学而思小升初专项训练工程篇教师版Word文档格式.docx

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【附答案】

1【解】：

3人被抽走后，剩下15人都多植树1棵，这样每小时都总共多植树15棵树，因为还是按期完成任务，所以这15棵树肯定是3人原来要种的，所以原来每人要植树15÷

3=5棵。

2【解】：

甲10天+乙20天=1；

甲15天+乙12天=1，所以工作量：

甲10天+乙20天=甲15天+乙12天，等式两端消去相等的工作量得：

乙8天=甲5天，即乙工作8天的工作量让甲去做只要5天就能完成，那么整个工程全让甲做要15+12×

=22.5天。

现在乙了4天就相当于甲做了4×

=2.5天，所以甲还要做20天。

3【解】：

甲的工作效率=

，乙的工作效率=

，合作工效=

，甲乙交替工作相当于甲乙一起合作1小时，这样1÷

=

=8…

，所以合作了8小时，这样还剩下

就是甲做的，所以甲还要做

÷

=3

，所以两人总共作了8+8+

小时。

4【解】：

方法一：

（编者推荐用法）甲、乙、丙60分钟可以灌满，甲、乙两管80分钟可以灌满，乙、丙两根水管75分钟可以灌满；

这样我们先找出60、80、75的最小公倍数，即1200，所以我们假设水池总共有1200份，这样甲、乙、丙每分钟灌1200÷

60=20份，甲、乙每分钟灌1200÷

80=15份，乙、丙每分钟灌1200÷

75=16份，所以乙每分钟灌15+16-20=11份，这样乙单独灌水要1200÷

11=

分钟。

方法二：

设工作效率求解，省略。

5【解】：

假设每个工人每小时做一份，这样总工程量=15×

4×

18=1080份，增加3人每天增加1小时，那么需要的时间=1080÷

（15+3）÷

（4+1）=12天，所以提前6天完成。

第七讲小升初专项训练工程篇

一、小升初考试热点及命题方向

罗巴切夫斯基是俄国数学家。

曾经有一位承包商向他请教过一个工程问题：

某项工程，若甲、乙单独去做，甲比乙多用4天完成；

若甲先做2天后，再和乙一起做，则共用7天可完成，问甲、乙两人单独做此工程各需多少天完成？

答案：

设甲、乙两人每人完成该项工程的一半，以题意，甲、乙两人单独完成，甲比乙多用4天，所以每人单独完成一半时，甲比乙多用2天。

另外，已知甲先做2天，然后与乙合作，7天完成，这就是说，甲、乙共同完成全部工作时（每人做一半），相差刚好2天，那么很明显，甲在7天中正好完成了工程的一半，而乙在5天中也完成了工程的一半。

这样，甲单独完成要14天，乙单独完成要10天。

工程问题在历届考试中之所以难，是因为工程问题中比例和单位“1”综合。

还有就是学生欠缺一些固定的条件的理解和转化能力。

二、2007年考点预测

07年的这一题型必然将继续出现，题型的出题热点在利用通项表达式（即字母表示）总结出已知条件中等式的内在规律和联系，这一类题型主要考察学生根据已有条件进行归纳与猜想的能力，希望同学们多加练习。

三、知识要点

在工程问题中，一般要出现三个量：

工作总量、工作时间（完成工作总量所需的时间）和工作效率（单位时间内完成的工作量）。

深刻理解公式的用法！

【基本公式】：

这三个量之间有下述一些关系式：

工作效率×

工作时间＝工作总量；

工作总量÷

工作时间＝工作效率；

　　工作总量÷

工作效率＝工作时间。

　　为叙述方便，把这三个量简称工量、工时和工效。

【规律总结】：

不要求记忆，但要求能够理解和运用。

（1）工效提高了a%,工作总量不变的前提下，工时则变为原来的100/（100+a）。

时间缩短了a/（100+a）。

（2）工效降低了a%,工作总量不变的前提下，工时则变为原来的100/（100-a）。

时间延长了a/（100-a）。

（3）工效提高了a/b,工作总量不变的前提下，工时则变为原来的a/（a+b）。

时间缩短了b/（a+b）。

（4）工效降低了a/b,工作总量不变的前提下，工时则变为原来的b/（b-a）。

时间延长了a/（b-a）。

（5）当出现甲工作了一段时间a，乙工作了一段时间b，则通常是把条件处理为甲乙和干了a（或b时间）后甲单干（a-b）（或乙单干（b-a）段时间）

四、典型例题解析

1涉及二者的工程问题

【例1】

（★★）一项工程，甲单独做6天完成，乙单独做12天完成。

现两人合作，途中乙因病休息了几天，这样用了4.5天才完成任务。

乙因病休息了几天？

6=3/4，乙完成了1/4，需要（1/4）÷

（1/12）=3天，所以乙休息了4.5-3=1.5天。

×

（

）=

，而总工作量只有1，所以多出来的

就是乙休息时间里做的，所以乙休息了

=1.5天。

【答】：

乙休息了1.5天。

【例2】

（★★）有240个零件，平均分给甲、乙两个车间加工。

乙车间有紧急任务，因此在甲车间开始加工了4小时之后才开始加工这批零件，而且比甲车间晚40分钟才完成任务。

已知乙车间的效率是甲车间的3倍，那么甲车间每小时能加工多少个零件？

【解】：

40分钟＝

小时，乙车间一共比甲车间少用了

小时，乙车间的效率是甲车间的3倍，乙比甲少工作4－

＝3

小时，但都完成了120个零件。

如果乙和甲的时间是一样的话，那么乙就会多完成240个零件，也就是说乙在3

小时内可做240个零件，所以乙每小时完成的零件个数为240÷

＝72个，甲每小时完成72÷

3＝24个零件。

甲每小时能加工24个零件。

2涉及三者的工程问题

【例3】

（★★★）一项工程，甲队单独做24天完成，乙队单独做30天完成。

现在甲、乙两队先合做8天，剩下的由丙队单独做了6天完成了此项工程。

如果从开始就由丙队单独做，需要几天？

设工作总量为[24，30]＝120单位，则甲队每天完成240÷

24=5单位，乙队每天完成240÷

30=4单位。

前8天，甲、乙两队共完成（5＋4）×

8＝72单位，则丙6天完成120－72＝48单位，丙每天完成48÷

6＝8单位。

那么，如果从开始就让丙队单独做，需要120÷

8＝15天。

甲工作效率为1/24，乙的工作效率为1/30，这样甲乙合作8天完成的工作量为（1/24+1/30）×

8=9/15，所以剩下的1-9/15=6/15由丙做6天，所以丙的工作效率为6/15÷

6=1/15，所以丙要做15天。

如果从开始让丙队独做，需要15天。

【例4】

（★★★）某工程由甲、乙两个工程队合作需要12天完成。

甲工程队工作3天后离开，同时乙、丙两个工程队加入，又工作了3天后，乙工程队离开，此时刚好完成工程的一半，那么剩下的工程如果由丙工程队单独完成，还需要几天？

可以看作是甲、乙、丙三个工程队合作了3天，干完了工程的一半。

因为甲乙合作需要12天完成，所以甲乙两队合作3天共完成了全部工程的

。

可以算出丙队3天完成的工作量是

则剩下的一半工程，丙队需要独做6天才能完成。

还需要6天。

【例5】

（★★★）马师傅和张师傅合伙加工一批零件，原计划马师傅每天比张师傅多加工8个零件，共用了15天完成。

张师傅为了赶上马师傅的效率，叫了一个徒弟从一开始就来帮忙，结果师徒俩每天反比马师傅还多加工4个零件，这样用了12天就完成了，那么马师傅每天加工多少个零件？

由题意知徒弟每天加工零件8＋4＝12个。

设工作总量为[12，15]＝60份，这样原来张、马二人的工效之和为60÷

15=4份，现在加上张师傅的徒弟后三人的工效之和为60÷

12=5份，相差1份，表明1份为12个零件。

原来两位师傅每天一共加工零件12×

4＝48个，马师傅又比张师傅每天多8个，则他每天加工（48＋8）÷

2＝28个。

马师傅每天加工28个零件。

【例6】

（★★★）有甲、乙、丙三组工人，甲组4人的工作，乙组需要5人来完成；

乙组的3人工作，丙组需要8人来完成。

一项工作，需要甲组13人来完成，乙组15人3天来完成。

如果让丙组10人去做，需要多少天来完成？

设甲组每人每天的工作量为1，则乙组每人每天的工作量为4/5，丙组每人每天的工作量为：

4/5×

3/8=3/10。

这项工作的总工作量为：

（1×

13+4/5×

15）×

3=75

丙组10人需要干：

75÷

3/10÷

10=25（天）。

3涉及多者的工程问题

【例7】

（★★）一项工程，45人可以若干天完成。

现在45人工作6天后，调走9人干其他工作。

这样，完成这项工程就比原来计划多用了4天。

原计划完成这项工程用多少天？

前6天的工作可看作是按原计划进行，设原计划还需要

天完成。

剩余的工作按照45人进行和实际的

人进行相差4天，表明36人最后4天的量相当于调走的那9个人

天的工作量。

则

为36×

4÷

9＝16天。

原计划用16＋4＝20天。

原计划用20天完成。

【例8】

（★★★）A、B、C、D、E五个人干一项工作，若A、B、C、D四人一起干需要6天完成；

若四人干，需要8天完工；

若A、E两人一起干，需要12天完工。

那么，若E一人单独干需要几天完工？

可设工作总量为[6，8，12]＝24单位，则A、B、C、D四人每天完成4单位，B、C、D、E四人完成3单位，表明A每天比E多做1单位；

由题意又可知A、E两人一天完成2单位，则A每天完成（2＋1）÷

2＝1.5单位，E每天完成（2－1）÷

2＝0.5单位。

那么，如果由E一人单独做需要24÷

0.5＝48天。

如果由E一人单独做需要48天。

【例9】

（★★★★）某工程如果由第一、二、三小队合干需要12天都能完成；

如果由第一、三、五小队合干需要7天完成；

如果由第二、四、五小队合干需要8天都能完成；

如果由第一、三、四小队合干需要42天都能完成。

那么这五个小队一起合作需要多少天才能完成这项工程？

【思路】：

我们注意到，在题目中二、四、五每支队都恰出现两次，一、三两支小队恰出现三次，因此题目中四种方式的效率总和为5个小队效率和的2倍再加上一、三两支小队的效率和．因此，再加上一个二、四、五3支小队效率和，得到的结果就应该是5个小队效率的3倍．

通过条件，我们有以下公式：

　（一＋二＋三＋四＋五）×

3=（一＋二＋三）+（一＋三＋五）+（二＋四＋五）×

2+（一＋三＋四）．

所以，5支小队效率和为：

4水箱注水的工程问题

【例10】

（★★★）水池安装A、B、C、D、E五根水管，有的专门放水，有的专门进水。

如果每次用两根水管同时工作，注满一池水所用时间如下表所示：

A，B

C，D

E，A

D，E

B，C

2

6

10

15