最新2762动态经济学02汇总Word格式文档下载.docx

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或«

（10.18）

两边依次对«

积分，得到

左边＝«

（假定«

）

右边＝«

后一个方程难以进行进一步的积分，因为«

未给出具体形式。

因此，我们不得不满足于一个一般积分表达式。

当方程两边相等时，结果成为：

则所求的«

的路径可以通过求«

的反对数得到：

«

在此«

（10.19）

这是微分方程（10.18）的通解。

为突出系数«

的可变性质，我们已明确地写出了变量«

。

但为了简化书写符号，我们从现在起省略自变量，并将«

简化为«

将不变系数模型的通解（10.18）与（10.19）相比较，（10.19）中唯一的修正是以更复杂的表达式«

代替了«

如果我们将«

中的«

解释成«

（加上一个可纳入A项中的常数，因为«

自乘常数幂仍为常数），我们可以更好地理解这种变化的合理性。

由此看来，这种差别就变成相似性了。

因为在两种情况下，我都取微分方程中«

项的系数（在一种情况中为常数项«

，在另一种情况中为可变项«

）并将«

对«

积分，然后再取所得积分的负值作为«

的指数。

一旦得到通解，根据适当的初始条件求得定解，便是一个相对简单的事了。

例6．求方程«

这里«

，且«

因此，由（10.19），我们可以把解写成«

注意，如果省去积分常数«

，我们不会失去任何信息，因为那样我们会得到«

，它与上式的解相同，因为A和B均表示任意常数。

换言之，指数式«

总可以归入另一个常数A中。

非齐次方程的情况

对于非齐次方程的情况，其中«

，解方程就有些难度了。

我们将通过后面将要讨论的恰当微分方程概念试求其解。

但在这里先给出结果：

给定微分方程（10.17），通解为

（10.20）

其中A为如果均有恰当的初始条件，便可以确定的任意常数。

例7．求方程«

的通解。

我们有«

和«

（«

为任意常数），所以由（10.20），有

（在此«

是任意常数）

此解的正确性也可通过微分来检验。

第八节恰当微分方程

我们现在引入恰当微分方程的概念，并运用这种解法解微分方程（10.16）以得到解的公式（10.19）。

尽管我们现在的目的是解线性微分方程，但恰当微分方程本身可以是线性的，也可以是非线性的。

恰当微分方程

给定二元函数«

，其全微分为«

令此微分等于零，所得到的方程«

被称作是恰当微分方程，因为其左边恰好是«

的微分。

一般而言，微分方程

当且仅当存在一个函数«

使得«

时，便是恰当的。

然而，根据杨氏定理«

，我们还可以表明，当且仅当«

（10.21）

时，（10.20）是恰当的。

注意，我们对M和N项关于«

出现的方式并未施加任何限制。

因此，恰当微分方程完全可以是非线性的。

然而，它总是一阶和一次的方程。

作为恰当方程，微分方程只是表明

因此，其通解的形式显然为

所以，解恰当微分方程基本上是求原函数«

，并令其等于任意常数。

下面我们对方程«

，介绍求«

的方法。

解法

首先，因为«

，所以函数F必定包含M对变量«

的积分；

这样，我们可以将初步结果以未确定的形式，写出如下：

（10.22）

这里，偏导数M将仅对«

积分；

即«

在积分过程中将被视为常数，正如它在«

的偏微分从而产生«

的过程中被视为常数一样。

因为在«

偏微分过程中，任何仅含有变量«

和某些常数的相加的项会消失，因此，我们在（10.22）中引入了一个一般项«

尽管它并非恰好与积分常数相同，但它确实与积分常数发挥同样的作用。

得到«

是相对容易的，但我们如何确定«

项的确切形式呢？

诀窍在于利用«

例8．解恰当微分方程«

在此方程中，有«

第一步：

由（10.22），我们可以首先写出初步结果

第二步：

偏微分，可得

但因«

，和«

，可得«

第三步：

上述结果的积分为

则我们有了«

的具体形式。

在本例中，«

恰好是一个常数。

在更一般的情况下，它可以是«

的非常数函数。

第四步：

将第一步和第三步的结果结合起来可以得到

则恰当微分方程的解应为«

但因常数«

可以纳入«

中，我们可以简单地将解写成«

或«

为常数）

例9．解方程«

我们首先检验它是否是恰当微分方程。

令«

，«

，可求得«

因此，方程通过了恰当性检验。

为了求其解，我们仍遵循上例的步骤。

应用（10.22）并写成

将此结果对«

微分，可得

则令其等于«

，可得

将最后结果积分得到

（常数可以省略）

将第一步和第三步的结果合并，以得到«

的完备形式：

这意味着给定微分方程的解为«

这四个步骤可以用于解任何恰当微分方程。

有意思的是，甚至当给定方程不是恰当的时候，也可以应用这四个步骤。

但要看到这一点，我们必须首先引入积分因子这个概念。

积分因子

有时，将微分方程的每一项都乘以一个特定的公因子，非恰当的微分方程也可以成为恰当微分方程。

这样的因子称作积分因子。

例10．微分方程«

不是恰当的，因为它不满足（10.21）：

但是，如果将给定方程的每项均乘以«

，它便成为（10.19），从而成为恰当微分方程。

因此，«

是本例给出的微分方程的积分因子。

一阶线性微分方程的解

一般的一阶线性微分方程«

按（10.20）的形式，可以表示为

（10.23）

具有积分因子«

这个形式非常不直观的积分因子可以通过如下办法“发现”：

令I为尚属未知的积分因子。

以I通乘（10.23）可以将其变为恰当微分方程：

（10.23’）

正合性检验表明«

观察M和N的表达式可知，因为M仅由I构成，且因«

仅是«

的函数，所以，如果I也只是«

的函数，正合性检验将简化为非常简单的条件。

那时，检验变成«