云南省师范大学附属中学学年高三上学期第五次月考数学文试题.docx
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云南省师范大学附属中学学年高三上学期第五次月考数学文试题
云南省师范大学附属中学2020-2021学年高三上学期第五次月考数学（文）试题
学校:
___________姓名：
___________班级：
___________考号：
___________
一、单选题
1．已知集合，.则（）
A．B．
C．D．
2．（）
A．B．
C．D．
3．设复数，，在复平面内所对应的向量分别为，（为原点），则（）
A．B．
C．D．
4．已知数列为等差数列，为前项和，若，，则（）
A．B．
C．D．
5．如图，在圆的圆心处有一个通信基站，，假设其信号覆盖范围是该圆内的白色区域（该圆形区域内无其他信号来源，基站工作正常），若在圆内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是（）
A．B．
C．D．
6．函数的图象大致为（）
A．B．
C．D．
7．若在四边形中,已知,,,,,则四边形的面积为（）
A．B．C．D．
8．已知直线与圆相交于两点，且三角形，为直角三角形，则中点的轨迹方程为（）
A．B．
C．D．
9．已知函数，则（）
A．B．
C．D．
10．已知函数，将的图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），再将图象向左平移个单位，所得图象对应的函数为，若函数的图象在，两处的切线都与x轴平行，则的最小值为（）
A．B．
C．D．
11．如图，已知是圆的直径，，在圆上且分别在的两侧，其中，.现将其沿折起使得二面角为直二面角，则下列说法不正确的是（）
A．，，，在同一个球面上
B．当时，三棱锥的体积为
C．与是异面直线且不垂直
D．存在一个位置，使得平面平面
12．已知是双曲线：
的一个焦点，，是双曲线的两条渐近线，过且垂直的直线与，分别交于，两点，若三角形的面积（为原点），则双曲线的离心率为（）
A．或B．或
C．或D．或
二、填空题
13．能说明命题“，，，是实数，若，，则”是假命题的一组数对（，，，）是________.
14．抛物线上的点到其准线的距离的最小值为________.
15．若实数满足约束条件，则的取值范围为________.
16．我们经常听到这样一种说法：
一张纸经过一定次数对折之后厚度能超过地月距离.但实际上，因为纸张本身有厚度，我们并不能将纸张无限次对折，当我们的厚度超过纸张的长边时，便不能继续对折了，一张长边为，厚度为的矩形纸张沿两个方向不断对折，则经过两次对折，长边变为，厚度变为.在理想情况下，对折次数有下列关系：
（注：
），根据以上信息，一张长为，厚度为的纸最多能对折___次.
三、解答题
17．在我们的教材必修一中有这样一个问题，假设你有一笔资金，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下:
方案一：
每天回报元；
方案二：
第一天回报元，以后每天比前一天多回报元；
方案三：
第一天回报元，以后每天的回报比前一天翻一番.
记三种方案第天的回报分别为，，.
（1）根据数列的定义判断数列，，的类型，并据此写出三个数列的通项公式；
（2）小王准备做一个为期十天的短期投资，他应该选择哪一种投资方案？
并说明理由.
18．至年底，我国发明专利申请量已经连续年位居世界首位，下表是我国年至年发明专利申请量以及相关数据.
注：
年份代码～分别表示～.
（1）可以看出申请量每年都在增加，请问这几年中哪一年的增长率达到最高，最高是多少？
（2）建立关于的回归直线方程（精确到），并预测我国发明专利申请量突破万件的年份.
参考公式：
回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计分别为，
19．如图，已知菱形和矩形所在的平面互相垂直，.
（1）若为的中点，求证：
平面；
（2）若图中七面体的体积为，且，求点到平面的距离.
20．设椭圆：
，，分别是椭圆的左、右焦点，在椭圆上.求证：
（1）直线：
是椭圆在点处的切线；
（2）从发出的光线经直线反射后经过.
21．设函数.
（1）证明：
若，则恒成立；
（2）讨论的零点个数.
22．在直角坐标系中，射线的方程为，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的方程为.一只小虫从点沿射线向上以单位/min的速度爬行
（1）以小虫爬行时间为参数，写出射线的参数方程；
（2）求小虫在曲线内部逗留的时间.
23．如图，是半圆直径，为的中点，，在上，且，.
（1）用，表示线段，的长度；
（2）若，，，求的最小值.
参考答案
1．B
【解析】
【分析】
先计算得到，再计算得到答案.
【详解】
故选：
B
【点睛】
本题考查了交集的运算，属于简单题.
2．C
【分析】
直接利用诱导公式和辅助角公式化简得到答案.
【详解】
故选：
C
【点睛】
本题考查了诱导公式和辅助角公式，意在考查学生的计算能力.
3．B
【分析】
化简得到，再计算得到答案.
【详解】
故选：
B
【点睛】
本题考查了复平面对应向量的运算，掌握复数和向量的对应关系是解题的关键.
4．D
【分析】
根据等差数列公式得到方程组，计算得到答案.
【详解】
故选：
D
【点睛】
本题考查了等差数列求和，理解掌握数列公式是解题的关键.
5．D
【分析】
设该圆的半径为R，计算圆面积和阴影部分面积，利用几何概型相除得到答案.
【详解】
设该圆的半径为R，则圆的面积是，
，故
故选：
D
【点睛】
本题考查了几何概型计算概率，计算区域面积是解题的关键.
6．D
【分析】
判断函数为偶函数，取特殊点，判断得到答案.
【详解】
，且，函数为偶函数
故选：
D
【点睛】
本题考查了函数图像的判断，根据奇偶性和特殊点可以快速得到答案是解题的关键.
7．B
【分析】
画出其几何图像,在由余弦定理可求得,在中由余弦定理求得,故,根据三角形面积公式求出和,即可求得四边形的面积为.
【详解】
画出其几何图像:
在由余弦定理:
解得
在由余弦定理:
解得,则
四边形的面积故
故选:
B.
【点睛】
本题考查了求四边形面积问题,熟记余弦定理和三角形面积公式即可求解,属于基础题型.
8．D
【分析】
根据题意得到，M的轨迹是以C1为圆心，半径为的圆，得到答案.
【详解】
因为为直角三角形，且，所以，所以M的轨迹是以C1为圆心，半径为的圆
故选：
D
【点睛】
本题考查了圆的轨迹问题，根据题意得到是解题的关键.
9．A
【分析】
直接代入计算得到答案.
【详解】
故选：
A
【点睛】
本题考查了分段函数的计算，属于简单题.
10．B
【分析】
先计算得到，画出函数图像，计算，得到答案.
【详解】
根据变换得到：
，图象如图：
由图可知，取到的最小可能为，因为，，所以最小值为4
故选：
B
【点睛】
本题考查了三角函数的平移，放缩，距离的计算，综合性强，意在考查学生综合应用能力.
11．D
【分析】
依次判断每个选项的正误：
，所以A正确；当，A，C各在所在圆弧的中点，计算体积得到B正确；反证法证明AB与CD不垂直C正确；根据C选项知D错误，得到答案。
【详解】
因为，所以A正确；
当，A，C各在所在圆弧的中点，此时三棱锥的底面BCD的面积和高均处于最大位置，此时体积为，所以B正确；
AB与CD显然异面，用反证法证明他们不垂直．若，过A作BD的垂线，垂足为E，因为为直二面角，所以AE⊥平面BCD，所以，所以，所以，这与矛盾，所以AB与CD不垂直，所以C正确；
假设存在一个位置，使得平面平面，过作于，则平面由于平面，与选项矛盾.
故选：
D．
【点睛】
本题考查了直线平面的关系，体积，意在考查学生的空间想象能力和推断能力.
12．C
【分析】
分为和两种情况，画出图像分别计算离心率得到答案.
【详解】
有如下两种情况：
（1）；
（2）．
（1）如图甲，可求出A，B的坐标分别为
所以；
同理可得当时，满足条件的离心率
故选：
C
【点睛】
本题考查了双曲线的离心率，分类讨论是解题的关键，漏解是容易发生的错误.
13．
【分析】
举一组反例即得到答案.
【详解】
答案不唯一，满足条件即可．例如：
故答案为：
【点睛】
本题考查了判断命题为假命题，属于简单题.
14．
【分析】
抛物线的标准方程为，准线方程为，得到最小距离.
【详解】
抛物线的标准方程为，准线方程为，最小距离为．
故答案为：
【点睛】
本题考查了抛物线上的点到准线的距离，属于基础题型.
15．
【分析】
画出可行域，变换得到，根据图像得到答案.
【详解】
可行域如图所示，变换得到
设为可行域内任意一点，则
由图可知,
所以的取值范围为．
故答案为：
【点睛】
本题考查了线性规划问题，画出图像，变换是解题的关键.
16．
【分析】
根据题意解不等式得到答案.
【详解】
，
因为，所以的最大值为．
故答案为：
.
【点睛】
本题考查了对数的应用，意在考查学生的计算能力和应用能力，属于基础题.
17．
（1）为常数列；为等差数列；是等比数列；
（2）应该选择方案二，详见解析
【分析】
（1）根据题意得到为常数列，是等差数列，是等比数列，分别计算通项公式得到答案.
（2）设投资10天三种投资方案的总收益为，分别计算比较大小得到答案.
【详解】
（1）为常数列；
是首项为10，公差为10的等差数列；
，
所以是首项为0.4，公比为2的等比数列．
所以．
（2）设投资10天三种投资方案的总收益为，
由
（1）知：
，
因为，所以应该选择方案二．
【点睛】
本题考查了数列的应用，意在考查学生对于数列公式的灵活应用.
18．
（1）2021年的增长率最高，达到了26%
（2）关于的回归直线方程为，预测我国发明专利申请量将在2021年突破200万件
【分析】
（1）分别计算每一年的增长率，比较大小得到答案.
（2）根据公式直接计算得到回归直线方程为，再解不等式得到答案.
【详解】
（1）由表格可知2013，2014，2015，2016，2017，2021年的增长率分别如下：
，
所以2021年的增长率最高，达到了26%．
（2）由表格可计算出：
，，
关于的回归直线方程为．
令．
所以根据回归方程可预测，我国发明专利申请量将在2021年突破200万件．
【点睛】
本题考查了回归方程的计算和应用，意在考查学生的计算能力和应用能力.
19．
（1）证明见解析
（2）
【分析】
（1）如图，设BF的中点为H，，连接HG，HO，证明得到证明.
（2）先计算，再计算，利用体积公式计算得到答案.
【详解】
（1）证明：
如图，设BE的中点为H，，连接HG，HO．
因为G是BE的中点，所以
所以四边形AGHO是平行四边形，
所以，又因为平面BDF，平面BDF，
所以平面．
（2）因为ABCD为菱形，且，所以为正三角形．
又因为ACEF为矩形，且
设，
．，
在三角形DEF中，EF边上的高为2，所以．
设B到平面DEF的距离为d，
则．
【点睛】
本题考查了线面平行，点到平面的距离，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.
20．
（1）证明见解析
（2）证明见解析
【分析】
（1）联立直线和椭圆方程计算得到证明.
（2）设关于直线的对称点为，则的中点在直线l上，直线与l垂直，计算得到证明.
【详解】
证明：
（1）因为在椭圆上，所以，所以P也在直线上．
联立直线和椭圆方程
因为P在椭圆上，所以
所以直线l与椭圆相切，又因为，
所以直线l是椭圆在点P处的切线．
（2）设关于直线的对称点为，
则的中点在直线l上，直线与l垂
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