版人教A版高中数学必修二同步学习讲义第二章 点直线平面之间的位置关系章末复习课 Word版含答案Word下载.docx

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α∥β，

α∩γ＝，

β∩γ＝

α∥β，⊂β

α∥β

（）空间中的平行关系的内在联系

．垂直的判定与性质

（）直线与平面垂直的判定与性质

⊥，⊂α（为α内的任意直线）

⊥α

⊥，⊥，、⊂α，∩＝

∥，⊥α

⊥α，⊂α

⊥

⊥α，⊥α

（）平面与平面垂直的判定与性质定理

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判定定理

如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直

⇒α⊥β

性质定理

如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面

⇒⊥α

（）空间中的垂直关系的内在联系

．空间角

（）异面直线所成的角

①定义：

设，是两条异面直线，经过空间任一点作直线′∥，′∥，把′与′所成的锐角（或直角）叫做异面直线，所成的角（或夹角）．

②范围：

设两异面直线所成角为θ，则°

<

θ≤°

.

（）直线和平面所成的角

①平面的一条斜线与它在平面内的射影所成的锐角叫做这条直线与这个平面所成的角．

②当直线与平面垂直和平行（或直线在平面内）时，规定直线和平面所成的角分别为°

和°

（）二面角的有关概念

①二面角：

从一条直线和由这条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．

②二面角的平面角：

以二面角的棱上任意一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角．

类型一几何中共点、共线、共面问题

例如图所示，空间四边形中，，分别为，的中点，，分别在，上，且∶＝∶＝∶.

求证：

（）、、、四点共面；

（）与的交点在直线上．

证明（）∵∶＝∶，

∴∥，

又∥，∴∥，

∴、、、四点共面．

（）∵、不是、的中点，∴≠.

又∥，∴与不平行，

则必相交，设交点为.

⇒∈面且∈面

⇒在面与面的交线上，

又面∩面＝⇒∈.

∴与的交点在直线上．

反思与感悟（）证明共面问题

证明共面问题，一般有两种证法：

一是由某些元素确定一个平面，再证明其余元素在这个平面内；

二是分别由不同元素确定若干个平面，再证明这些平面重合．

（）证明三点共线问题

证明空间三点共线问题，通常证明这些点都在两个面的交线上，即先确定出某两点在某两个平面的交线上，再证明第三个点是两个平面的公共点，当然必在两个平面的交线上．

（）证明三线共点问题

证明空间三线共点问题，先证两条直线交于一点，再证明第三条直线经过这点，把问题转化为证明点在直线上的问题．

跟踪训练如图，是正方体－上底面的中心，是正方体对角线和截面的交点．求证：

、、三点共线．

证明∵∈，⊂平面，

∴∈平面.

∵∈，⊂平面，

又已知∈平面，

即有、、三点都在平面上，又、、三点都在平面上，所以、、三点都在平面与平面的交线上，

所以、、三点共线．

类型二平行、垂直关系

例如图，在直三棱柱－中，＝，，分别是棱，上的点（点不同于点），且⊥，为的中点．

（）平面⊥平面；

（）直线∥平面.

证明（）因为－是直三棱柱，

所以⊥平面.

又⊂平面，所以⊥.

又因为⊥，

，⊂平面，

所以⊥平面.又⊂平面，

所以平面⊥平面.

（）因为＝，为的中点，

所以⊥.

因为⊥平面，

且⊂平面，

又因为，⊂平面，

由（）知⊥平面，

所以∥.

又⊂平面，⊄平面，

所以∥平面.

引申探究

如图所示，在直三棱柱－中，＝，＝，＝，＝，点是的中点．

（）求证：

⊥，

∥平面.

证明（）在直三棱柱－中，底面三边长＝，＝，＝，所以⊥.

又因为⊥，∩＝，

因为⊂平面，

（）设与的交点为，连接，四边形为正方形．

因为是的中点，是的中点，

⊄平面，

反思与感悟（）判断线面平行的两种常用方法

面面平行判定的落脚点是线面平行，因此掌握线面平行的判定方法是必要的，判定线面平行的两种方法：

①利用线面平行的判定定理．

②利用面面平行的性质，即当两平面平行时，其中一平面内的任一直线平行于另一平面．

（）判断面面平行的常用方法

①利用面面平行的判定定理．

②面面平行的传递性（α∥β，β∥γ⇒α∥γ）．

③利用线面垂直的性质（⊥α，⊥β⇒α∥β）．

（）判定线面垂直的方法

①线面垂直定义（一般不易验证任意性）．

②线面垂直的判定定理（⊥，⊥，⊂α，⊂α，∩＝⇒⊥α）．

③平行线垂直平面的传递性质（∥，⊥α⇒⊥α）．

④面面垂直的性质（α⊥β，α∩β＝，⊂β，⊥⇒⊥α）．

⑤面面平行的性质（⊥α，α∥β⇒⊥β）．

⑥面面垂直的性质（α∩β＝，α⊥γ，β⊥γ⇒⊥γ）．

跟踪训练如图，是圆的直径，垂直圆所在的平面，是圆上的点．

⊥平面；

（）设为的中点，为△的重心，求证：

证明（）由是圆的直径，得⊥，由⊥平面，⊂平面，得⊥.

又∩＝，⊂平面，⊂平面，

（）连接并延长交于点，

连接，，由为△的重心，得为的中点．

由为的中点，得∥，

又为的中点，得∥.

因为∩＝，⊂平面，⊂平面，∩＝，⊂平面，⊂平面，

所以平面∥平面.

因为⊂平面，所以∥平面.

类型三空间角的求解

例如图所示，四棱锥－的底面是平行四边形，＝＝，＝，＝＝，，分别是棱，的中点．

（）证明：

∥平面；

（）若二面角－－为°

①证明：

平面⊥平面；

②求直线与平面所成角的正弦值．

（）证明如图所示，取的中点，连接，.

因为为的中点，所以∥，且＝.

由已知有∥，＝，

又由于为的中点，

因而∥且＝，

故四边形为平行四边形，所以∥.

又⊂平面，而⊄平面，

（）①证明连接，.

因为＝，＝，而为的中点，

所以⊥，⊥，

所以∠为二面角－－的平面角．

在△中，由＝＝，＝，可解得＝.

在△中，＝，＝，∠＝°

，故可得∠＝°

，即⊥.

又∥，⊥，从而⊥，又∩＝，

因此⊥平面.

又⊂平面，所以平面⊥平面.

②解连接，由①知，⊥平面，所以∠为直线与平面所成的角．由＝及已知，得∠为直角，而＝＝，可得＝，故＝.又＝，故在△中，

∠＝＝.所以直线与平面所成角的正弦值为.

反思与感悟（）求异面直线所成的角常用平移转化法（转化为相交直线的夹角）．

（）求直线与平面所成的角常用射影转化法（即作垂线、找射影）．

（）二面角的平面角的作法常有三种：

①定义法；

②垂线法；

③垂面法．

跟踪训练如图，正方体的棱长为，′∩′＝，求：

（）与′′所成角的大小；

（）与平面所成角的正切值；

（）平面与平面所成角的大小．

解（）∵′′∥，

∴与′′所成的角就是∠.

∵⊥平面′，⊂平面′，

∴⊥，又⊥，∩＝，

∴⊥平面.

又⊂平面，∴⊥.

在△中，＝，＝，

∠＝＝，

∴∠＝°

即与′′所成角为°

（）如图，作⊥于，连接.

∵平面′⊥平面，

∴⊥平面，

∴∠为与平面所成的角．

在△中，＝，＝＝，

∴∠＝＝.

即与平面所成角的正切值为.

（）∵⊥，⊥，∩＝，

又∵⊂平面，

∴平面⊥平面.

即平面与平面所成角为°

．若，，是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是（）

．⊥，⊥⇒∥

．⊥，∥⇒⊥

．∥∥⇒，，共面

．，，共点⇒，，共面

答案

解析当⊥，⊥时，也可能与相交或异面，故错；

⊥，∥⇒⊥，正确；

当∥∥时，，，未必共面，如三棱柱的三条侧棱，故错；

，，共点时，，，未必共面，如正方体中从同一顶点出发的三条棱，故错．

．设有不同的直线、和不同的平面α、β，下列四个命题中，正确的是（）

．若∥α，∥α，则∥

．若⊂α，⊂α，∥β，∥β，则α∥β

．若α⊥β，⊂α，则⊥β

．若α⊥β，⊥β，⊄α，则∥α

解析选项中当∥α，∥α时，与可以平行、相交、异面；

选项中满足条件的α与β可以平行，也可以相交；

选项中，当α⊥β，⊂α时，与β可以垂直，也可以平行等．故选项、、均不正确．

．在正方体－中，为的中点，则与平面的关系是．

答案∥平面

解析如图，连接交于点，连接.

在△中，綊，⊄平面，⊂平面，

∴∥平面.

．空间四边形中，平面⊥平面，∠＝°

，∠＝°

，且＝，则与平面所成的角是．

答案°

解析如图所示，取的中点，连接，.

因为＝，所以⊥，又平面⊥平面，所以⊥平面.

因此，∠即为与平面所成的角．

由于∠＝°

＝∠，

所以＝＝，

又⊥，所以∠＝°

．如图，在棱锥－中，，，分别为棱，，的中点．已知⊥，＝，＝，＝.

（）直线∥平面；

（）平面⊥平面.

证明（）因为，分别为棱，的中点，所以∥.

又因为⊄平面，⊂平面，

所以直线∥平面.

（）因为，，分别为棱，，的中点，＝，＝，所以∥，＝＝，＝＝.

又因为＝，故＝＋，

所以∠＝°

又⊥，∥，所以⊥.

因为∩＝，⊂平面，⊂平面，

一、平行关系

．平行问题的转化关系

．直线与平面平行的主要判定方法

（）定义法；

（）判定定理；

（）面与面平行的性质．

．平面与平面平行的主要判定方法

（）推论；

（）⊥α，⊥β⇒α∥β.

二、垂直关系

．空间中垂直关系的相互转化

．判定线面垂直的常用方法

（）利用线面垂直的判定定理．

（）利用“两平行线中的一条与平面垂直，则另一条也与这个平面垂直”．

（）利用“一条直线垂直于两平行平面中的一个，则与另一个也垂直”．

（）利用面面垂直的性质．

．判定线线垂直的方法

（）平面几何中证明线线垂直的方法．

（）线面垂直的性质：

⊥α，⊂α⇒⊥.

⊥α，∥α⇒⊥.

．判断面面垂直的方法

（）利用定义：

两个平面相交，所成的二面角是直二面角．

（）判定定理：

⊂α，⊥β⇒α⊥β.

三、空间角的求法

．找异面直线所成角的三种方法

（）利用图中已有的平行线平移．

（）利用特殊点（线段的端点或中点）作平行线平移．

（）补形平移．

．线面角：

求斜线与平面所成的角关键是找到斜线在平面内的射影，即确定过斜线上一点向平面所作垂线的垂足．通常是解由斜线段、垂线段、斜线在平面内的射影所组成的直角三角形．

课时作业

一、选择题

．下列说法正确的是（）

．经过空间内的三个点有且只有一个平面

．如果直