完整版《实变函数》第二章点集docxWord文档格式.docx
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一、度量空间
定义1：
设X为一非空集合，d：
XXR为一映射，且满足
（1）d（x,y）0，d（x,y）0xy（正定性）
（2）d（x,y）d（y,x）（对称性）
（3）d（x,y）d（x,z）d（z,y）（三角不等式）
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则称（X,d）为度量空间.
例1：
n
（1）
欧氏空间（Rn,d）,其中d（x,y）
（xi
yi）2
i
1
（2）
x
y
离散空间（X,d），其中d（x,y）
（3）
Ca,b
空间（
Ca,b表示闭区间
a,b上实值连续函数全体
）,其中
d（x,y）
max|x（t）y（t）|
atb
二、邻域
定义2：
称集合{P|d（P,P0）
}为P0
的
邻域，并记为U（P0,
）.P0称为邻域的中
心，称为邻域的半径.在不需要特别指出是什么样的半径时，也简称为
P0的邻域，并记为
U（P0）.
不难看出：
点列{Pm}收敛于P0的充分必要条件是对任意
0，存在N，当
m
N时有：
Pm
容易验证邻域具有下面的基本性质：
1）
P
U（P）；
2）
对于
U1（P）和U2（P），如果存在PU1（P）
U2（P），则存在
U3（P）
U1（P）U2（P）
3）
Q
U（P），存在U（Q）
4）
P，存在U（Q）和U（P）满足U（Q）
U（P）
定义3：
两个非空的点集A,B间的距离定义为
dA,B
inf
B
d
P,Q
A,Q
如果A,B中至少有一个是空集，则规定
；
若B
X，则记
A,B
A,X
显然，若A
，则dA,B
0。
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定义4：
一个非空的点集
E的直径定义为：
E
supd
当E
时，规定
。
显然，
至多只有一个元素。
若
，则称E为有界集。
定义5：
称X1
X2,L
Xn|XiAi,i
1,2,L
n
为集合Ai的直积，记为
X1
X2L
Xn或
Ai
ai,bi
为直线上的区间，则称I为n维欧氏空间Rn
定义6：
若I
Ii，其中Ii
中的区间；
如果所有Ii
都是开（闭、左开右闭、左闭右开
）区间，则称I是开（闭、左开右闭、
左闭右开）区间。
如果所有的Ii都是直线上的有界区间，
则称I是Rn中的有界区间；
如果至
少有一个Ii是直线上的无界区间，则称
I是Rn
中的无界区间.
注：
R2
中的有界区间即矩形，R3中的区间即长方体，因此Rn中的区间有时也称为“长
方体”.
显然，E为有界集的充要条件是存在有界区间
I
E或E为有界集的充要条件是存在
有界邻域E0
U（x0,
）
定义7：
Ii,Ii
称I
（bi
ai）为区间I的“体积”，即
i1
Ii.当然，这里约定
00，当a
0时，a
a.
R1中的区间体积即区间的长度，
R2中的区间体积即矩形面积＝长×
宽，
R3中的
区间体积即长方体体积＝长×
宽×
高，因此规定
Rn中的区间体积＝
n个边长的乘积，既是
合理的又是自然.
2、聚点、内点、界点
教学目的1、深刻理解内点、外点、界点、聚点、孤立点的概念，弄清它们的区别与联系.
2、理解并掌握开核、导集、闭包、边界及孤立点集等概念，对一个已知的点集E，会求这些相关的点集.
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3、了解Bolzano--Weierstrass定理.
本节要点内点、外点、界点、聚点、孤立点及开核、导集、闭包、边界及孤立点集等概
念.
本节难点对一个已知的点集E，求这些相关的点集.
一、欧氏空间中各类点的定义
（1）P0为E的内点：
0,使得U（P0,
，记为Eo
（2）P0
为E的外点：
）I
，E的外点的全体记为
Ec.
（3）P0
为E的边界点：
0,有U（P0,
且U（P0,）Ec
，记为
（4）P0为E的聚点：
0,有U（P0,）
（E
{p0}），E的聚点的全体称为
E的
导集，记为E'
（5）P0
为E的孤立点：
E{p0}
（6）P0
为E的接触点：
聚点、边界点不一定属于
E，内点、孤立点一定属于
E.
由定义可知E
E'
{E的孤立点全体}
E'
EE
例1：
（1）令E
Q，则E
R，Eo
（2）令E
1,
L1
L
则E'
{0}
对一切
（k1,2,3,L）均为E的孤立
2
3
k
点
二、聚点的等价定义
定理1下面三个陈述是等价的：
（1）P0E'
；
（2）对
0，U（P0,）P0
（3）E中有各项互异的点列Pk
Pk
P0,k
1,2,3,L
，使Pk
P0k
证明
（1）
（2）是显然的．
（3）：
因为UP,1
{P}
，取P
UP,1
{P}E，则
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P1E且P1
P0.令1
min
dP1,P0
1
，则U
P0,1
中至少有一点P2
E且
P2
P0，P2
P1
.令2
dP2,P0
P0,2
中至少有一点P3
P3
Pii0,1,2
.这样继续下去，便得到点列
Pk且满足要求.
（1）：
0，存在自然数k0，当k
k0时，有P
UP,，即U
P,E
为无限集，故P0E'
.
三
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