栓为不合格品得概率、
23、一工厂生产得电子管寿命X(小时)服从正态分布N(160,σ2),若要求P{120<X≤200}≥0、8,允许σ最大不超过多少?
24、设随机变量X分布函数为
F(x)=
(1)求常数A,B;
(2)求P{X≤2},P{X>3};
(3)求分布密度f(x)、
(1)由得
25、设随机变量X得概率密度为
求X得分布函数F(x),并画出f(x)及F(x)、
【解】当x<
1时
2时
当x≥2时
26、设随机变量X得密度函数为
(1)f(x)=ae|x|,λ>
0;
(2)f(x)=
试确定常数a,b,并求其分布函数F(x)、
(1)由知
即密度函数为
当x≤0时
0时
故其分布函数
(2)由
得b=1
即X得密度函数为
当x≤0时F(x)=0
当0<
当x≥2时F(x)=1
故其分布函数为
27、求标准正态分布得上分位点,
(1)=0、01,求;
(2)=0、003,求,、
(2)由得
查表得
由得
28、设随机变量X得分布律为
X
21013
Pk
1/51/61/51/1511/30
求Y=X2得分布律、
【解】Y可取得值为0,1,4,9
故Y得分布律为
Y
0149
1/57/301/511/30
29、设P{X=k}=k,k=1,2,…,令
求随机变量X得函数Y得分布律、
30、设X~N(0,1)、
(1)求Y=eX得概率密度;
(2)求Y=2X2+1得概率密度;
(3)求Y=|X|得概率密度、
(1)当y≤0时,
当y>
(2)
当y≤1时
当y≤0时
故
31、设随机变量X~U(0,1),试求:
(1)Y=eX得分布函数及密度函数;
(2)Z=2lnX得分布函数及密度函数、
当时
当1<
y<
e时
当y≥e时
故Y得密度函数为
(2)由P(0<
1)=1知
当z≤0时,
当z>
故Z得密度函数为
32、设随机变量X得密度函数为
试求Y=sinX得密度函数、
当y≤0时,
1时,
当y≥1时,
33、设随机变量X得分布函数如下:
试填上
(1),
(2),(3)项、
【解】由知②填1。
由右连续性知,故①为0。
从而③亦为0。
即
34、同时掷两枚骰子,直到一枚骰子出现6点为止,求抛掷次数X得分布律、
【解】设Ai={第i枚骰子出现6点}。
(i=1,2),P(Ai)=、且A1与A2相互独立。
再设C={每次抛掷出现6点}。
则
故抛掷次数X服从参数为得几何分布。
35、随机数字序列要多长才能使数字0至少出现一次得概率不小于0、9?
【解】令X为0出现得次数,设数字序列中要包含n个数字,则
X~b(n,0、1)
得n≥2