三角恒等变换Word文档格式.doc

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[解]　

（1）原式＝－sin10°

（－）

＝－sin10°

·

＝－2cos10°

＝＝

＝＝＝.

）＝sin50°

（1＋tan60°

tan10°

）

＝sin50°

＝＝1.

[方法技巧]

给角求值问题的解题规律

解决给角求值问题的关键是两种变换：

一是角的变换，注意各角之间是否具有和差关系、互补（余）关系、倍半关系，从而选择相应公式进行转化，把非特殊角的三角函数相约或相消，从而转化为特殊角的三角函数；

二是结构变换，在熟悉各种公式的结构特点、符号特征的基础上，结合所求式子的特点合理地进行变形．

突破点

（二）　三角函数的条件求值

给值求值问题

[例1]　（2017·

合肥模拟）已知cos·

cos＝－，α∈.

（1）求sin2α的值；

（2）求tanα－的值．

[解]　

（1）∵cos·

cos＝cos·

sin＝sin＝－，

∴sin＝－.∵α∈，∴2α＋∈，∴cos＝－，

∴sin2α＝sin＝sincos－cossin＝.

（2）∵α∈，∴2α∈，又由

（1）知sin2α＝，∴cos2α＝－.

∴tanα－＝－＝＝＝－2×

＝2.

给值求值问题的求解思路

（1）先化简所求式子；

（2）观察已知条件与所求式子之间的联系（从三角函数名及角入手）；

（3）将已知条件代入所求式子，化简求值．

给值求角问题

[例2]　

（1）设α，β为钝角，且sinα＝，cosβ＝－，则α＋β的值为（　　）

A.B.C.D.或

（2）已知α，β∈（0，π），且tan（α－β）＝，tanβ＝－，则2α－β的值为________．

[解析]　

（1）∵α，β为钝角，sinα＝，cosβ＝－，∴cosα＝，sinβ＝，

∴cos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβ＝>

0.又α＋β∈（π，2π），∴α＋β∈，∴α＋β＝.

（2）∵tanα＝tan[（α－β）＋β]＝＝＝>

0，∴0<

α<

.又∵tan2α＝＝＝>

2α<

，∴tan（2α－β）＝＝＝1.∵tanβ＝－<

0，∴<

β<

π，∴－π<

2α－β<

0，∴2α－β＝－.

给值求角时选取函数的原则和解题步骤

（1）通过先求角的某个三角函数值来求角，在选取函数时，遵照以下原则：

①已知正切函数值，选正切函数；

②已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数．若角的范围是，选正、余弦函数皆可；

若角的范围是（0，π），选余弦函数较好；

若角的范围为，选正弦函数较好．

（2）解给值求角问题的一般步骤：

①求角的某一个三角函数值；

②确定角的范围；

③根据角的范围写出所求的角的大小．　

突破点（三）　三角恒等变换的综合问题

利用三角恒等变换将三角函数化简后研究图象及性质是高考的热点．在高考中以解答题的形式出现，考查三角函数的值域、最值、单调性、周期、奇偶性、对称性等问题.

三角恒等变换与三角函数性质的综合问题

[典例1]　已知向量m＝（sinx,1），n＝（Acosx，cos2x）（A>

0），函数f（x）＝m·

n的最大值为6.

（1）求A；

（2）将函数y＝f（x）的图象向左平移个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数y＝g（x）的图象，求g（x）在上的值域．

[解]　

（1）f（x）＝m·

n＝Asinxcosx＋cos2x＝A＝Asin.因为A>

0，A＝6.

（2）由

（1）知f（x）＝6sin.将函数y＝f（x）的图象向左平移个单位后得到y＝6sin＝6sin的图象；

再将得到图象上各点横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到y＝6sin的图象．因此g（x）＝6sin.因为x∈，所以4x＋∈，故g（x）的值域为[－3,6]．

[典例2]已知函数f（x）＝2cos2ωx－1＋2sinωxcosωx（0<

ω<

1），直线x＝是函数f（x）的图象的一条对称轴．

（1）求函数f（x）的单调递增区间；

（2）已知函数y＝g（x）的图象是由y＝f（x）的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，然后再向左平移个单位长度得到的，若g＝，α∈，求sinα的值．

解：

（1）f（x）＝cos2ωx＋sin2ωx＝2sin，由于直线x＝是函数f（x）＝2sin的图象的一条对称轴，所以sin＝±

1，因此ω＋＝kπ＋（k∈Z），解得ω＝k＋（k∈Z），又0<

1，所以ω＝，所以f（x）＝2sin.由2kπ－≤x＋≤2kπ＋（k∈Z），得2kπ－≤x≤2kπ＋（k∈Z），

所以函数f（x）的单调递增区间为[2kπ－，2kπ＋]（k∈Z）．

（2）由题意可得g（x）＝2sin，即g（x）＝2cos，由g＝2cos＝2cos＝，得cos＝，又α∈，故<

α＋<

，所以sin＝，

所以sinα＝sin＝sin·

cos－cos·

sin＝×

－×

＝.

三角恒等变换在三角函数图象和性质中的应用

（1）图象变换问题：

先根据和角公式、倍角公式把函数表达式变为正弦型函数y＝Asin（ωx＋φ）＋t或余弦型函数y＝Acos（ωx＋φ）＋t的形式，再进行图象变换．

（2）函数性质问题：

求函数周期、最值、单调区间的方法步骤：

①利用三角恒等变换及辅助角公式把三角函数关系式化成y＝Asin（ωx＋φ）＋t或y＝Acos（ωx＋φ）＋t的形式；

②利用公式T＝（ω>

0）求周期；

③根据自变量的范围确定ωx＋φ的范围，根据相应的正弦曲线或余弦曲线求值域或最值，另外求最值时，根据所给关系式的特点，也可换元转化为求二次函数的最值；

④根据正、余弦函数的单调区间列不等式求函数y＝Asin（ωx＋φ）＋t或y＝Acos（ωx＋φ）＋t的单调区间．　

[全国卷5年真题集中演练明规律]

1.（2016·

全国甲卷）函数f（x）＝cos2x＋6cos的最大值为（　　）A．4 B．5C．6 D．7

解析：

选B　∵f（x）＝cos2x＋6cos＝cos2x＋6sinx＝1－2sin2x＋6sinx＝－22＋，

又sinx∈[－1,1]，∴当sinx＝1时，f（x）取得最大值5.故选B.

2．（2015·

新课标全国卷Ⅰ）sin20°

cos10°

－cos160°

sin10°

＝（　　）A．－B.C．－D.

选D　sin20°

＝sin20°

＋cos20°

＝sin（20°

＋10°

）＝sin30°

＝，故选D.

3．（2014·

新课标全国卷Ⅰ）设α∈，β∈，且tanα＝，则（　　）

A．3α－β＝ B．2α－β＝C．3α＋β＝ D．2α＋β＝

选B　由条件得＝，即sinαcosβ＝cosα（1＋sinβ），sin（α－β）＝cosα＝sin，

因为－<

α－β<

，0<

－α<

，所以α－β＝－α，所以2α－β＝.

4．（2013·

新课标全国卷Ⅱ）已知sin2α＝，则cos2＝（　　）A.B.C.D.

选A　cos2＝＝（1－sin2α）＝.

5．（2013·

新课标全国卷Ⅱ）设θ为第二象限角，若tan＝，则sinθ＋cosθ＝________.

将tan＝利用两角和的正切公式展开，则＝，求得tanθ＝－.又因为θ在第二象限，则sinθ＝，cosθ＝－，从而sinθ＋cosθ＝－＝－.答案：

－

[检验高考能力]

一、选择题

1．已知sin2α＝，则cos2＝（　　）A．－ B.C．－ D.

选D　依题意得cos2＝cosαcos＋sinαsin2＝（cosα＋sinα）2＝（1＋sin2α）＝.

2．已知cos＝－，则cosx＋cos＝（　　）A．－ B．±

C．－1D．±

1

选C　∵cos＝－，∴cosx＋cosx－＝cosx＋cosxcos＋sinxsin＝cosx＋sinx＝＝cos＝×

＝－1.

3．若tanα＝2tan，则＝（　　）A．1B．2C．3 D．4

选C　＝＝＝＝

＝＝＝3，故选C.

4．已知sin＝，cos2α＝，则sinα＝（　　）A. B．－C. D．－

选C　由sin＝得sinα－cosα＝，　①

由cos2α＝得cos2α－sin2α＝，所以（cosα－sinα）·

（cosα＋sinα）＝，　②

由①②可得cosα＋sinα＝－，　③由①③可得sinα＝.

5．在斜三角形ABC中，sinA＝－cosB·

cosC，且tanB·

tanC＝1－，则角A的值为（　　）

A.B.C.D.

选A　由题意知，sinA＝－cosB·

cosC＝sin（B＋C）＝sinB·

cosC＋cosB·

sinC，

在等式－cosB·

cosC＝sinB·

sinC两边同除以cosB·

cosC得tanB＋tanC＝－，

又tanB·

tanC＝1－，

所以tan（B＋C）＝＝－1.由已知，有tanA＝－tan（B＋C），则tanA＝1，所以A＝.

6．已知锐角α，β满足sinα－cosα＝，tanα＋tanβ＋·

tanαtanβ＝，则α，β的大小关系是（　　）

A．α<

<

βB．β<

αC.<

β D.<

α

选B　∵α为锐角，sinα－cosα＝，∴α>

.又tanα＋tanβ＋tanαtanβ＝，

∴tan（α＋β）＝＝，∴α＋β＝，又α>

，∴β<

α.

二、填空题

7．函数f（x）＝sin－2sin2x的最小正周期是________．

∵f（x）＝sin2x－cos2x－（1－cos2x）＝sin2x＋cos2x－＝sin－，∴f（x）的最小正周期T＝＝π.答案：

π

8．已知cos4α－sin4α＝，且α∈，则cos＝________.

∵α∈，cos4α－sin4α＝（sin2α＋cos2α）（cos2α－sin2α）＝cos2α＝>

0，∴2α∈，∴sin2α＝＝，∴cos＝cos2α－sin2α＝×

＝.答案：

9．已知tanα，tanβ是方程x2＋3x＋4＝0的两根，且α，β∈，则α＋β＝________.

由题意得tanα＋tanβ＝－3<

0，tanα·

tanβ＝4>

0，∴tan（α＋β）＝＝，且tanα<

0，tanβ<

0，又α，β∈，故α，β∈，∴α＋β∈（－π，0），∴α＋β＝－.答案：

10．若0<

，－<

0，cos＝，cos＝，则cos＝________.

∵0<

＋α<

，<

－<

，∴sin＝＝，sin＝＝，∴cos＝cos＋α－－＝coscos＋sin＋αsin＝.答案：

三、解答题

11．已知函数