全等三角形做辅助线倍长中线截长补短课程教案Word下载.docx
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全等三角形的判定定理：
1、SSS:
三边对应相等的两个三角形全等
2、SAS:
两边以及它们的夹角对应相等的两个三角形全等
3、AAS:
两角以及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等
4、ASA:
两角以及它们的夹边对应相等的两个三角形全等
5、HL:
在直角三角形中，直角边与斜边对应相等的两个三角形全等
二、知识讲解
考点1
遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋
转”.
考点2
截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段
相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明•这种作法适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目.
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E
二、例题精析
【例题1】
【题干】已知：
如图3所示，AD为△ABC的中线，求证：
AB+AO2AD
【答案】
证明：
延长AD至E,使DE=AD，连接EC
••AD是中线
•••DC=DB
VDE=AD,ZCDE=ZBDA,DC=DB
•••△DEFDA
•••CE=AB
在AAEC中CE+AC>
AE,CE=AB
.••AB+AC>
AE
VDE=AD•••AE=2AD
••AB+AC>
•••AB+AC>
2AD
【解析】
分析：
要证AB+AC>
2AD，由图形想到：
AB+BD>
AD,AC+CD>
AD，所以有：
AB+AC+BD+CD>
AD+AD=2AD
但它的左边比要证结论多BD+CD，故不能直接证出此题，而由2AD想到要构造2AD，即加倍中线，把所要证的线段转移到同一个三角形中去。
【例题2】
【题干】已知：
如图1所示，AD为△ABC的中线，且/仁Z2,/3=Z4
求证：
BE+CF>
EF。
d3<
d9+3av
Nd+N3'
申NT3V丑dN=do回
3N=39v（SVS）3NCF^a3GFv
BQ=BQ
Z7=L7
aa=Na
申3NCMfli93CK7^
oa=Nafl'
tnVn仲'
aa=Nava丑：
K®
要证BE+CF>
EF,可利用三角形三边关系定理证明，须把BE,CF,EF移到同一个三角形中，而由已知/仁Z2,
Z3=Z4，可在角的两边截取相等的线段，利用全等三角形的对应边相等，把EN,FN,EF移到同个三角形中。
四、课堂运用
【基础】
1、△KBC中，AB=5,AC=3，则中线AD的取值范围（）
A.1vADv4
B.3vADv13
C.5vADv13
D.9vADv13
A
解：
延长AD至M使得DM=AD显然三角形ABD全等于三角形CDM
所以AB=CM
又CM-ACvAMvCM+AC
所以2<
2*AD<
8
所以1<
AD<
4
2、已知在△ABC中，AB=AC,D在AB上，E在AC的延长线上，DE交BC于F,且DF=EF,
BD=CE
过D作DF//AC交BC于F,
••DF//AC（已知），
•••zDFC=ZFCE,ZDFB=ZACB（平行线的性质），
VAB=AC（已知），
•••启=/ACB（等边对等角），
•••启=ZDFB（等量代换），
•••BD=DF（等角对等边），
••BD=CE（已知），
•••DF=CE（等量代换），
VzDFC=ZFCE，ZDGF=ZCGE（已证），
•••△FG也^CG（AAS）,
•••DG=GE（对应边相等）
GDF也£
EG即可.
过D作DF//AC交BC于F,利用等腰三角形的性质和平行线的性质，求证△
【巩固】
1、已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC，延长BE交AC于F,
AF=EF
延长AD至G,使得AD=DG，连接BG,GC
v/ABC中,AD是BC边上的中线
•••BD=DC
•••△FEs/GBE
•••AF/FE=GB/BE
••AC=BE,AC=BG
•••BE=BG
•••AF=FE
延长AD至G,使得AD=DG，连接BG,GC，根据全等证明AF=EF
2、如图，△ABC中，BD=DC=AC,E是DC的中点，求证：
AD平分/BAE.
延长AE到M，使EM=AE，连结DM
易证ADEM也£
EA
•••zC=ZMDE,DM=AC
又BD=DC=AC
•••DM=BD,ZADC=/CAD
又ZADB=/C+/CAD,ZADM=ZMDE+ZADC
•••zADM=ZADB
•••△DM也ADB
•••zBAD=/MAD
因为BD=DC=AC，所以AC=1/2BC
因为E是DC中点，所以EC=1/2DC=1/2AC
ZACE=ZBCA，所以ABCA^zACE
所以ZABC=/CAE
因为DC=AC，所以/ADC=ZDAC
ZADC=ZABC+/BAD
所以/ABC+ZBAD=ZDAE+/CAE
所以/BAD=/DAE
【拔高】
BAC60,C400,P,Q分别在BC,CA上，并且AP,BQ分别是BAC,
的角平分线。
BQ+AQ=AB+BP
做PMIIBQ，与QC相交与M。
VzAPB=180。
一启AP—/ABP=180°
-30°
-80°
=70°
且/APM=180°
—jAPB—ZMPC=180°
^70°
—£
BC=180°
—0°
T0°
=70
•••zAPB=ZAPM
又VAP是BAC的角平分线，
•••zBAP=/MAP
AP是公共边
•••△BP也AMP（角边角）•••AB=AM,BP=MP
在△MPC中，/MCP=ZMPC=40•••MP=MC•••AB+BP=AM+MP=AM+MC=AC在△QBC中
VzQBC=QCB=40°
•・BQ=QC
.°
.BQ+AQ=AQ+QC=AC.°
.BQ+AQ=AB+BP
做辅助线PMIIBQ，与QC相交与M。
首先算清各角的度数，然后证明全等，即可证明结论
2、女口图，AC//BD,EA,EB分别平分/CAB,/DBA,CD过点E,求证;
AB=AC+BD
C
在AB上取点N,使得AN=AC
ZCAE=/EAN,
AE=AE,
•••△AE也zEAN
•••zANE=ZACE
又AC//BD
•ZACE+ZBDE=180
而ZANE+ZENB=180
•zENB=ZBDE,ZNBE=/EBN
BE=BE
•••△BN也^BD
•••BD=BN
•••AB=AN+BN=AC+BD
根据截长补短的方法以及三角形全等即可得到结论
课程小结
1）遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋
2）截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段
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