高中数学新学案同步 必修2 人教A版 全国通用版 第三章 直线与方程章末复习.docx

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高中数学新学案同步必修2人教A版全国通用版第三章直线与方程章末复习

章末复习

学习目标　1.整合知识结构，梳理知识网络，进一步巩固、深化所学知识.2.培养综合运用知识解决问题的能力，能灵活选择直线方程的形式并熟练运用待定系数法求解，渗透数形结合、分类讨论的数学思想.

1.直线的倾斜角与斜率

（1）直线的倾斜角α的取值范围是0°≤α<180°.

（2）k＝

（3）斜率的求法

①依据倾斜角；②依据直线方程；③依据两点的坐标.

2.直线方程的几种形式的转化

3.两条直线的位置关系

设l1：

A1x＋B1y＋C1＝0，l2：

A2x＋B2y＋C2＝0，则

（1）平行⇔A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0；

（2）相交⇔A1B2－A2B1≠0；

（3）重合⇔A1＝λA2，B1＝λB2，C1＝λC2（λ≠0）或＝＝（A2B2C2≠0）.

4.距离公式

（1）两点间的距离公式

已知点P1（x1，y1），P2（x2，y2），

则|P1P2|＝.

（2）点到直线的距离公式

①点P（x0，y0）到直线l：

Ax＋By＋C＝0的距离d＝；

②两平行直线l1：

Ax＋By＋C1＝0与l2：

Ax＋By＋C2＝0的距离d＝.

类型一　待定系数法的应用

例1　直线l被两条直线l1：

4x＋y＋3＝0和l2：

3x－5y－5＝0截得的线段的中点为P（－1,2），求直线l的方程.

考点　待定系数法的应用

题点　待定系数法求直线方程

解　方法一　设直线l与l1的交点为A（x0，y0），由已知条件，得直线l与l2的交点为B（－2－x0,4－y0），

并且满足

即

解得所以A（－2,5）.

因此直线l的方程为＝，

即3x＋y＋1＝0.

方法二　由题意知，直线l的斜率显然存在，设直线l的方程为y－2＝k（x＋1），

即kx－y＋k＋2＝0.

由

得x＝.

由

得x＝.

则＋＝－2，

解得k＝－3.

因此所求直线方程为y－2＝－3（x＋1），

即3x＋y＋1＝0.

方法三　两直线l1和l2的方程为

（4x＋y＋3）（3x－5y－5）＝0，①

将上述方程中（x，y）换成（－2－x,4－y），

整理可得l1与l2关于（－1,2）对称图形的方程为

（4x＋y＋1）（3x－5y＋31）＝0.②

①－②整理得3x＋y＋1＝0，即为所求直线方程.

反思与感悟　待定系数法，就是所研究的式子（方程）的结构是确定的，但它的全部或部分系数是待定的，然后根据题中条件来确定这些系数的方法.直线的方程常用待定系数法求解.选择合适的直线方程的形式是很重要的，一般情况下，与截距有关的，可设直线的斜截式方程或截距式方程；与斜率有关的，可设直线的斜截式或点斜式方程等.

跟踪训练1　过点P（6,8）作两条互相垂直的射线PA，PB，分别交x轴，y轴正方向于点A，B.若S△AOB＝S△APB，求PA与PB所在直线的方程.

考点　待定系数的应用

题点　待定系数法求直线方程

解　设A（a,0），B（0，b）（a>0，b>0），

则直线AB的方程为＋＝1，

即bx＋ay－ab＝0.

因为S△AOB＝S△APB，

所以O，P两点到直线AB的距离相等，

由点到直线的距离公式得＝，

解得ab＝4a＋3b①或4a＋3b＝0（与a>0，b>0矛盾，舍去）.

由PA⊥PB，得·＝－1，即3a＋4b＝50②，

联立①②，解得或所以直线PA：

x＝6，直线PB：

y＝8或直线PA：

24x＋7y－200＝0，直线PB：

7x－24y＋150＝0.

类型二　分类讨论思想的应用

例2　过点P（－1,0），Q（0,2）分别作两条互相平行的直线，使它们在x轴上截距之差的绝对值为1，求这两条直线的方程.

考点　分类讨论思想的应用

题点　分类讨论思想的应用

解　当两条直线的斜率不存在时，两条直线的方程分别为x＝－1，x＝0，它们在x轴上截距之差的绝对值为1，符合题意.

当直线的斜率存在时，设其斜率为k，则两条直线的方程分别为y＝k（x＋1），y－2＝kx.

令y＝0，得x＝－1与x＝－.

由题意得＝1，即k＝1.

∴两条直线的方程分别为y＝x＋1，y＝x＋2，

即x－y＋1＝0，x－y＋2＝0.

综上可知，所求的两条直线的方程分别为x＝－1，x＝0或x－y＋1＝0，x－y＋2＝0.

反思与感悟　本章涉及直线方程的形式时，常遇到斜率的存在性问题的讨论，如两直线平行（或垂直）时，斜率是否存在；已知直线过定点时，选择点斜式方程，要考虑斜率是否存在.

跟踪训练2　求在两坐标轴上截距相等，且到点A（3,1）的距离为的直线的方程.

考点　分类讨论思想的应用

题点　分类讨论思想的应用

解　当直线过原点时，设直线的方程为y＝kx，

即kx－y＝0.

由题意知＝，

解得k＝1或k＝－.

所以所求直线的方程为x－y＝0或x＋7y＝0.

当直线不经过原点时，

设所求直线的方程为＋＝1，

即x＋y－a＝0.

由题意知＝，

解得a＝2或a＝6.

所以所求直线的方程为x＋y－2＝0或x＋y－6＝0.

综上可知，所求直线的方程为x－y＝0或x＋7y＝0或x＋y－2＝0或x＋y－6＝0.

类型三　最值问题

例3　在直线y＝x＋2上求一点P，使得点P到直线l1：

3x－4y＋8＝0和直线l2：

3x－y－1＝0的距离的平方和最小.

考点　点到直线的距离

题点　与点到直线的距离有关的最值问题

解　设P（x0，x0＋2），

设点P到直线l1的距离为d1，

点P到直线l2的距离为d2，

令y＝d＋d＝2＋2，

整理得y＝，

∴当x0＝＝时，y最小，

此时y0＝x0＋2＝，

∴P.

反思与感悟　将几何问题转化为函数求最值，是一种常用的求最值的方法.

跟踪训练3　在平面直角坐标系中，动点P到两条直线3x－y＝0与x＋3y＝0的距离之和等于2，则点P到坐标原点的距离的最小值为________.

考点　两点间的距离公式

题点　两点间距离公式的综合应用

答案　

解析　∵3x－y＝0与x＋3y＝0互相垂直，且交点为原点，

∴设P到直线的距离分别为a，b，则a≥0，b≥0，

则a＋b＝2，即b＝2－a≥0，

得0≤a≤2.

由勾股定理可知，|OP|＝＝＝，

∵0≤a≤2，

∴当a＝1时，OP的距离最小为.

例4　已知直线l：

x－2y＋8＝0和两点A（2,0），B（－2，－4）.

（1）在直线l上求一点P，使|PA|＋|PB|最小；

（2）在直线l上求一点P，使||PB|－|PA||最大.

考点　对称问题的求法

题点　关于对称的综合应用

解　

（1）设A关于直线l的对称点为A′（m，n），

则

解得故A′（－2,8）.

因为P为直线l上的一点，

则|PA|＋|PB|＝|PA′|＋|PB|≥|A′B|，

当且仅当B，P，A′三点共线时，|PA|＋|PB|取得最小值，为|A′B|，点P即是直线A′B与直线l的交点，

解得

故所求的点P的坐标为（－2,3）.

（2）A，B两点在直线l的同侧，P是直线l上的一点，

则||PB|－|PA||≤|AB|，

当且仅当A，B，P三点共线时，||PB|－|PA||取得最大值，为|AB|，点P即是直线AB与直线l的交点，又直线AB的方程为y＝x－2，

解得

故所求的点P的坐标为（12,10）.

反思与感悟　

（1）在直线l上求一点P，使|PA|＋|PB|取得最小值时，若点A，B在直线l的同侧，则作点A（或点B）关于l的对称点A′（或点B′），连接A′B（或AB′）交l于点P，则点P即为所求；若点A，B位于直线l的异侧，直接连接AB交l于点P，则点P即为所求.可简记为“同侧对称异侧连.”

（2）在直线l上求一点P，使||PA|－|PB||取得最大值时，方法与

（1）恰好相反，即“异侧对称同侧连”.

跟踪训练4　已知定点A（3,1），动点M和点N分别在直线y＝x和y＝0上运动，则△AMN的周长取最小值时点M的坐标为________.

考点　对称问题的求法

题点　关于对称的综合应用

答案　

解析　如图所示，分别作出点A关于直线y＝x与x轴的对称点A1（1,3），A2（3，－1）.

连接A1A2与直线y＝x相交于点M，与x轴相交于点N，则满足条件.

直线A1A2的方程为y－3＝（x－1），

化为2x＋y－5＝0，

联立解得x＝y＝.

∴M.

1.若方程（6a2－a－2）x＋（3a2－5a＋2）y＋a－1＝0表示平行于x轴的直线，则a的值是（　　）

A.B.

C.，－D.－

考点　直线的一般式方程与直线的平行关系

题点　根据平行求参数的值

答案　D

解析　因为平行于x轴的直线的斜率为零，所以由直线的一般式方程Ax＋By＋C＝0（A2＋B2≠0）得k＝－＝0⇒A＝0，B≠0，即解得a＝－.本题易错在忽视B≠0这一条件而导致多解.

2.已知直线l不经过第三象限，若其斜率为k，在y轴上的截距为b（b≠0），则（　　）

A.kb<0B.k≤0，b>0

C.k<0，b>0D.kb≥0

考点　直线的斜截式方程

题点　直线斜截式方程的应用

答案　B

解析　由题意得直线l的方程为y＝kx＋b（b≠0），

∵直线l不经过第三象限，

∴k≤0，b>0.

3.和直线3x－4y＋5＝0关于x轴对称的直线方程为（　　）

A.3x＋4y＋5＝0B.3x＋4y－5＝0

C.－3x＋4y－5＝0D.－3x＋4y＋5＝0

考点　对称问题的求法

题点　直线关于直线的对称问题

答案　A

解析　设所求直线上任意一点（x，y），

则此点关于x轴对称的点的坐标为（x，－y），

因为点（x，－y）在直线3x－4y＋5＝0上，

所以3x＋4y＋5＝0.

4.已知直线kx－y＋1－k＝0恒过定点A，且点A在直线mx＋ny－1＝0（m>0，n>0）上，则mn的最大值为（　　）

A.B.

C.2D.4

考点　恒过定点的直线

题点　恒过定点的直线的应用

答案　B

解析　直线kx－y＋1－k＝0，

可化为k（x－1）＋1－y＝0，

可知A（1,1），

∴m＋n＝1，即n＝1－m.

∴mn＝m（1－m）＝－m2＋m＝－2＋，

即当m＝时，mn取得最大值.

5.在平面直角坐标系中，已知△ABC的顶点A（0,1），B（3,2）.

（1）若C点坐标为（1,0），求AB边上的高所在的直线方程；

（2）若点M（1,1）为边AC的中点，求边BC所在的直线方程.

考点　中点坐标公式

题点　与中线有关的问题

解　

（1）∵A（0,1），B（3,2），

∴kAB＝＝，

由垂直关系可得AB边上的高所在的直线的斜率k＝－3，

∴AB边上的高所在直线方程为y－0＝－3（x－1），

化为一般式可得3x＋y－3＝0.

（2）∵M为AC的中点，

∴C（2,1），

∴kBC＝＝1，

∴BC所在直线方程为y－1＝x－2，

化为一般式可得x－y－1＝0.

1.一般地，与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线方程可设为Ax＋By＋m＝0（m≠C）；与之垂直的直线方程可设为Bx－Ay＋n＝0.

2.过直线l1：

A1x＋B1y＋C1＝0与l2：

A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ（A2x＋B2y＋C2）＝0（λ∈R），但不包括l2.

3.点到直线与两平行线间的距离的使用条件

（1）求点到直线的距离时，应先化直线方程为一般式.

（2）求两平行线之间的距离时，应先将方程化为一般式且x，y的系数对应相等.

一.选择题

1.已知直线PQ的斜率为－，则将直线绕点P沿顺时针方向旋转60°所得的直线的斜率是（　　）

A.－B.0C.D.

考点　直线的斜率

题点　由斜率公式计算斜率

答