函数极值的求法 毕业论文.docx
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系
专
别:
业:
数学系
数学教育
班
级:
10 级
（2）班
学
号:
131002055
姓
名:
郭玉兰
毕业论文
题
目:
函数极值的求法
指导老师:
连玉平
2013 年4月4 日
目 录
1.一元函数极值的求法 2
1.1费马定理 2
1.2稳定点 2
1.3极值的第一充分条件 2
1.4极值的第二充分条件 2
1.5极值的第三充分条件 3
1.6求一元函数极值的步骤 3
2.二元函数极值的求法 5
2.1极值必要条件 6
2.2极值充分条件 4
2.3求二元函数极值的基本方法 4
3.多元函数极值的求法 8
3.1普通极值问题 9
3.2 条件极值问题 ............................. 11
3.3 求条件极值的步骤 13
参考文献 15
致 谢 16
函数极值的求法
摘要：
这篇论文主要讨论了函数的极值问题，包括一元函数极值，二元函数极值，多元函数极值，以及条件极值拉格朗日方法等 .本文以定理的形式给出了一元函数、二元函数，以及多元函数的求解方法 .同时也给出了求多元函数条件极值的拉格朗日乘数法 .
关键词：
极值、极值点、稳定点、拉格朗日
Abstract:
thispaperdiscussestheissueofextremevalueoffunction,includingtheextremevalueofafunction,binaryfunction'sextremism,extremevalueoffunctionofmanyvariablesandLagrangianmethodsforconditionalextremism.Thisformofthetheoremgivesaunaryfunctionbinaryfunctionandmethodforsolvingmultivariatefunction.ItisalsoseekingconditionalextremevalueoffunctionofmanyvariablesaregivenLagrangemultipliermethod.
Tags:
extreme,extremepoints,astablepoint,Lagrange
17
引言：
在生产实践、科学实验和社会生活中，经常遇到待解决“最好”、“最大”、“最省”、“最小”等问题，这类问题可归结为数学中的最大值和最
小值，函数的极值和最值有一定的联系，可以为求函数的最值作一定的参考 .函数的极值不仅在实际问题中占有重要的地位，而且也是函数形态的一个重要特
征，多元函数的极值问题是多元函数微分学的重要应用 .对函数极值问题求解方法的探讨有利于我们解决现实生活中的很多最优问题 .本文就函数极值的问题进行了一些探讨，总结了一些求函数极值的方法，包括一元函数、二元函数、多元函数的极值求解方法，深化了课本中的一些定理和概念， 为更好的解决现实中的最优问题提供了一些参考 .
1.一元函数极值的求法
函数的极值不仅在实际问题中占有重要的地位， 而且也是函数性态的一个重要特征，那么对一元函数的极值问题我们该怎样解决呢？
定义：
设函数
f x f x0
，则f x0
是函数f x 的一个极小值，极大值与极小
值统称为极值。
在
x0附近有定义，如果对
x0附近的所有的点，都有
f x f x0 ，
则f x0
是函数f x 的一个极大值。
如果附近所有的点，都有
f x f x0 ，
则f x0 是函数f x的一个极小值，极大值与极小值统称为极值。
若函数f在点
x0处可导，且
x0为f的极值点，则
f x0 0.这就是说可导
函数在点取极值的必要条件是 f x0 0.
1.1费马定理
设函数f在点则必有
x0的某邻域内有定义，且在点
f x0 0
x0可导.若点x0为f的极值点，
1.2稳定点
我们称满足方程 f x
0的点为稳定点.对于函数
f x x3，点x
0是稳
定点，但却不是极值点.
o
1.3极值的第一充分条件
设f在点
x0连续，在某邻域U
x0;
内可导.
i 若当
x x0
,x0
时f x
0，当
x x0,x0
时f x
0，则f在点x0
取得极小值；
ii 若当
x x0
,x0
时f x
0，当
x x0,x0
时f x
0，则f在点
x0取得极大值.
1.4极值的第二充分条件
0
设f 在
x 的某邻域Uo
x0;
内一阶可导，在
x x0处二阶可导，且
f x0 0，f x0 0
i若f x0 0，则f在x0取得极大值；.
ii若
f x0 0，则f在
x0取得极小值.
1.5极值的第三充分条件
n
设f 在
x0的某邻域内存在直到n
1阶导函数，在
x0处n阶可导，且
k
n
f x0 0
k 1,2
n 1，f
x0 0，则
i当n为偶数时，f 在
n
f x0 0时取极小值；.
x0取得极值，且当f x0
0时取极大值，
ii当n为奇数时，f在x0处不取极值.
1.6求一元函数极值的步骤
1.求函数f x的导数；
2.令f x
0，解出稳定点
x1,x2
xn；
3.判断xi i
1,2
n两侧的符号，找出局部极值点；
4.根据极值的第二充分条件进行判断；
3 2
5.根据极值的第三充分条件进行判断 .
5
2
2x3
5x3
在
上连续，且当
x
0时有
例1 求f x
2x 5
x 的极值点和极值
解 f x
2x 5
3x2
10 2 10
1 10x 1
f x x3 x3
3 3 3 3x
易见，x
1为f的稳定点，x
0为f的不可导点.这两点是否是极值点，
需作进一步的讨论.
x
0
0
0,1
1
1,
y
不存在
0
y 递增 0 递减 3 递增
由上表可以看出：
点 x
0为f的极大值点，极大值
f 0 0；x
1为f的极
小值点，极小值 f 1 3.
例2 求函数
解 由
f x 2x
2
1 x
f x
的极值
2x
2
1 x
2 2
21 x
2x2x 21 x
得 f x
得稳定点为x
2 2 0
1 x2 1 x2
1或x 1
4x1 x2 8x1 x2
3
12x 4x
又 f x f x 3 3
1 x2 1 x2
于是 f 1 1 0
f 1 1 0
故1是f x的极大值点，极大值 f 1 1， 1是f x 的极小值点，极小值
f 1 1.
例3 试求函数解 由于
2
f x x 1 x
3
1 的极值
3
f x 2 x 1 x 1
2 2
3 x 1 x 1
2
x2 1 2 x 1 3x2 1
x2 1 5x2
4x 1
2
x 1 x
0
1 5x 1
得 x 1,1,1
5
f x 2 x 1
x 1 5x 1
2
x 1 5x
1 5 x
2
1 x 1
x 1 2 5x2 6x
x x 1 20x 8
1 5x2
4x 1 5 x2 1
则f 1 0，故 1不是f x的极值点；f
1 24 0，故x
1是f x的
极小值点；f
1 24 0，故x
5 25
1是f x的极大值点.
5
所以极小值
f 1 0，极大值f
1 3456.
5 3125
2.二元函数极值的求法
以上我们用导数的方法分析解决了一元函数极值的问题，那么对二元函数极值的问题我们又该怎样解决呢？
定义：
设函数f 在点P0
x0,y0
的某邻域
U P0
内有定义.若对于任何点
Px,y U P0 ，成立不等式
f P f P0 （或f P f P0 ）
则称函数f在点
P0取得极大（或极小）值，点
P0称为f的极大（或极小）值
点.极大值和极小值统称为极值 .极大值点和极小值点统称为极值点 .
2.1极值必要条件
若函数f在点P0
x0,y0
存在偏导数，且在
P0取得极值，则有
fx xo,y0
0，fy
xo,y0 0
反之，若函数 f在点P0满足上式，则称点P0为f的稳定点.
需要说明的是与一元函数的情形相同， 函数的偏导数不存在的点上也有可能取得
极值,如函数
f（x,y）
x2 y2
在原点无偏导数,但在原点取得极小值.
2.2极值充分条件
设函数z
f（x,
y）在点
（x0,y0）的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导
数 , 又 令
f'x（x0,y0） 0 ,
f'y（x0,y0） 0 令
f''xx（x0,y0） A ,
f''xy（x0,y0）
如下:
B, f''yy
（x0,y0）
C, 则
f（x,y）在（x0,y0）处是否取得极值的条件
（1）D
0，A
0时, f在
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