数值分析习题Word格式.docx
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（计算方法的比较选择）
第二章插值法
牛顿插值和埃尔米特插值构造，插
拉格朗日插值法的构造，均差的计算，值余项的计算和应用。
1已知f
（1）2,f
（1）1,f
（2）1，求f（x）的拉氏插值多项式。
（拉格朗日插值）
2已知yx,x04,x19，用线性插值求7的近似值。
（拉格朗日线性插值）
3若xj（j0,1,...n）为互异节点，且有
n
试证明xkjlj（x）xk（k0,1,...n）。
（拉格朗日插值基函数的性质）
j0
4已知sin0.320.314567,sin0.340.333487,sin0.360.352274，用抛物线插值计算sin0.3367的值并估计截断误差。
（拉格朗日二次插值）
5用余弦函数cosx在x00，x1，x2三个节点处的值，写出二次拉格朗日插值
42
多项式,并近似计算cos及其绝对误差与相对误差，且与误差余项估计值比较。
（拉格朗6
日二次插值）
6已知函数值f（0）6,f
（1）10,f（3）46,f（4）82,f（6）212，求函数的四阶均差
f[0,1,3,4,6]和二阶均差f[4,1,3]。
（均差的计算）
7设f（x）（xx0）（xx1）（xxn）求f[x0,x1xp]之值，其中pn1，而节点
xi（i0,1,n1）互异。
8如下函数值表
x
2
4
f（x）
9
23
3
建立不超过三次的牛顿插值多项式。
（牛顿插值多项式的构造）
9求一个次数小于等于三次多项式p（x），满足如下插值条件：
p
（1）2，p
（2）4，
p
（2）3，p（3）12。
（插值多项式的构造）
10构造一个三次多项式H（x），使它满足条件H（0）1,H
（1）0,H
（2）1,H
（1）1（埃尔米特插值）。
11设f（x）x2,x01/4,x11,x29/4。
（1）试求f（x）在1/4,9/4上的三次埃尔米特插值多项式H（x），使得H（xj）f（xj）,j0,1,2,H（x1）f（x1），H（x）以升幂形式给出。
（2）写出余项R（x）f（x）H（x）的表达式。
（埃尔米特插值及其余项的计算）。
12若f（x）c2[a,b],f（a）f（b）0，试证明：
12
max|f（x）|ba2max|f（x）|（插值余项的应用）axb8axb
13设f
（2）1,f（0）1,f
（2）2,求p（x）使p（xi）f（xi）（i0,1,2）；
又设|f（x）|M，则估计余项r（x）f（x）p（x）的大小。
（插值误差的估计）
第三章函数逼近
最小二乘法，最佳平方逼近，正交多项式的构造。
1设f（x）sinx，求f（x）于［0,1］上的线性最佳平方逼近多项式。
（最佳平方逼近）
2令f（x）ex,1x1，且设p（x）a0a1x,求a0,a1使得p（x）为f（x）于［1,1］上的最佳平方逼近多项式。
3证明：
切比雪夫多项式序列
Tk（x）cos（karccosx）
在区间1,1上带权（x）1正交。
（正交多项式的证明）
1x2
x1x23
4求矛盾方程组：
x12x24的最小二乘解。
（最小二乘法）
x1x22
5已知一组试验数据
xk
2.5
5
5.5
yk
4.5
6
8
8.5
试用直线拟合这组数据.（计算过程保留3位小数）。
（最小二乘线性逼近）
6用最小二乘原理求一个形如yabx2的经验公式,使与下列数据相拟合。
19
25
31
38
44
32.3
49
73.3
97.8
最小二乘二次逼近）
第四章数值积分
代数精度的计算，构造插值型求积公式（梯形，辛甫生公式），复化求积的计算，高斯公式的构造。
h
1给定求积公式f（x）dxaf（h）bf（0）cf（h）试确定a,b,c使它的代数精度尽可能h
高。
（代数精度的应用和计算）
2求积公式f（x）dxA0f（0）A1f
（1）B0f（0），试确定系数A0,A1及B0，使该求积公式具有尽可能高的代数精确度，并给出代数精确度的次数。
3[f
（1）f
（2）]，是否为插值型求积公式，为什么？
又该公式
的代数精确度为多少？
（插值型求积公式特征）
b
4如果f（x）0，证明用梯形公式计算积分f（x）dx所得到的结果比准确值大，并说明其
a
几何意义。
（梯形求积）
6设f
（1）1,f（0.5）4,f（0）6,f（0.5）9,f
（1）2,则用复化辛甫生公式计算
f（x）dx，若有常数M使|f（4）|M，则估计复化辛甫生公式的整体截断误差限。
（复化辛甫生公式）
7已知高斯求积公式f（x）dxf（0.57735）f（0.57735）将区间[0,1]二等分，用复
化高斯求积法求定积分xdx的近似值。
（高斯公式）
8试确定常数A，B，C和a，使得数值积分公式f（x）dxAf（a）Bf（0）Cf（a）有尽
可能高的代数精度。
试问所得的数值积分公式代数精度是多少？
它是否为高斯型的？
（代数精度的应用和计算，高斯点的特征）
9设Pn（x）是[0,1]区间上带权（x）x的最高次幂项系数为1的正交多项式系
（1）求P2（x）。
（2）构造如下的高斯型求积公式xf（x）dxA0f（x0）A1f（x1）。
（高斯求积）
第五章线性方程组的直接解法
，求cond（A）2（条件数的计算）
的计算）
化为（AA）（xx）b，其中x为解的误差向量，试证明：
中1和n分别为A的按模最大和最小的特征值。
（范数的性质，误差的分析）
10证明：
若A（aij）nn为严格对角占优矩阵，则A非奇异。
（严格对角占优矩阵的性质）
第六章线性方程组的迭代解法
雅可比、高斯-塞德尔迭代法解线性方程组，及其收敛性讨论。
a11a22
3用雅可比、高斯-塞德尔迭代法，求解方程组
x12x23
3x12x24
是否收敛？
为什么？
若将方程组改变成为
-塞德尔迭代法的收敛性）
再用上述两种迭代法求解是否收敛？
（雅可比、高斯
4证明解线性方程组Axb的雅可比迭代收敛，其中
410
A121。
（雅可比迭代收敛
011
性判断）
5已知方程组Axb，其中A12
0.31
（1）试讨论用雅可比迭代法和高斯-塞德尔迭代法求解此方程组的收敛性。
（2）若有迭代公式x（k1）x（k）（Ax（k）b），试确定的取值范围，使该迭代公式收敛。
（雅可比迭代法、高斯-塞德尔迭代法和一般迭代法的收敛性讨论）
1a
6给出矩阵A，（为实数），试分别求出的取值范围：
2a1
（1）使得用雅可比迭代法解方程组Axb时收敛；
（2）使得用高斯-塞德尔迭代法解方程组Axb时收敛。
（雅可比、高斯-塞德尔迭代法及收敛性讨论）
（1）设x（k）是由雅可比迭代求解方程组Axb所产生的迭代向量，且x（0）（1,1）T，试写
出计算x的精确表达式。
（2）设x*是Axb的精确解，写出误差x（k）x*的精确表达式。
（3）如构造如下的迭代公式x（k1）x（k）（Ax（k）b）解方程组Axb，试确定的范围，使迭代收敛。
（雅可比迭代及其收敛判断）
x12x22x31
8对于给定的线性方程组x1x2x32
2x12x2x33
（1）讨论雅可比迭代法与高斯-塞德尔迭代法的收敛性。
（2）对收敛的方法，取初值x（0）（1,0,0）T，迭代两次，求出x
（1）,x
（2）,x（3）。
（雅可比,高斯-塞德尔迭代法的计算和比较）
9证明对称矩阵
A1
才收敛。
（雅可比迭代法的收敛性）
第七章非线性方程求根
二分法、迭代法、牛顿法和弦截法求根，迭代法求根的收敛性和收敛速度的讨论。
1用二分法求方程x2x10的正根，要求误差小于0.05。
（二分法）
2**
2说明方程x2lnx40在区间[1，2]内有惟一根x*，并选用适当的迭代法求x*（精确至3位有效数），并说明所用的迭代格式是收敛的。
（迭代法）
3设有解方程123x2cosx0的迭代法xn14cosxn
（1）证明x0R均有
limxnx*（x*为方程的根）。
（2）此迭代法的收敛阶是多少，证明你的结论。
（3）取x04n
用此迭代法求方程根的近似值，误差不超过103，列出各次迭代值。
（和收敛性讨论）
4设x（x），max（x）1，试证明：
由xn1（xn）n0,1,，得到的序
列xn收敛于x。
（收敛性证明）
*2
5设方程33x2sinx0在[0,1]内的根为x*，若采用迭代公式xn11sinxn，试
证明：
x0R均有limxnx*（x*为方程的根）；
此迭代的收敛阶是多少，证明你的结论。
（迭代法和收敛性讨论）
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