中考数学复习相似三角形与锐角三角函数 专项练习题含答案.docx

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中考数学复习相似三角形与锐角三角函数专项练习题含答案

2021年中考数学复习：

相似三角形与锐角三角函数专项练习题

一、选择题

1.如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE∥BC.若BD＝2AD，则（　　）

A.＝B.＝C.＝D.＝

2.如图，△ABO∽△CDO，若BO=6，DO=3，CD=2，则AB的长是（　　）

A.2B.3C.4D.5

3.如图，在△ABC中，CA=CB=4，cosC=，则sinB的值为（　　）

A.B.C.D.

4.某简易房示意图如图所示，它是一个轴对称图形，则坡屋顶上弦杆AB的长为（　　）

A.米B.米C.米D.米

5.如图，每个小正方形的边长均为1，则下列图形中的三角形（阴影部分）与△A1B1C1相似的是（　　）

6.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（4，3），那么cosα的值是（　　）

A.B.

C.D.

7.如图①，长、宽均为3，高为8的长方体容器，放置在水平桌面上，里面盛有水，水面高为6，绕底面一棱进行旋转倾斜后，水面恰好触到容器口边缘，图②是此时的示意图，则图②中水面高度为（　　）

A.B.C.D.

8.如图，平面直角坐标系中，☉P经过三点A（8，0），O（0，0），B（0，6），点D是☉P上的一动点，当点D到弦OB的距离最大时，tan∠BOD的值是（　　）

A.2　　　B.3C.4　　　D.5

9.如图，钓鱼竿AC长6m，露在水面上的鱼线BC长3m，某钓鱼者想看看鱼钩上的情况，把鱼竿AC转到AC′的位置，此时露在水面上的鱼线B′C′为3m，则鱼竿转过的角度是（　　）

A.60°B.45°C.15°D.90°

10.如图，以O为圆心，半径为1的弧交坐标轴于A，B两点，P是上一点（不与A，B重合），连接OP，设∠POB＝α，则点P的坐标是（　　）

A.（sinα，sinα）B.（cosα，cosα）

C.（cosα，sinα）D.（sinα，cosα）

二、填空题

11.6tan230°-sin60°-2sin45°=　　　　. 

12.在某一时刻，测得一根高为1.8m的竹竿的影长为3m，同时同地测得一栋楼的影长为90m，则这栋楼的高度为　　　　m. 

13.已知α，β均为锐角，且满足|sinα－|＋＝0，则α＋β＝________．

14.长为4m的梯子搭在墙上与地面成45°角，作业时调整为60°角（如图所示），则梯子的顶端沿墙面升高了________m.

15.如图，△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形，相似比为3∶4，∠OCD=90°，∠AOB=60°，若点B的坐标是（6，0），则点C的坐标是　　　　. 

16.如图，在半径为3的⊙O中，直径AB与弦CD相交于点E，连接AC，BD，若AC＝2，则tanD＝________．

17.如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝15，AC＝20，点D在边AC上，AD＝5，DE⊥BC于点E，连接AE，则△ABE的面积等于________．

18.如图，AB＝6，O是AB的中点，直线l经过点O，∠1＝120°，P是直线l上一点．当△APB为直角三角形时，AP＝________．

三、解答题

19.如图，在正方形ABCD中，点G在对角线BD上（不与点B，D重合），GE⊥DC于点E，GF⊥BC于点F，连接AG.

（1）写出线段AG，GE，GF长度之间的等量关系，并说明理由；

（2）若正方形ABCD的边长为1，∠AGF＝105°，求线段BG的长．

20.如图，⊙O是△ABC的外接圆，AC为直径，＝，BE⊥DC交DC的延长线于点E.

（1）求证：

∠1＝∠BCE；

（2）求证：

BE是⊙O的切线；

（3）若EC＝1，CD＝3，求cos∠DBA.

21.如图1，图2，在△ABC中，AB＝13，BC＝14，．

探究如图1，AH⊥BC于点H，则AH＝_____，AC＝______，△ABC的面积S△ABC＝________．

拓展如图2，点D在AC上（可与点A、C重合），分别过点A、C作直线BD的垂线，垂足为E、F．设BD＝x，AE＝m，CF＝n．（当点D与点A重合时，我们认为S△ABD＝0）

（1）用含x，m或n的代数式表示S△ABD及S△CBD；

（2）求（m＋n）与x的函数关系式，并求（m＋n）的最大值和最小值；

（3）对给定的一个x值，有时只能确定唯一的点D，指出这样的x的取值范围．

发现请你确定一条直线，使得A、B、C三点到这条直线的距离之和最小（不必写出过程），并写出这个最小值．

图1图2

22.如图，AB是⊙O的直径，点E为线段OB上一点（不与O、B重合），作EC⊥OB交⊙O于点C，作直径CD过点C的切线交DB的延长线于点P，作AF⊥PC于点F，连接CB.

（1）求证：

AC平分∠FAB；

（2）求证：

BC2＝CE·CP；

（3）当AB＝4且＝时，求劣弧的长度．

答案

一、选择题

1.【答案】B　

2.【答案】C　

3.【答案】D　

∵cosC=，AC=4，∴CD=1，

∴BD=3，AD==.

在Rt△ABD中，AB==2，

∴sinB===，故选D.

4.【答案】B　

5.【答案】B　

6.【答案】D　

7.【答案】A　根据题意得:

（8-x+8）×3×3=3×3×6，解得x=4，∴DM=4.

∵∠D=90°.

∴由勾股定理得:

BM===5.

过点B作BH⊥水平桌面于H，∵∠HBA+∠ABM=∠ABM+∠DBM=90°，

∴∠HBA=∠DBM，

∵∠AHB=∠D=90°，

∴△ABH∽△MBD，∴=，即=，解得BH=，即水面高度为.

8.【答案】B　∴DE=EP+DP=4+5=9，∴tan∠DOB===3，故选B.

9.【答案】C　

10.【答案】C　

二、填空题

11.【答案】　

12.【答案】54

13.【答案】75°　

14.【答案】2（－）　

15.【答案】（2，2）　

16.【答案】2　

17.【答案】78　

18.【答案】3或3或3　

三、解答题

19.【答案】

【思维教练】求三条线段之间的关系，一般是线段的和差关系或线段平方的和差关系．由ABCD是正方形，BD是角平分线，可想到连接CG，易得CG＝AG，再由四边形CEGF是矩形可得AG2＝GE2＋GF2；

（2）给出∠AGF＝105°，可得出∠AGB＝60°，再由∠ABG＝45°，可想到过点A作BG的垂线，交BG于点M，分别在两个直角三角形中得出BM和MG的长，相加即可得出BG的长．

解：

（1）AG2＝GE2＋GF2；（1分）

理由：

连结CG，∵ABCD是正方形，

∴∠ADG＝∠CDG＝45°，AD＝CD，DG＝DG，

∴△ADG≌△CDG，（2分）

∴AG＝CG，

又∵GE⊥DC，GF⊥BC，∠GFC＝90°，

∴四边形CEGF是矩形，（3分）

∴CF＝GE，

在直角△GFC中，由勾股定理得，CG2＝GF2＋CF2，

∴AG2＝GE2＋GF2；（4分）

（2）过点A作AM⊥BD于点M，

∵GF⊥BC，∠ABG＝∠GBC＝45°，

∴∠BAM＝∠BGF＝45°，

∴△ABM，△BGF都是等腰直角三角形，（6分）

∵AB＝1，∴AM＝BM＝，

∵∠AGF＝105°，∴∠AGM＝60°，

∴tan60°＝，∴GM＝，（8分）

∴BG＝BM＋GM＝＋＝.（10分）

20.【答案】

（1）证明：

如解图，过点B作BF⊥AC于点F，

∵＝，

∴AB＝BD

在△ABF与△DBE中，

，

∴△ABF≌△DBE（AAS），

∴BF＝BE，

∵BE⊥DC，BF⊥AC，

∴∠1＝∠BCE；

（2）证明：

如解图，连接OB，

∵AC是⊙O的直径，

∴∠ABC＝90°，即∠1＋∠BAC＝90°，

∵∠BCE＋∠EBC＝90°，且∠1＝∠BCE，

∴∠BAC＝∠EBC，

∵OA＝OB，

∴∠BAC＝∠OBA，

∴∠EBC＝∠OBA，

∴∠EBC＋∠CBO＝∠OBA＋∠CBO＝90°，

∴∠EBO＝90°，

又∵OB为⊙O的半径，

∴BE是⊙O的切线；

解图

（3）解：

在△EBC与△FBC中，

∴△EBC≌△FBC（AAS），

∴CE＝CF＝1.

由

（1）可知：

AF＝DE＝1＋3＝4，

∴AC＝CF＋AF＝1＋4＝5，

∴cos∠DBA＝cos∠DCA＝＝.

21.【答案】

探究AH＝12，AC＝15，S△ABC＝84．

拓展

（1）S△ABD＝，S△CBD＝．

（2）由S△ABC＝S△ABD＋S△CBD，得．所以．

由于AC边上的高，所以x的取值范围是≤x≤14．

所以（m＋n）的最大值为15，最小值为12．

（3）x的取值范围是x＝或13＜x≤14．

发现A、B、C三点到直线AC的距离之和最小，最小值为．

22.【答案】

（1）证明：

∵PF切⊙O于点C，CD是⊙O的直径，

∴CD⊥PF，

又∵AF⊥PC，

∴AF∥CD，

∴∠OCA＝∠CAF，

∵OA＝OC，

∴∠OAC＝∠OCA，

∴∠CAF＝∠OAC，

∴AC平分∠FAB；

（2）证明：

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB＝90°，

∵∠DCP＝90°，

∴∠ACB＝∠DCP＝90°，

又∵∠BAC＝∠D，

∴△ACB∽△DCP，

∴∠EBC＝∠P，

∵CE⊥AB，

∴∠BEC＝90°，

∵CD是⊙O的直径，

∴∠DBC＝90°，

∴∠CBP＝90°，

∴∠BEC＝∠CBP，

∴△CBE∽△CPB，

∴＝，

∴BC2＝CE·CP；

（3）解：

∵AC平分∠FAB，CF⊥AF，CE⊥AB，

∴CF＝CE，

∵＝，

∴＝，

设CE＝3k，则CP＝4k，

∴BC2＝3k·4k＝12k2，

∴BC＝2k，

在Rt△BEC中，∵sin∠EBC＝＝＝，

∴∠EBC＝60°，

∴△OBC是等边三角形，

∴∠DOB＝120°，

∴＝＝.