数列例题含答案docWord格式.docx
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ny4n
2.等差数列｛%｝中，a2=4,a4+a7=15.
（I）求数列｛如｝的通项公式；
（II）设bn=2J2+n,求bi+b2+b3+・・・+bio的值.
解得「1一3ld=l
所以an=3+（n-1）=n+2；
（Il）bn=2J^+n=2n+n,
所以bi+b2+b3+...+bio=（2+1）+（22+2）+...+（210+10）=（2+22+...+210）+（1+2+...+10）
2（1-210）（1+10）X10oini
1-22
3.已知数列｛10g2（an・l）｝（nEN*）为等差数列，且a1=3,a3=9.（I）求数列｛如｝的通项公式；
（II）证明一—+——+•••+——丄一<
1・a2~ala3~a2an+l~an
【解答】
（I）解：
设等差数列｛log2（an・1）｝的公差为d.
由aj=3,213=9得2（log22+d）=log22+log28>
即d=l・所以log2（an-1）=1+（n-1）xl=n,即an=2n+1.
（II）证明：
因为——-——=-—^——=—,
an+l~an2n1-2n2n
所以一-—+—-—+...+二斗丄+2+...」=——=1
a2~ala3~a2an+l~an2】2，2」2“1-当2n
2
即得证.
4.已知｛a.｝是正数组成的数列，纲二1,且点（屁,an+1）（nEN：
）在函数y=x2+l的图象
（I）求数列｛如｝的通项公式；
（II）若列数｛bn｝满足bi=l,bn+l=bn+2an,求证:
5呱+2Vg+l?
.
解法一：
（I）由已知得an+i=an4-l>
即an+i-an=l,又a〕=l,所以数列｛an｝是以1为首项，公差为1的等差数列.故an=1+（n-1）xl=n.
（II）由（I）知:
an=n从而bn+i-bn=2n.
bn=（bn~bn-1）+（bn.1*bn-2）+•••+（b2*bj）+bi=2n'
1+2n'
2+...+2+l
2n（bi-2）
-2n<
・・bn・bn+2<
5+1
5.已知等差数列｛a*｝满足ai+a2=10,a4-a^=2
（1）求｛an｝的通项公式；
（2）设等比数列｛"
｝满足b2=a3,b3N7，问：
b6与数列｛细｝的第几项相等?
【解答】解：
（I）设等差数列｛和的公差为d.
a4-a3=2,所以d=2
Vai+a2=10,所以2ai+d=10
Abg=4X26_1=128,而128=2n+2•:
n=63
・・.b6与数列｛a訂中的第63项相等
6.设等差数列仙｝的前n项和为S”H.as+a13=34,S3=9.
（1）求数列｛如｝的通项公式及前n项和公式；
（2）设数列｛bn｝的通项公式为b二一，问：
是否存在正整数t,使得b],b2,bin（m>
3,nan+t
mGN）成等差数列？
若存在，求出t和m的值；
若不存在，请说明理由.
（1）设等差数列心“｝的公差为d.由已知得
（2）[Il
（1）
2n—I
知b二cr•要使bi，b2,bm成等差数列，必须2b2二bi+bnv
n2n_1+t
即2X3
_+-2in~1，（8分）.
3+t1+t2m-1+t
移项得：
壬一丄二申字L，
2id_1+t3+t1+t（3+t）（1+t）
整理得昉彳+占，
t-1
因为m,t为正整数，所以t只能取2,3,5.当t=2时,m=7；
当t=3时，m=5；
当（=5时，m=4.故存在正整数t,使得b|,b2,bg成等差数列.
7.设｛如｝是等差数列，b„=d）an.已知b]+b2+b3二豎，b]b2b3=g.求等差数列的通项an.
288
设等差数列｛细｝的公差为d,则an=ai+（n-1）d.
.疗
（1）aZ-l）d
b.b3=
（1）5.（£
）幻+2J申24严电2
由b]b2b3=g,得b23=-^»
88
解得b2=l.
代入已知条件＜
blb2b3^
21
bl+b2+b3=l■-
bib3=i
bl+b3=V'
解这个方程组得b]=2,&
3=当或山=吉，b3=2
•e.a）=-1,d=2或a）=3>
d=-2.所以，当ai=-1,d=2时an=a）+（n-1）d=2n-3・
当ai=3,d=-2时
an=ai+（n-1）d=5-2n.
8.已知等差数列闵｝的公差大于0,.H.a3,巧是方程x2-14x+45=0的两根，数列｛g｝的前n项的和为Sn，且Sn=l
乙
（1）求数列｛an｝,｛bn｝的通项公式;
（2）记Cn=3nbn>
求证Cn+l—Cn«
（1）Tas，as是方程x2-14x4-45=0的两根，_FL数列｛a“｝的公差d>
0,
••』3=5,a5=9,公差d~-2.
5-3
/.an=a5+（n-5）d=2n-1.
又当时,有b]»
i・务，・・・切二■!
・•
当r>
2时,有b/Sn-Sn-g<
bn-!
-bn）,・••占諾（n》2）.
乙Mn_1
・・・数列｛bn｝是等比数列，切€，q冷.
OO
・k-k二
_2（2n+l）Cn+1-3“+1
•，bn-blq-彳丫
亠-2（2n-l）
（2）由（I）知Cn二二——，
8（1-n）
nnn
2（2n+l）2（2n-l）
cn+lcn~3^+12n—3廿1
••cn+l-crv
9.已知等差数列｛an｝的前n项和为Sn，S5=35,和a?
的等差中项为13・
（I）求如及Sn；
d4
（II）令b肿「一（nGN）,求数列｛bn｝的前n项和Tn.
證-1
（I）设等差数列｛an｝的公差为d,
因为S5=5a3=35,35+37=26,
解得ai=3,d=2,...（4分）
所以an=3+2（n-I）=2n+l；
Sn=3n~x2=n2+2n・...（6分）
（8分）
（II）由（I）知an=2n+1,
所以bn-
=1_1
~nn+1
所以Tf（V）+Q送）+…+（歸）»
岛侖，2分）
10.已知等怎数列｛如｝是递增数列，H•满足a4ea7=15,a3+a8=8.
（I）求数列｛an｝的通项公式；
（II）令bn二一-——（n>
2）,bi=g,求数列｛%｝的前n项和Sn.
9an-lan3
（1）根据题意：
a34-ag=8=a4+a7,04*37=15,知：
g,幻是力程x2-8x+15=0的两根，且a4<
a7
解得如=3,a7=5,设数歹1」血｝的公差为d
由巧二*4+（7_4）陀，得故等差数列曲的通项公式为：
an=a4+（n-4）・d二3+（n~4）詣二畔
（2）
2（2^T'
dr:
：
l
11.设f（x）=x3,等差数列｛a*｝中a3=7,ai+a2+a3=12,记Sn=f（冷&
十】），令bn=anSn,数列｛*｝的前n项和为Tn・
bn
（I）求｛a.｝的通项公式和Sn；
（II）求证：
T<
-^；
n3
（HI）是否存在正整数m,n,且IVm<
n,使得T|,Tm,G成等比数列？
若存在，求出m,n的值，若不存在，说明理由.
（I）设数列｛a*｝的公差为d,由a3=ai+2d=7,a1+a2+a3=3a1+3d=12.
解得ai=l,d=3/.an=3n-2
•**f（x）=x3ASn=f（和廿詁=an+i=3n+l.
（II）bn=anSn=（3n-2）（3n+l）
・••丄二^~~4（亠—亠八・・T4（1一丄）V
bn（3n_2）（3n+l）33n_23n+ln33n+l3
（III）由
（2）知，T二~^—・・・T、二丄，T
n3n+l4
./id\21n即6irr+l3n+4
•3irrFl=43n+l
当mn7时，m2-6m-1=（m-3）2-l（）>
0,则如学<
1,而西邑二3畀>
3,m2nn
所以，此时不存在正整数m,n,且1<
m<
n,使得T],Tm,G成等比数列.
综上，存在正整数m=2,n=16,Kl<
n,使得Ti，Tm,T“成等比数列.
12.已知等差数列&
｝的前n项和为Sn=pn2-2n+q（p,qGR）,nGN+.
（I）求的q值；
（II）若ai与as的等差中项为18,%满足an=21og2bn，求数列｛g｝的前n和口・
（I）当n=l吋，ai=Si=p-2+q
当n>
2时,an=Sn-Sn-i=pn-2n+q-p（n-1）+2（n-1）-q=2pn-p-2V｛a„｝是等差数列,ai符合42时,an的形式,
p-2+q=2p-p-2,
q=0
ai+ac
（II）••冷3二；
，由题意得a3=18
又a3=6p-p-2,6p-p-2=18,解得p=4
•Ian=8n-6
由an=21og2bn,得bn=24n'
3.
bq4（n+1）~3
・・・b产2,浮二一二2"
1二16,即血｝是首项为2,公比为16的等比数列
1bn24n'
3
，.数列｛bn｝的前n项和T#（二J）舞（16^-1）•
13.已知等差数列心計的前n项和为Sn，R满足：
a2+34=14,S?
=70.
（I）求数列an的通项公式；
（II）设bn=2Sn+48>
数列九的最小项是第儿项，并求出该项的值.
n
"
2»
+4d二14【解答】解：
（I）设公差为d,则有彳b”...（2分）
i+21d二70
f
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