三元一次方程组的解法 精品课教案.docx
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三元一次方程组的解法精品课教案
三元一次方程组的解法
【教学目标】
1.通过教学三元一次方程组,培养学生的运算能力、推理能力。
2.了解三元一次方程组的定义;
3.掌握三元一次方程组的解法。
【教学重难点】
重点:
三元一次方程组的解法
难点:
三元一次方程组的解法过程中的方法选择
【课时设计】
2课时
【第一课时】
【教学过程】
(一)课前设计
一、预习任务
阅读教材,思考:
什么是三元一次方程?
什么是三元一次方程组?
解三元一次方程组的步骤是?
二、预习自测
1.下列方程,是三元一次方程的是(D)
A.
B.
C.
D.
2.下列方程组中,是三元一次方程组的是(B)
A.
B.
C.
D.
3.解方程组
要使运算简便,消元应选(B)
A.先消xB.先消yC.先消zD.先消常数项
(二)课堂设计
1.知识回顾
(1)解二元一次方程组的基本思想:
消元思想;
(2)解二元一次方程组的常见消元方法:
(3)代入消元法;
(4)加减消元法。
2.问题探究
探究1:
认识三元一次方程组
小明手头有12张面额分别是1元、2元、5元的纸币,共计22元,其中1元纸币的数量是2元纸币数量的4倍。
求1元、2元、5元的纸币各多少张?
设1元、2元、5元的纸币分别是
张、
张、
张,根据题意可以得到下列三个方程:
三元一次方程组:
含有三个相同的未知数,每个方程中含未知数的项的次数都是1,并且一共有三个方程,像这样的方程组叫做三元一次方程组。
探究2:
如何解三元一次方程组
二元一次方程组可以利用法或法消去一个未知数,化成方程求解。
那么能否用同样的思路,消去三元一次方程组的一个或两个未知数,把它转化成二元一次方程组或一元一次方程呢?
观察方程组:
①
②
③
仿照前面学过的代入法,可以把
分别带入
,得到两个只含y,z的方程:
4y+y+z=12
4y+2y+5z=22
即
得到二元一次方程组后就不难求出y和z的值,进而可以求出x了。
【典例剖析】
解方程组
解:
由①+③,②+2×③消去z得
解得
,
代入①得z=3.
即原方程组的解为
三、课堂总结
【知识梳理】
解三元一次方程组的基本思路是:
通过“”或“”进行消元,把“”转化为“”,使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组,进而再转化为解一元一次方程。
【重难点突破】
解三元一次方程组时,确定消元对象的方法:
当方程组中有二元的方程时,则让另外两方程相加、减消去第一个方程中不含的未知数,从而化三元为二元;当方程组中的三个方程均有三个未知数时,则观察三个未知数的系数,一般选择系数较为简单的未知数作为消元对象。
解三元一次方程组的技巧:
对具有特殊形式的三元一次方程组,通常将三个方程同时进行适当变形。
四、随堂检测
1.将三元一次方程组
经过步骤①-③和③×4+②消去未知数z后,得到的二元一次方程组是(A)
A.
B.
C.
D.
知识点:
解三元一次方程组
2.已知方程组
的解满足x+y=3,则k的值为(B)
A.10B.8C.2D.-8
知识点:
解三元一次方程组
3.由方程组
可以得到
的值等于(A)
A.8B.9C.10D.11
知识点:
解三元一次方程组
4.解下列三元一次方程组:
①
②③
(1)
(2)
知识点:
解三元一次方程组
解:
(1)由①,得y=4-2x。
④
由②,得z=
。
⑤
把④、⑤代入③,得x+4-2x+
=7.解得x=-2.
所以y=8,z=1.
所以原方程组的解为
(2)由①,得y=5x。
④
由②,得z=
y=
x。
⑤
把④、⑤代入③,得x+5x+
x=27.解得x=2.
所以y=10,z=15.
所以原方程组的解为
【第二课时】
【教学过程】
(一)课前设计
一、预习任务
阅读教材,思考:
运用三元一次方程组解决实际问题的关键是什么?
一般步骤是什么?
二、预习自测
1.下列方程,是三元一次方程的是(D)
A.
B.
C.
D.
2.下列方程组中,是三元一次方程组的是(B)
A.
B.
C.
D.
3.解方程组
要使运算简便,消元应选(B)
A.先消xB.先消yC.先消zD.先消常数项
(二)课堂设计
1.知识回顾
(1)解三元一次方程组的基本思路是什么?
消元
(2)采用哪些方法进行消元?
加减消元法、代入消元法
2.问题探究
【探究一】三元一次方程组解决非负数问题
例1若|a-b-1|+(b-2a+c)2+|2c-b|=0,求a,b,c的值。
【知识点:
解三元一次方程组】
解析:
本题考查非负数性质的综合应用,要使等式成立必须使每个非负数都为0.
解:
因为三个非负数的和等于0,所以每个非负数都为0.
可得方程组
,解得
方法总结:
非负数之和为0,隐含着每个非负数都为0,从而可列方程组求解。
【探究二】利用三元一次方程组求数字问题
例2一个三位数,十位上的数字是个位上的数字的
,百位上的数字与十位上的数字之和比个位上的数字大1.将百位与个位上的数字对调后得到的新三位数比原三位数大495,求原三位数。
【知识点:
三元一次方程组的应用】
解析:
设原三位数百位、十位、个位上的数字分别为x,y,z,则原三位数可表示为100x+10y+z。
解:
设原三位数百位、十位、个位上的数字分别为x、y、z。
由题意,得
,解得
答:
原三位数是368.
方法总结:
解数字问题的关键是正确地用代数式表示数。
如果一个两位数的十位上的数字为a,个位上的数字为b,那么这个两位数可表示为10a+B.如果一个三位数的百位上的数字为a,十位上的数字为b,个位上的数字为c,那么这个三位数可表示为100a+10b+c,依此类推。
【探究三】列三元一次方程组解决实际问题
例3某汽车在相距70km的甲、乙两地往返行驶,因途中有一坡度均匀的小山。
该汽车从甲地到乙地需要2.5h,而从乙地到甲地需要2.3h。
假设汽车在平路、上坡路、下坡路的时速分别是30km、20km、40km,则从甲地到乙地的过程中,上坡路、平路、下坡路的长度各是多少?
【知识点:
三元一次方程组的应用】
解析:
题中有三个等量关系:
1上坡路长度+平路长度+下坡路长度=70km;
2从甲地到乙地的过程中,上坡时间+平路时间+下坡时间=2.5h;
3从乙地到甲地的过程中,上坡时间+平路时间+下坡时间=2.3h。
解:
设从甲地到乙地的过程中,上坡路、平路、下坡路的长度分别是xkm,ykm和zkm。
由题意,得
,解得
答:
从甲地到乙地的过程中,上坡路是12km,平路是54km,下坡路是4km。
方法总结:
解此题的关键是理解汽车在往返行驶的过程中,如果从甲地到乙地是上坡路段,那么从乙地到甲地时就变成了下坡路段。
三、课堂总结
【知识梳理】
三元一次方程组的解法
一元一次方程
三元一次方程组
消元
二元一次方程组
消元
1.审:
弄清题意,找出已知量、未知量及三个等量关系;2.设:
设出三个未知数;3.列:
根据等量关系列出三元一次方程组;4.解:
解所列的三元一次方程组,求出未知数的值;5.答:
写出答案.
列三元一次方程组解应用题
应用
步骤
【重难点突破】
方程组解决实际问题方法
在解决实际问题时,若未知量较多,要考虑设三个未知数,但同时应注意,设几个未知数,就要找到几个等量关系列几个方程。
四、随堂检测
1.在等式
中,当
时,
当
时,
当
时,
求
的值。
【知识点:
解三元一次方程组】
解:
将x,y带入可得:
-
=3a+3b=3
-
=21a+3b=57
所以:
18a=54
解得:
2.若|x+2y-5|+(2y+3z-13)2+(3z+x-10)2=0,试求x,y,z的值。
【知识点:
解三元一次方程组】
解:
①
②
③
所以
,
①+②+③得:
④
④-②得:
x=1
④-③得:
y=2
④-①得:
z=3
则
所以x,y,z的值分别为1,2,3.
3.甲、乙、丙三个数的和是35,甲数的2倍比乙数大5,乙数的三分之一等于丙数的二分之一。
求这三个数。
【知识点:
三元一次方程组的应用】
解:
设甲数为x,乙数为y,丙数为z,由题意,得
解得:
答:
甲数为10,乙数为15,丙数为10.
4.伦敦奥运会,中国运动员获得金、银、铜牌共87枚,奖牌总数位列世界第二。
其中金牌比银牌与铜牌之和少11枚,银牌比铜牌多5枚。
问金、银、铜牌各多少枚?
【知识点:
三元一次方程组的应用】
解:
设金牌x枚、银牌y枚、铜牌z枚。
根据题意列出三元一次方程:
解得:
答:
金牌有38枚、银牌27枚、铜牌22枚。