．（表示不超过x的最大整数）
10．小明家电话号码原为六位数，第一次升位是在首位号码和第二位号码之间加上数字8，成为一个七位数的电话号码；第二次升位是在首位号码前加上数字2，成为一个八位数的电话号码．小明发现，他家两次升位后的电话号码的八位数，恰是原来电话号码的六位数的81倍，则小明家原来的电话号码是．
三、解答题（共4题，每小题15分，满分60分）
11．已知，，为互质的正整数（即，是正整数，且它们的最大公约数为1），且≤8，．
（1）试写出一个满足条件的x；
（2）求所有满足条件的x．
12．设，，为互不相等的实数，且满足关系式
①
②
求a的取值范围．
13．如图，点P为⊙O外一点，过点P作⊙O的两条切线，切点分别为A，B．过点A作PB的平行线，交⊙O于点C．连结PC，交⊙O于点E；连结AE，并延长AE交PB于点K．求证：
PE·AC=CE·KB．
14．10个学生参加n个课外小组，每一个小组至多5个人，每两个学生至少参加某一个小组，任意两个课外小组，至少可以找到两个学生，他们都不在这两个课外小组中．求n的最小值．
2006年全国初中数学竞赛试题参考答案
一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分。
以下每道小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。
请将正确选项的代号填入题后的括号里。
不填、多填或错填均得0分）
1．在高速公路上，从3千米处开始，每隔4千米经过一个限速标志牌；并且从10千米处开始，每隔9千米经过一个速度监控仪．刚好在19千米处第一次同时经过这两种设施，那么第二次同时经过这两种设施的千米数是（）
（A）36（B）37（C）55（D）90
答：
C．
解：
因为4和9的最小公倍数为36，19＋36=55，所以第二次同时经过这两种设施的千米数是在55千米处．
故选C．
2．已知，，且=8，则a的值等于（）
（A）－5（B）5（C）－9（D）9
答：
C．
解：
由已知可得，．又
=8，所以解得a=－9
故选C．
3．Rt△ABC的三个顶点A，B，C均在抛物线上，并且斜边AB平行于x轴．若斜边上的高为h，则（）
（A）h<1（B）h=1（C）12
答：
B．
解：
设点A的坐标为（a，a2），点C的坐标为（c，c2）（|c|<|a|），则点B的坐标为（－a，a2），由勾股定理，得，
，
所以．
由于，所以a2－c2=1，故斜边AB上高h=a2－c2=1
故选B．
4．一个正方形纸片，用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分；拿出其中一部分，再沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分；又从得到的三部分中拿出其中之一，还是沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分……如此下去，最后得到了34个六十二边形和一些多边形纸片，则至少要剪的刀数是（）
（A）2004（B）2005（C）2006（D）2007
答：
B．
解：
根据题意，用剪刀沿不过顶点的直线剪成两部分时，每剪开一次，使得各部分的内角和增加360°．于是，剪过k次后，可得（k＋1）个多边形，这些多边形的内角和为（k＋1）×360°．
因为这（k＋1）个多边形中有34个六十二边形，它们的内角和为
34×（62－2）×180°=34×60×180°，其余多边形有（k＋1）－34=k－33（个），
而这些多边形的内角和不少于（k－33）×180°．
所以（k＋1）×360°≥34×60×180°＋（k－33）×180°，解得k≥2005．
当我们按如下方式剪2005刀时，可以得到符合条件的结论．先从正方形上剪下1个三角形，得到1个三角形和1个五边形；再在五边形上剪下1个三角形，得到2个三角形和1个六边形……如此下去，剪了58刀后，得到58个三角形和1个六十二边形．再取33个三角形，在每个三角形上剪一刀，又可得到33个三角形和33个四边形，对这33个四边形，按上述正方形的剪法，再各剪58刀，便34个六十二边形和33×58个三角形．于是共剪了58＋33＋33×58=2005（刀）．
故选B．
5．如图，正方形ABCD内接于⊙O，点P在劣弧AB上，连结DP，交AC于点Q．若QP=QO，则的值为（）
（A）;（B）
（C）;（D）
答：
D．
解：
如图，设⊙O的半径为r，QO=m，
则QP=m，QC=r＋m，QA=r－m．
在⊙O中，根据相交弦定理，得QA·QC=QP·QD．
即（r－m）（r＋m）=m·QD，所以QD=．
连结DO，由勾股定理，得QD2=DO2＋QO2，
即，解得
所以，
故选D．
二、填空题（共5小题，每小题6分，满分30分）
6．已知a，b，c为整数，且a＋b=2006，c－a=2005．若a答：
5013．
解：
由，，得．
因为，a于是，a＋b＋c的最大值为5013．
7．如图，面积为的正方形DEFG内接于面积为1的正三角形ABC，其中a，b，c为整数，且b不能被任何质数的平方整除，则的值等于．
答：
．
解：
设正方形DEFG的边长为x，正三角形ABC的边长为m，则，
由△ADG∽△ABC，可得，解得
于是，
由题意，，，，所以．
8．正五边形广场ABCDE的周长为2000米．甲、乙两人分别从A、C两点同时出发，沿A→B→C→D→E→A→…方向绕广场行走，甲的速度为50米/分，乙的速度为46米/分．那么出发后经过分钟，甲、乙两人第一次行走在同一条边上．
答：
104．
解：
设甲走完x条边时，甲、乙两人第一次开始行走在同一条边上，此时甲走了400x米，乙走了46×=368x米．于是368（x－1）＋800－400（x－1）>400，
所以，12.5≤x<13.5．故x=13，此时．
9．已知0答：
6．
解：
因为0<，
所以，，…，等于0或1．
由题设知，其中有18个等于1，所以
=0，
=1，
所以，1≤＜2．
故18≤30a＜19，于是6≤10a＜，所以=6．
10．小明家电话号码原为六位数，第一次升位是在首位号码和第二位号码之间加上数字8，成为一个七位数的电话号码；第二次升位是在首位号码前加上数字2，成为一个八位数的电话号码．小明发现，他家两次升位后的电话号码的八位数，恰是原来电话号码的六位数的81倍，则小明家原来的电话号码是．
答：
282500．
解：
设原来电话号码的六位数为，则经过两次升位后电话号码的八位数为
．根据题意，有81×=．
记，于是
，
解得x=1250×（208－71a）．
因为0≤x＜，所以0≤1250×（208－71a）＜，故≤．
因为a为整数，所以a=2．于是x=1250×（208－71×2）=82500．
所以，小明家原来的电话号码为282500．
三、解答题（共4题，每小题15分，满分60分）
11．已知，，为互质的正整数（即，是正整数，且它们的最大公约数为1），且≤8，．
（1）试写出一个满足条件的x；
（2）求所有满足条件的x．
解：
（1）满足条件．……………5分
（2）因为，，为互质的正整数，且≤8，所以
，即．
当a=1时，，这样的正整数不存在．
当a=2时，，故=1，此时．
当a=3时，，故=2，此时．
当a=4时，，与互质的正整数不存在．
当a=5时，，故=3，此时．
当a=6时，，与互质的正整数不存在．
当a=7时，，故=3，4，5此时，，．
当a=8时，，故=5，此时
所以，满足条件的所有分数为，，，，，，．………………15分
12．设，，为互不相等的实数，且满足关系式
①
②
求a的取值范围．
解法一：
由①－2×②得，所以a>－1．
当a>－1时，=．……………10分
又当时，由①，②得，③
④
将④两边平方，结合③得
化简得，
故，
解得，或．
所以，a的取值范围为a>－1且，．………………………15分
解法二：
因为，，
所以，
所以．又，
所以，为一元二次方程⑤
的两个不相等实数根，
故，所以a>－1．
当a>－1时，=．……………10分
另外，当时，由⑤式有，
即或，解得，或．
当时，同理可得或．
所以，a的取值范围为a>－1且，．………………………15分
13．如图，点P为⊙O外一点，过点P作⊙O的两条切线，切点分别为A，B．过点A作PB的平行线，交⊙O于点C．连结PC，交⊙O于点E；连结AE，并延长AE交PB于点K．求证：
PE·AC=CE·KB．
证明：
因为AC∥PB，所以∠KPE=∠ACE．又PA是⊙O的切线，
所以∠KAP=∠ACE，故∠KPE=∠KAP，于是
△KPE∽△KAP，
所以，即．
由切割线定理得
所以．………………10分
因为AC∥PB，△KPE∽△ACE，于是
故，
即PE·AC=CE·KB．………………15分
14．10个学生参加n个课外小组，每一个小组至多5个人，每两个学生至少参加某一个小组，任意两个课外小组，至少可以找到两个学生，他们都不在这两个课外小组中．求n的最小值．
解：
设10个学生为，，…，，n个课外小组，，…，．
首先，每个学生至少参加两个课外小组．否则，若有一个学生只参加一个课外小组，设这个学生
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