东南大学计算力学习题及答案汇总版文档格式.docx
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k〈argJ〔k心？
=falpliaLp?
则近似解的位移总体上小于精确解的位移
解释如下：
单元原是连续体的一部分，具有无限多个自由度，在假定了单元的位移函数后，自由度限制为只有以结点位移表示的有限自由度，弓I入了更多的约束和限制，使得单元刚度较实际连续体加强了，连续体的整体刚度随之增加，所以有限元解整体上较真实解偏小。
3请分别阐述单元刚度矩阵和整体刚度矩阵中任一元素的物理意义。
在单刚l-Ke中，坏表示单元第j个位移产生一单位位移，其它位移为零时，第i个位移方向上引起的节点力。
在整体刚度中，Kj表示第j个自由度产生一单位位移，其它自由度为零时，第i个自由度上引起的节点力。
4简述虚功原理，且使用虚功原理导出外荷载与节点荷载的等效关系式。
虚功原理：
变形体中任意满足平衡的力系在任意满足协调条件的变形状态上作的虚功等于零，即体系外力的虚功与内力的虚功之和等于零。
设gf为外荷载（此处为体力），：
pf为节点荷载，twf为单元内位移场，匕『为结点位移场
TT
根据虚功原理「：
e•p[-〕w：
°
qfdV
V
由于{w}e=[N]佃}e故j{{w}ef{q}edV=j{{3}e}T[N]T{q}edV={{§
}e}TJ[N]T{q}edV
VVV
则{{§
門{p}e={{§
汀J[N]t{q}edVn{p}e=J[N]T{q}edV
VV
5试述弹性力学中按位移求解与有限单元法中按位移求解之间的异同点。
弹性力学
有限单元法
物理模型
连续体
离散化结构
基本方程
几何方程
物理方程
平衡微分方程
结点平衡方程
解法
解微分方程
解代数方程
解答形式
用函数表示
用数值表示
解答精度
精确解
近似解
6如果三节点三角形单元绕其中某一个节点作小的刚体转动，其转角为二，证明单元内所有的应力均为零。
在三角形单元中士T-idHbiIJ
由于三角形单元绕其中某一个节点作小的刚体转动，各节点的位移可表示为:
则可知节点位移向量J=：
0,0,-*j,^Xj,-VymJXm』
由于弹性矩阵［D］为常量矩阵，应变向量
:
［为零向量，故「CdK；
［为零向量，即单元内所有的应力为零。
7二维单元在X,y坐标内平面平移到不同位置，单元刚度矩阵相同吗？
在平面内旋转时又怎样？
试证明之。
解：
二维单元在x,y坐标内平面移到不同位置时，
单元平移或旋转时，b，G不变，故单元刚度矩阵不变。
8判断有限元网格离散合理性
a）对图1（a）所示的有限元网格，评论网格的优劣性，指出模型中的错误，并加以改正。
b）评论图1（b）的网格划分合理吗？
请加以改正。
（。
）
图1
（a）网格划分不合理。
1）无过渡单元
2）无边界条件
3）夹角区应力集中，应适当加密风格
4）对称结构网格应对称划分
（b）不合理。
1）左部网格应适当加密
2）由于三角形单元会造成局部精度不够，过渡区可采用其它单元划分
3）右部单元的长宽比较大，就进行适当调整。
9如图2所示，平面三角形构件以x-y坐标系表示的刚度矩阵方程如下
■10
-2.5
1.83
2.51
Ux1〕
>
X11
“亠4
2.5
5.0
-2.5
Vy1
Py1
10
—
Px2
4.5
Ux2
■
一2.5
2.5一
W一
11
Py2一
'
Ux1'
用坐标变换
｛芳｝=T]佃｝则丿
\=“
vy1
y1卜
Ux2cosot|
2
ri
企sinetJ
1
01
其中T]=
cosa
-
sina
0_
试建立以UmUyi,Ux2（与图中巳2侗向的位移）及PXl,Py1,Px2
来表示的刚度矩阵方程。
由kIK]P
IK]It]=
1000
0100
■10-2.52.9640[
4
1.832.52.50
00工0
=
5
-2.54.50.50
3
2.5-2.5-0.50一
00—0
L
5一
101.83
.0
3所示。
试求结点2的等效
-2.52.964Ux1PX1
2.52.5皿〉十1>
20j|uxj[Px2”
10某平面结构采用四节点矩形单元和三节点三角形单元建立有限元计算模型，其如图荷载列阵*2：
?
o
单元①，荷载作用于1-2边上，故等效节点力只与1、号节点有关
则Py=jN^ydsuqlj£
2d匕='
l03
丨°
]
在1-2边上，傀.；
工〒s
iqrj
pl
故节点2的等效荷载列阵
「R2，ql2
13J
1,且设Ke表示第e个单元的单元
11试求如图4所示的有限元网格的整体刚度矩阵，假设每个节点的自由度数为
刚度矩阵（注意：
结果应该用k：
表示）。
单元刚度矩阵「K[⑴-
f8
-6
-2
6
16
-12
-4
-3
0、
K
（1）=
对
13.5
9
-7.5
s
（1）=
-1
-1.5
.2
-0.5
1.5」
9.5
•
称
5.5j
12图5中两个三角形单元组成平行四边形，已知单元①按局部编码
i,j,m的单元刚度矩阵
按图5示单元②的局部编码写出K②，S②。
K①和应力矩阵S①是
由图可知m⑴>
i
（2）,i
（1）>
j⑵,j
（1）>
m
（2）
S
（2）=
1-0.5
1.5
13如图6所示8结点矩形单元（每边中点为结点）,3点为坐标原点,元厚为t。
1求该单元的位移函数和形函数和并检验其是否满足收敛性条件。
2求在2-6-3边作用均布水平荷载q时的等效结点荷载。
（1）位移函数：
-Lu=5Lx：
3y：
jx2：
5xy：
6y2：
7x2y：
8xy2
■2222
VToX11y：
12X：
13xy：
14y：
15Xy16xy
引入无量纲的局部坐标
X1X3屮y
则n=3,X2,、2：
22
故1=0,2,3=1,1=0,2:
11=2（-1）（
3=1
-1）,12一（-1）」3
=2（_2）,p—2（--）（-1），p--4（-1），p3
2（--）
则n=2时，^0,2=1,4=0,2=1h=1-」2二，P1=1-，P2虫：
则角节点的形函数为
11“11
N^<
C--）（--）,N^4C--）（~-）C-1）
2222
N3=4（-2）（一1）（_才）（_1）,N4=4（—£
）（-1）（-1）
边中节点的形函数为
N5=一4（-1）,N^-4（一1）（1一）,N7=-4（一1）（1一）,N8=-4（-1）
证明收敛性：
位移函数中
厂2222
+a5xy+G6y+a7xy+a8Xy
2222
丫=。
9+。
10*+口11丫+0（12乂+ct13xy+c（14y+a15xy+c（16xy
1,-S表示刚体位移，-：
：
2,二3和二9,二10表示常应变，故位移函数具有完备性
设相邻单元公共边界上的直线方程是y=b（或x=a），代入位移函数中
r222
u予+a3b+°
6b+（a2+°
5b+°
8b）x+（o4+a7b）x
222
y=C（9+c（11b+c（14b+（O（10+c（13b）+c（16bX+（。
伐+G^b）X
为x（或y）的2次函数，而边界上三点确定的位移函数为也为二次曲线，故单元在公共边界连续，故位移函数收敛
（2）荷载作用在2-3边上，故等效节点力只与2,6,3号节点有关
1111
N2=4（-一）（一一）（一1）,N6=—4（-1）（1一），N3=4（-一）（一1）（一一）「一1）
N2?
N6：
N3
亠44（—2）y
2=0，仝=0匹卫匹
ds二
（；
X）2（；
y）2d=2d
乐=t.Mqxds=2qt.弘在^-qtBx=t.Wqxds
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