三角函数的图象与性质(学生).doc

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学生：

上课时间：

三角函数的图象与性质

知识总结

1、正弦函数、余弦函数、正切函数的图像

2、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：

图象

定义域

值域

最值

当时，；

当时，．

当时，；

当时，．

既无最大值也无最小值

最小正周期性

奇偶性

奇函数

偶函数

奇函数

单调性

在

上是增函数；

在

上是减函数。

在

上是增函数；

在

上是减函数．

在

上是增函数．

对称性

对称中心：

对称轴:

对称中心:

对称轴:

对称中心:

无对称轴

3、函数的性质：

最大值是，最小值是，

振幅,周期是，频率是，相位是，初相是.

*对于和来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系。

*求三角函数的单调区间：

一般先将函数式化为基本三角函数的标准式，要特别注意A、的正负利用单调性三角函数大小一般要化为同名函数,并且在同一单调区间；

*求三角函数的周期的常用方法：

经过恒等变形化成“、”的形式，在利用周期公式，另外还有图像法和定义法。

*五点法作y=Asin（ωx+）的简图：

五点取法是设x=ωx+，由x取0、、π、、2π来求相应的x值及对应的y值，再描点作图。

4．由y＝sinx的图象变换出的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换。

利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现无论哪种变形，请切记每一个变换总是对字母x而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少。

途径一：

先平移变换再周期变换（伸缩变换）

先将y＝sinx的图象向左（＞0）或向右（＜0＝平移｜｜个单位，得到函数的

图象；再将函数的图象上各点的横坐标变为原来的倍（横坐标伸长（缩短）到原来的倍

（纵坐标不变））（ω＞0），便得的图象,再将函数的图象上所有点的纵坐标

伸长（缩短）到原来的倍（横坐标不变），得到函数的图象．再将数的图象

上各点整体向上（B>0）或向下（B<0）平移B个单位，得到函数的图像。

途径二：

先周期变换（伸缩变换）再平移变换。

先将y＝sinx的图象上各点的横坐标变为原来的倍（横坐标伸长（缩短）到原来的倍（纵坐标不变））（ω＞0），便得的图象,再将函数的图象上所有点再沿x轴向左（＞0）或向右（＜0＝平移个单位，便得便得的图象,再将函数的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的倍（横坐标不变），得到函数的图象．再将数的图象上各点整体向上（B>0）或向下（B<0）平移B个单位，得到函数的图像。

题型1：

三角函数的定义域、值域

例1求下列函数的定义域：

（1）y=lgsin（cosx）;

（2）y=.

解

（1）要使函数有意义，必须使sin（cosx）＞0.

∵-1≤cosx≤1,∴0＜cosx≤1.

方法一利用余弦函数的简图得知定义域为{x|-+2k＜x＜+2k,k∈Z}.

方法二利用单位圆中的余弦线OM，依题意知0＜OM≤1,

∴OM只能在x轴的正半轴上，

∴其定义域为

.

（2）要使函数有意义，必须使sinx-cosx≥0.

方法一利用图象.在同一坐标系中画出［0,2］上y=sinx和y=cosx的图象，如图所示.

在［0，2］内，满足sinx=cosx的x为，，再结合正弦、余弦函数的周期是2,

所以定义域为.

方法二利用三角函数线，

如图MN为正弦线，OM为余弦线，

要使sinx≥cosx,即MN≥OM，

则≤x≤（在［0，2］内）.

∴定义域为

方法三sinx-cosx=sin≥0，

将x-视为一个整体，由正弦函数y=sinx的图象和性质

可知2k≤x-≤+2k,

解得2k+≤x≤+2k,k∈Z.

所以定义域为.

题型2：

三角函数的图象

例2．函数y＝－xcosx的部分图象是（）

解析：

因为函数y＝－xcosx是奇函数，它的图象关于原点对称，所以排除A、C，当x∈（0，）时，y＝－xcosx＜0。

答案为D。

例3．函数y=x+sin|x|，x∈［－π，π］的大致图象是（）

解析：

由奇偶性定义可知函数y=x+sin|x|，x∈［－π，π］为非奇非偶函数。

选项A、D为奇函数，B为偶函数，C为非奇非偶函数。

点评：

利用函数的性质来描绘函数的图象，这样既有利于掌握函数的图象与性质，又能熟练地运用数形结合的思想方法。

题型3：

三角函数图象的变换

例4．试述如何由y=sin（2x+）的图象得到y=sinx的图象。

解析：

y=sin（2x+）

另法答案：

（1）先将y=sin（2x+）的图象向右平移个单位，得y=sin2x的图象；

（2）再将y=sin2x上各点的横坐标扩大为原来的2倍（纵坐标不变），得y=sinx的图象；

（3）再将y=sinx图象上各点的纵坐标扩大为原来的3倍（横坐标不变），即可得到y=sinx的图象。

例5已知函数y=2sin,

（1）求它的振幅、周期、初相；

（2）用“五点法”作出它在一个周期内的图象；

（3）说明y=2sin的图象可由y=sinx的图象经过怎样的变换而得到.

解

（1）y=2sin的振幅A=2,周期T==，

初相=.

（2）令X=2x+,则y=2sin=2sinX.

列表，并描点画出图象：

（3）方法一把y=sinx的图象上所有的点向左平移个单位，得到y=sin的图象，再把y=sin的图象上的点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到y=sin的图象，最后把y=sin上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），即可得到y=2sin的图象.

方法二将y=sinx的图象上每一点的横坐标x缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到y=sin2x的图象；

再将y=sin2x的图象向左平移个单位；

得到y=sin2=sin的图象；再将y=sin的图象上每一点的横坐标保持不变，纵坐标伸长为原来的2倍，得到y=2sin的图象.

例6．如图为y=Asin（x+）的图象的一段，求其解析式.

解方法一以N为第一个零点，

则A=-，T=2=，

∴=2，此时解析式为y=-sin（2x+）.

∵点N，∴-×2+=0，∴=，

所求解析式为y=-sin. ①

方法二由图象知A=，

以M为第一个零点，P为第二个零点.

列方程组解之得.

∴所求解析式为y=sin.

例7．（2002全国文5，理4）在（0，2π）内，使sinx＞cosx成立的x取值范围为（）

A．（，）∪（π，）B．（，π）

C．（，）D．（，π）∪（，）

解析：

C；

解法一：

作出在（0，2π）区间上正弦和余弦函数的图象，解出两交点的横坐标和，由图1可得C答案。

图1图2

解法二：

在单位圆上作出一、三象限的对角线，由正弦线、余弦线知应选C。

（如图2）

题型4：

三角函数的单调性

例8．求下列函数的单调区间：

（1）y=sin（－）；

（2）y=－｜sin（x+）｜。

分析：

（1）要将原函数化为y=－sin（x－）再求之。

（2）可画出y=－|sin（x+）|的图象。

解：

（1）y=sin（－）=－sin（－）。

故由2kπ－≤－≤2kπ+。

3kπ－≤x≤3kπ+（k∈Z），为单调减区间；

由2kπ+≤－≤2kπ+。

3kπ+≤x≤3kπ+（k∈Z），为单调增区间。

∴递减区间为［3kπ－，3kπ+］，

递增区间为［3kπ+，3kπ+］（k∈Z）。

（2）y=－|sin（x+）|的图象的增区间为［kπ+，kπ+］，减区间为［kπ－，kπ+］。

例9．函数y=2sinx的单调增区间是（）

A．［2kπ－，2kπ＋］（k∈Z）B．［2kπ＋，2kπ＋］（k∈Z）

C．［2kπ－π，2kπ］（k∈Z）D．［2kπ，2kπ＋π］（k∈Z）

解析：

A；函数y=2x为增函数，因此求函数y=2sinx的单调增区间即求函数y=sinx的单调增区间。

题型5：

三角函数的奇偶性、周期性

例10．（2008·天津理，3）设函数f（x）=sin，x∈R，则f（x）是（填序号）.

①最小正周期为的奇函数②最小正周期为的偶函数

③最小正周期为的奇函数④最小正周期为的偶函数

答案②

题型6：

三角函数的最值

例11．设M和m分别表示函数y=cosx－1的最大值和最小值，则M+m等于（）

A．B．－C．－D．－2

解析：

D；因为函数g（x）=cosx的最大值、最小值分别为1和－1。

所以y=cosx－1的最大值、最小值为－和－。

因此M+m=－2。

1.求f（x）=的定义域和值域.

解由函数1-cos≥0,得sinx≤,利用单位圆或三角函数的图象，易得所求函数的定义域是

Z

.

当sinx=cos=时，ymin=0;

当sinx=cos=-1时，ymax=.

所以函数的值域为［0，］.

2.

（1）求函数y=sin的单调递减区间；

（2）求y=3tan的周期及单调区间.

解

（1）方法一令u=,y=sinu，利用复合函数单调性，

由2k-≤-2x+≤2k+（k∈Z）,得

2k-≤-2x≤2k+（k∈Z）,

-k-≤x≤-k+（k∈Z）,

即k-≤x≤k+（k∈Z）.

∴原函数的单调递减区间为

（k∈Z）.

方法二由已知函数y=-sin,欲求函数的单调递减区间，只需求y=sin的单调递增区间.

由2k-≤2x-≤2k+（k∈Z）,

解得k-≤x≤k+（k∈Z）.

∴原函数的单调递减区间为（k∈Z）.

（2）y=3tan=-3tan,

∴T==4,∴y=3tan的周期为4.

由k-＜＜k+，

得4k-＜x＜4k+（k∈Z）,

y=3tan的单调增区间是

（k∈Z）

∴y=3tan的单调递减区间是

（k∈Z）.

3.已知函数y=3sin

（1）用五点法作出函数的图象；

（2）说明此图象是由y=sinx的图象经过怎么样的变化得到的；

（3）求此函数的振幅、周期和初相；

（4）求此函数图象的对称轴方程、对称中心.

解

（1）列表：

描点、连线,如图所示：

（2）方法一“先平移，后伸缩”.

先把y=sinx的图象上所有点向右平移个单位，得到y=sin的图象；再把y=sin的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到

y=sin的图象，最后将y=sin的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍（横坐标不变），就得到y=3sin的图象.

方法二“先伸缩，后平移”

先把y=sinx的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到y=sinx的图象；再把y=sinx图象上所有的点向右平移个单位，

得到y=sin（x-）=sin的图象，最后将y=sin的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍（横坐标不变），就得到y=3sin的图象.

（3）周期T===4，振幅A=3，初相是-.

（4）令