一次函数与几何综合问题讲义.docx

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一次函数与几何综合问题讲义

一次函数与几何综合（讲义）

一、知识点睛

1.一次函数表达式：

y=kx+b（k，b为常数，k≠0）

①k是斜率，表示倾斜程度，可以用几何中的坡度（或坡比）来解释．坡面的竖直高度与水平宽度的比叫坡度或坡比，如图所示，AM即为__________，BM即为__________，则．

②b是截距，表示直线与y轴交点的纵坐标．

2.设直线l1：

y1=k1x+b1，直线l2：

y2=k2x+b2，其中k1，k2≠0．

①若k1=k2，且b1≠b2，则直线l1_____l2；

②若k1·k2=________，则直线l1_____l2．

3.一次函数与几何综合解题思路

从______________出发，关键点是信息汇聚点，通常是___________与___________的交点．通过____________和_________________的互相转化将___________________与________________________结合起来进行研究，最后利用______________________或__________________解决问题．

二、精讲精练

1.如图，点B，C分别在直线y=2x和y=kx上，点A，D是x轴上的两点，已知四边形ABCD是正方形，则k的值为______．

2.如图，直线l1交x轴、y轴于A，B两点，OA=m，OB=n，将△AOB绕点O逆时针旋转90°得到△COD．CD所在直线l2与直线l1交于点E，则l1____l2；若直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，则k1·k2=_______．

第2题图第3题图

3.如图，直线交x轴、y轴于A，B两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点C，交AB于点D，则点C的坐标为____________．

4.如图，在平面直角坐标系中，函数y=x的图象l是第一、三象限的角平分线．

探索：

若点A的坐标为（3，1），则它关于直线l的对称点A'的坐标为____________；

猜想：

若坐标平面内任一点P的坐标为（m，n），则它关于直线l的对称点P′的坐标为____________；

应用：

已知两点B（-2，-5），C（-1，-3），试在直线l上确定一点Q，使点Q到B，C两点的距离之和最小，则此时点Q的坐标为____________．

5.如图，已知直线l：

与x轴交于点A，与y轴交于点B，将△AOB沿直线l折叠，点O落在点C处，则直线CA的表达式为__________________．

第5题图第6题图

6.如图，四边形ABCD是一张矩形纸片，E是AB上的一点，且BE:

EA=5:

3，EC=，把△BCE沿折痕EC向上翻折，点B恰好落在AD边上的点F处．若以点A为原点，以直线AD为x轴，以直线BA为y轴建立平面直角坐标系，则直线FC的表达式为__________________．

7.如图，矩形ABCD的边AB在x轴上，AB的中点与原点O重合，AB=2，AD=1，过定点Q（0，2）和动点P（a，0）的直线与矩形ABCD的边有公共点．

（1）a的取值范围是________________；

（2）若设直线PQ为y=kx+2（k≠0），则此时k的取值范

围是________________．

8.如图，已知正方形ABCD的顶点A（1，1），B（3，1），直线y=2x+b交边AB于点E，交边CD于点F，则直线y=2x+b在y轴上的截距b的变化范围是____________．

第8题图第9题图

9.如图，已知直线l1：

与直线l2：

y=-2x+16相交于点C，直线l1，l2分别交x轴于A，B两点，矩形DEFG的顶点D，E分别在l1，l2上，顶点F，G都在x轴上，且点G与点B重合，那么S矩形DEFG:

S△ABC=_________．

10.如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为A（4，0），B（0，-4），P为y轴上B点下方一点，PB=m（m>0），以点P为直角顶点，AP为腰在第四象限内作等腰Rt△APM．

（1）求直线AB的解析式；

（2）用含m的代数式表示点M的坐标；

（3）若直线MB与x轴交于点Q，求点Q的坐标．

【参考答案】

一、知识点睛

1．①竖直高度，水平宽度

2．①∥；②-1，⊥

3．关键点，函数图象，几何图形，点的坐标，横平竖直的线段长，函数特征，几何特征，函数特征，几何特征

二、精讲精练

1．

2．⊥，-1

3．

4．（1，3）；（n，m）；

5．

6．

7．

（1）-2≤a≤2；

（2）k≥1或k≤-1

8．-3≤b≤-1

9．8:

9

10．

（1）y=x-4；

（2）M（m+4，-m-8）；（3）Q（-4，0）

一次函数与几何综合（随堂测试）

1.如图，直线AB与x轴交于点B，与y轴交于点A，已知

C（0，），D（，0），且C，D两点关于直线AB对称，则直线AB的表达式为______________．

第1题图第2题图

2.如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，将△ABO沿着AB翻折，得到△ABC，则直线AC的表达式为______________．

【参考答案】

1．

2．

一次函数与几何综合（作业）

1.如图，点B，C分别在直线y=2x和直线y=kx上，A，D是x轴上的两点，若四边形ABCD是长方形，且AB:

AD=1:

2，则k的值是__________．

第1题图第2题图

2.如图，一次函数y=-2x+4的图象与坐标轴分别交于A，B两点，把线段AB绕着点A沿逆时针方向旋转90°，点B落在点B′处，则直线AB′的表达式是____________________．

3.如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是正方形，点A的坐标是（4，0），点P为边AB上一点，沿CP折叠正方形，折叠后的点B落在平面内的点B′处．已知直线CB′的解析式为，则点B′的坐标为__________，直线CP的表达式是____________________．

第3题图第4题图

4.如图，有一种动画程序，屏幕上的正方形ABCD是黑色区域（含正方形边界），其中A（1，1），B（2，1），C（2，2），D（1，2），用信号枪沿直线y=-2x+b发射信号，当信号遇到黑色区域时，区域便由黑变白，则能够使黑色区域变白的b的取值范围是____________．

5.如图，在平面直角坐标系中放入一张长方形纸片ABCO．将纸片翻折后，点B恰好落在x轴上，记为点B′，折痕为CD．

已知OC=9，，则折痕CD所在直线的解析式为_____________________．

第5题图第6题图

6.如图，点A的坐标是（-2，0），点B的坐标是（6，0），点C在第一象限内且△OBC为等边三角形，直线BC交y轴于点D，过点A作直线AE⊥BD，垂足为E，交OC于点F，则点C的坐标是_________，直线AE的表达式为_________________．

7.如图，在平面直角坐标系中，函数y=-x的图象l是第二、四象限的角平分线．

实验与探究：

由图观察易知A（0，2）关于直线l的对称点A′的坐标为（-2，0），请在图中分别标出B（-5，-3），C（-2，5）关于直线l的对称点B′，C′的位置，并写出它们的坐标：

B′_________，C′_________．

归纳与发现：

结合图形观察以上三组点的坐标，你会发现：

坐标平面内任一点P（m，n）关于第二、四象限的角平分线l的对称点P′的坐标为_________．

运用与拓广：

已知两点D（0，-3），

E（1，-4），试在直线l上确定一点Q，使点Q到D，E两点的距离之和最小，并求出点Q的坐标．

【参考答案】

1．

2．

3．，

4．3≤b≤6

5．

6．，

7．B′（3，5），C′（-5，2），P′（-n，-m），Q（2，-2）

一次函数之面积问题（讲义）

一、知识点睛

1.坐标系中处理面积问题，要寻找并利用_____________的线，

通常有以下三种思路：

①__________________（规则图形）；

②__________________（分割求和、补形作差）；

③__________________（例：

同底等高）．

2.坐标系中面积问题的处理方法举例

①割补求面积（铅垂法）：

②转化求面积：

如图，满足S△ABP=S△ABC的点P都在直线l1，l2上．

二、精讲精练

1.如图，在平面直角坐标系中，已知A（-1，3），B（3，-2），则

△AOB的面积为___________．

2.如图，直线y=-x+4与x轴、y轴分别交于点A，点B，点P的坐标为（-2，2），则S△PAB=___________．

第2题图第3题图

3.如图，直线AB：

y=x+1与x轴、y轴分别交于点A，点B，直线CD：

y=kx-2与x轴、y轴分别交于点C，点D，直线AB与直线CD交于点P．若S△APD=4.5，则k=__________．

4.如图，直线经过点A（1，m），B（4，n），点C的坐标为（2，5），求△ABC的面积．

5.如图，在平面直角坐标系中，已知A（2，4），B（6，6），

C（8，2），求四边形OABC的面积．

6.如图，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，

C（1，2），坐标轴上是否存在点P，使S△ABP=S△ABC？

若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

7.如图，已知直线m的解析式为，与x轴、y轴分别交于A，B两点，以线段AB为直角边在第一象限内作等腰Rt△ABC，且∠BAC=90°，点P为直线x=1上的动点，且△ABP的面积与△ABC的面积相等．

（1）求△ABC的面积；

（2）求点P的坐标．

8.如图，直线PA：

y=x+2与x轴、y轴分别交于A，Q两点，

直线PB：

y=-2x+8与x轴交于点B．

（1）求四边形PQOB的面积．

（2）直线PA上是否存在点M，使得△PBM的面积等于四边

形PQOB的面积？

若存在，求出点M的坐标；若不存在，请

说明理由．

三、回顾与思考

_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

【参考答案】

一、知识点睛

1．横平竖直；①公式法；②割补法；③转化法．

二、精讲精练

1．

2．8

3．

4．

5．24

6．

7．

（1）；

（2）

8．

（1）10；

（2）

一次函数之面积问题（随堂测试）

3.如图，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，

C（-1，-3），

（1）求△ABC的面积；

（2）坐标轴上是否存在点P，使S△ABP=S△ABC？

若存在，求出

点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【参考答案】

1．

（1）；

（2）

一次函数之面积问题（作业）

8.如图，已知一次函数y=kx+b的图象经过A（-2，-1），B（1，3）两点，并且交x轴于点C，交y轴于点D，则△AOB的面积是____________．

9.如图，直线AC的解析式为，交x轴于点C，交y轴于点D，点B的坐标是（0，2），AB⊥BC，则△ABC的面积是____________．

10.如图