函数极值的求法 毕业论文.docx

1、系专别:业:数学系数学教育班级:10级（ 2）班学号:131002055姓名:郭玉兰毕业论文题目:函数极值的求法指导老师 :连玉平2013年 4 月 4日目录1. 一元函数极值的求法21.1 费马定理21.2 稳定点21.3 极值的第一充分条件21.4 极值的第二充分条件21.5 极值的第三充分条件31.6 求一元函数极值的步骤32. 二元函数极值的求法52.1 极值必要条件62.2 极值充分条件42.3 求二元函数极值的基本方法43. 多元函数极值的求法83.1 普通极值问题93.2条件极值问题.113.3求条件极值的步骤13参考文献15致谢16函数极值的求法摘 要： 这篇论文主要讨论了函数

2、的极值问题，包括一元函数极值，二元函数极值，多元函数极值，以及条件极值拉格朗日方法等. 本文以定理的形式给出了一元函数、二元函数，以及多元函数的求解方法. 同时也给出了求多元函数条件极值的拉格朗日乘数法.关键词：极值、极值点、稳定点、拉格朗日Abstract: this paper discusses the issue of extreme value of function, including the extreme value of a function, binary functions extremism, extreme value of function of many var

3、iables and Lagrangian methods for conditional extremism. This form of the theorem gives a unary function binary function and method for solving multivariate function. It is also seeking conditional extreme value of function of many variables are given Lagrange multiplier method.Tags: extreme, extrem

4、e points, a stable point, Lagrange17引言： 在生产实践、科学实验和社会生活中，经常遇到待解决“最好”、“最大”、“最省”、“最小”等问题，这类问题可归结为数学中的最大值和最小值，函数的极值和最值有一定的联系，可以为求函数的最值作一定的参考. 函数的极值不仅在实际问题中占有重要的地位，而且也是函数形态的一个重要特征，多元函数的极值问题是多元函数微分学的重要应用. 对函数极值问题求解方法的探讨有利于我们解决现实生活中的很多最优问题. 本文就函数极值的问题进行了一些探讨，总结了一些求函数极值的方法，包括一元函数、二元函数、多元 函数的极值求解方法， 深化了课本中的

5、一些定理和概念，为更好的解决现实中的最优问题提供了一些参考.1. 一元函数极值的求法函数的极值不仅在实际问题中占有重要的地位，而且也是函数性态的一个重要特征，那么对一元函数的极值问题我们该怎样解决呢？定义：设函数fxfx0，则 fx0是函数 fx的一个极小值，极大值与极小值统称为极值。在x0 附近有定义，如果对x0 附近的所有的点， 都有fxfx0，则 fx0是函数 fx的一个极大值。如果附近所有的点，都有fxfx0，则 fx0是函数 fx 的一个极小值，极大值与极小值统称为极值。若函数 f 在点x0 处可导，且x0 为 f 的极值点，则fx00 . 这就是说可导函数在点取极值的必要条件是fx

6、00.1.1 费马定理设函数 f 在点则必有x0 的某邻域内有定义，且在点fx00x0 可导. 若点 x0 为 f 的极值点，1.2 稳定点我们称满足方程fx0 的点为稳定点 . 对于函数fxx3 ，点 x0 是稳定点，但却不是极值点 .o1.3 极值的第一充分条件设 f 在 点x0 连续，在某邻域 Ux0 ;内可导.i若当xx0, x0时 fx0 ，当xx0 , x0时 fx0 ，则 f 在点 x0取得极小值；ii若当xx0, x0时 fx0 ，当xx0, x0时 fx0 ，则 f 在点x0 取得极大值 .1.4 极值的第二充分条件0设 f在x的某邻 域 U ox0 ;内一 阶 可导 ， 在

7、xx0 处 二阶 可导 ， 且fx00 ， fx00i 若 fx00 ，则 f 在 x0 取得极大值； .ii 若fx00， 则 f 在x0 取得极小值 .1.5 极值的第三充分条件n设 f在x0 的某邻域内存 在直到 n1 阶导函 数， 在x0 处 n 阶可导 ， 且knfx00k1,2n1 ， fx00 ，则i 当 n 为偶数时， f在nfx00 时取极小值； .x0 取得 极值 ， 且当 fx00 时取极大值，ii 当n 为奇数时， f 在 x0 处不取极值 .1.6 求一元函数极值的步骤1. 求函数 fx 的导数；2. 令 fx0 ，解出稳定点x1, x2xn ；3. 判断 xii1,

8、2n 两侧的符号，找出局部极值点；4. 根据极值的第二充分条件进行判断；325. 根据极值的第三充分条件进行判断.522x35x3在,上连续，且当x0 时有例 1求 fx2 x5x的极值点和极值解fx2x53 x210210110 x1fxx 3x 33333 x易见， x1 为 f 的稳定点， x0 为 f 的不可导点 . 这两点是否是极值点，需作进一步的讨论 .x,000,111,y不存在0y递增0递减3递增由上表可以看出：点x0 为 f 的极大值点，极大值f00； x1 为 f 的极小值点，极小值f13 .例2求函数解由fx2 x21xfx的极值2 x21x222 1x2x 2x2 1x

9、得fx得稳定点为 x2201x21x21 或 x14 x 1x28x 1x2312x4x又fxfx331x21x2于是f110f110故1是 fx 的极大值点，极大值f11 ，1是 fx的极小值点，极小值f11.例 3试求函数解由于2fxx1x31的极值3fx2x1x1223x1x12x212x13 x21x215 x24 x12x1x015 x1得x1,1,15fx2x1x15x12x15x15x21x1x125x26 xxx120x815x24x15x21则 f10，故1不是 fx 的极值点； f1240 ，故 x1 是 fx 的极小值点； f1240 ，故 x5251 是 fx 的极大值

10、点 .5所以极小值f10 ，极大值 f13456 .531252. 二元函数极值的求法以上我们用导数的方法分析解决了一元函数极值的问题，那么对二元函数极值的问题我们又该怎样解决呢？定义：设 函 数 f在 点 P0x0 , y0的 某 邻 域UP0内 有 定 义 . 若 对 于 任 何 点P x, yUP0，成立不等式fPfP0（或 fPfP0）则称函数 f 在点P0 取得极大（或极小）值，点P0 称为 f 的极大（或极小）值点. 极大值和极小值统称为极值. 极大值点和极小值点统称为极值点.2.1 极值必要条件若函数 f 在点 P0x0 , y0存在偏导数，且在P0 取得极值，则有f xxo ,

11、 y00 ， f yxo , y00反之，若函数f 在点 P0 满足上式，则称点 P0 为 f 的稳定点 .需要说明的是与一元函数的情形相同，函数的偏导数不存在的点上也有可能取得极值, 如函数f (x, y)x2y2在原点无偏导数 , 但在原点取得极小值 .2.2 极值充分条件设函数 zf (x,y) 在点(x0 , y0 ) 的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数,又令f x ( x0 , y0 )0,f y ( x0 , y0 )0令f xx ( x0 , y0 )A,f xy ( x0 , y0 )如下:B ,f yy( x0 , y0 )C ,则f (x, y) 在( x0 , y0 ) 处是否取得极值的条件（1） D0 ， A0 时,f 在