完整版高中数学数列问题高考考点专题突破复习题含答案人教A版推荐文档文档格式.docx
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∴Error!
∴an＝a1＋（n－1）d＝n.
1111
∴anan＋1＝n（n＋1）＝n－n＋1，
{1}（1－1）（1－11
11100
－
anan＋1
）（
）101101
∴数列的前100项和为2＋23＋…＋100101＝1－＝.
3．若a，b是函数f（x）＝x2－px＋q（p＞0，q＞0）的两个不同的零点，且a，b，－2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p＋q的值等于（）
A．6B．7C．8D．9
答案D
解析由题意知a＋b＝p，ab＝q，∵p＞0，q＞0，∴a＞0，b＞0.在a，b，－2这三个数的6种排序中，成等差数列的情况有：
a，b，－2；
b，a，－2；
－2，a，b；
－2，b，a；
成等比数列的情况有：
a，－2，b；
b，－2，a.
或Error!
解得Error!
∴p＝5，q＝4，∴p＋q＝9，故选D.
4．（2017·
江西高安中学等九校联考）已知数列{an}是等比数列，数列{bn}是等差数列，若
b3＋b9
a1·
a6·
a11＝33，b1＋b6＋b11＝7π，则tan1－a4·
a8的值是（）
2
A．1B.2
C．－2
D．－
解析{an}是等比数列，{bn}是等差数列，且a1·
a11＝3
7π
3，b1＋b6＋b11＝7π，∴a6＝（3）
3,3b6＝7π，∴a6＝
3，b6＝3，
2×
2b63
∴tan1－a4·
a8＝tan1－a6＝tan1－（3）2
7πππ
（－）（－2π－）
＝tan3＝tan3＝－tan3＝－3.
21
5．（2018·
保定模拟）已知数列{an}的前n项和为Sn，对任意n∈N*都有Sn＝3an－3，若
1<
Sk<
9（k∈N*），则k的值为．
答案4
解析由题意，Sn＝3an－3，
当n≥2时，Sn－1＝3an－1－3，
22
两式相减，得an＝3an－3an－1，
∴an＝－2an－1，又a1＝－1，
∴{an}是以－1为首项，以－2为公比的等比数列，
∴an＝－（－2）n－1，
（－2）k－1
∴Sk＝3，
由1<
9，得4<
（－2）k<
28，又k∈N*，∴k＝4.
题型一等差数列、等比数列的综合问题
例1（2016·
四川）已知数列{an}的首项为1，Sn为数列{an}的前n项和，Sn＋1＝qSn＋1，其中q>
0，n∈N*.
（1）若a2，a3，a2＋a3成等差数列，求数列{an}的通项公式；
y2
（2）设双曲线x2－an＝1的离心率为en，且e2＝2，求e1＋e2＋…＋e2.
解
（1）由已知，Sn＋1＝qSn＋1，得Sn＋2＝qSn＋1＋1，两式相减得an＋2＝qan＋1，n≥1.
又由S2＝qS1＋1得a2＝qa1，
故an＋1＝qan对所有n≥1都成立．
所以数列{an}是首项为1，公比为q的等比数列，从而an＝qn－1.
由a2，a3，a2＋a3成等差数列，可得2a3＝a2＋a2＋a3，所以a3＝2a2，故q＝2.
所以an＝2n－1（n∈N*）．
（2）由
（1）可知，an＝qn－1，
y2
所以双曲线x2－an＝1的离心率en＝1＋an＝1＋q2（n－1）.
由e2＝1＋q2＝2，解得q＝3，所以e1＋e2＋…＋e
＝（1＋1）＋（1＋q2）＋…＋[1＋q2（n－1）]
＝n＋[1＋q2＋…＋q2（n－1）]
q2n－11
＝n＋q2－1＝n＋2（3n－1）．
思维升华等差数列、等比数列综合问题的解题策略
（1）分析已知条件和求解目标，为最终解决问题设置中间问题，例如求和需要先求出通项、求通项需要先求出首项和公差（公比）等，确定解题的顺序．
（2）注意细节：
在等差数列与等比数列综合问题中，如果等比数列的公比不能确定，则要看其是否有等于1的可能，在数列的通项问题中第一项和后面的项能否用同一个公式表示等，这些细节对解题的影响也是巨大的．
3
跟踪训练1（2018·
沧州模拟）已知首项为2的等比数列{an}不是递减数列，其前n项和为Sn（n∈N*），且S3＋a3，S5＋a5，S4＋a4成等差数列．
（1）求数列{an}的通项公式；
1
（2）设Tn＝Sn－Sn（n∈N*），求数列{Tn}的最大项的值与最小项的值．
解
（1）设等比数列{an}的公比为q，
因为S3＋a3，S5＋a5，S4＋a4成等差数列，
所以S5＋a5－S3－a3＝S4＋a4－S5－a5，即4a5＝a3，
a51
于是q2＝a3＝4.
31
又{an}不是递减数列且a1＝2，所以q＝－2.
3
（1）
故等比数列{an}的通项公式为an＝2×
＝（－1）n－1·
2n.
2n－1
（1）
（2）由
（1）得Sn＝1－2n＝Error!
当n为奇数时，Sn随n的增大而减小，
所以1<
Sn≤S1＝2，
11325
故0<
Sn－Sn≤S1－S1＝2－3＝6.
当n为偶数时，Sn随n的增大而增大，
所以4＝S2≤Sn<
1，
11347
故0>
Sn－Sn≥S2－S2＝4－3＝－12.
715
综上，对于n∈N*，总有－12≤Sn－Sn≤6.
57
所以数列{Tn}的最大项的值为6，最小项的值为－12.
题型二数列的通项与求和
例2（2018·
邢台模拟）已知等差数列{an}的公差为2，前n项和为Sn，且S1，S2，S4成等比数列．
4n
（2）令bn＝（－1）n－1anan＋1，求数列{bn}的前n项和Tn.
解
（1）因为S1＝a1，S2＝2a1＋
4×
3
1
2＝2a1＋2，
S4＝4a1＋2×
2＝4a1＋12，由题意得（2a1＋2）2＝a1（4a1＋12），解得a1＝1，所以an＝2n－1.
4n
（2）bn＝（－1）n－1anan＋1
＝（－1）n－1（2n－1）（2n＋1）
n－1（2n11＋1）
111
当n为偶数时，
（1＋）（＋）（1＋
1）（
1＋1）
Tn＝3－3
5＋…＋2n－32n
2n－1－2n－12n＋1
＝1－2n＋1＝2n＋1.
（1＋）（＋）（1＋
1）（1＋1）
当n为奇数时，Tn＝3－35＋…－2n－32n－1＋2n－12n＋1
12n＋2
＝1＋2n＋1＝2n＋1.
2n＋1＋（－1）n－1
所以Tn＝Error!
（或Tn＝2n＋1）
思维升华
（1）一般求数列的通项往往要构造数列，此时从要证的结论出发，这是很重要的解题信息．
（2）根据数列的特点选择合适的求和方法，常用的求和方法有错位相减法、分组转化法、裂项相消法等．
跟踪训练2（2018·
大连模拟）已知数列{an}的前n项和为Sn，且
1n＋1
a1＝2，an＋1＝2nan（n∈N*）．
{an}
（1）证明：
数列n是等比数列；
（2）求数列{an}的通项公式与前n项和Sn.
（1）证明∵a1＝2，an＋1＝2nan，
an
当n∈N*时，n≠0，a11an＋1an1
又1＝2，n＋1∶n＝2（n∈N*）为常数，an11
∴{n}是以2为首项，2为公比的等比数列．
an11
（2）解由{n}是以2为首项，2为公比的等比数列，
an111
得n＝2·
（2）n－1，∴an＝n·
（2）n.
∴Sn＝1·
2＋2·
（2）2＋3·
（2）3＋…＋n·
（2）n，
11111
2Sn＝1·
（2）2＋2·
（2）3＋…＋（n－1）
（2）n＋n·
（2）n＋1，
11
－（）n＋1
11（）（）（）（）
221
1－
（1）
n
∴两式相减得2S＝2＋22＋23＋…＋2n－n·
2n＋1＝2－n·
2n＋1，
∴Sn＝2－
（2）n－1－n·
（2）n
＝2－（n＋2）·
综上，an＝n·
（2）n，Sn＝2－（n＋2）·
题型三数列与其他知识的交汇
命题点1数列与函数的交汇
例3（2018·
长春模拟）设等差数列{an}的公差为d，点（an，bn）在函数f（x）＝2x的图象上
（n∈N*）．
（1）若a1＝－2，点（a8,4b7）在函数f（x）的图象上，求数列{an}的前n项和Sn；
（2）若a1＝1，函数f（x）的图象在点（a2，b2）处的切线在x轴上的截距为2－ln2，求数列
{bn}的前n项和Tn.
aa+2
解
（1）由已知，得b7＝2a7，b8＝2a8＝4b7，
有2a8
＝4×
27＝27，
解得d＝a8－a7＝2，
n（n－1）
所以Sn＝na1＋2d＝－2n＋n（n－1）＝n2－3n.
（2）f′（x）＝2xln2，f′（a2）＝2a2ln2，
故函数f（x）＝2x在（a2，b2）处的切线方程为y－2a2＝2a2ln2（x－a2），
它在x轴上的截距为a2－ln2.
由题意，得a2－ln2＝2－ln2，解得a2＝2，
所以d＝a2－a1＝1.
ann
从而an＝n，bn＝2n，bn＝2n.
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