第三章误差分析与处理Word文档格式.docx
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4=1,~厶/,.是第i次测量值，厶3是真值。
当真值为未知时，应该说上式不能求得标准差。
在有限次测量情况下，可用残余误差气代替真值误差。
vr=Zr-x,疋是测量平均值，元=（工厶）/"
•岭是厶的残余误差。
我们将Q=/,—厶）作一些变形替换，并令,
展开:
何=1-工+—厶
令①二元一厶）为算术平均值的误差
D亠口-尽。
（当丘上%代入时）
毎=丄工4
H即算术平均值的误差
将（3-2）式平方后相加
（仁W+2呱+心）
a=丄yd
将式T«
r的两边平方
£
=（丄工忙4（2X+2工阴）
1111\<
i<
j
^2_丄『§
2
当n足够大时，工认为趋于零，将1,代入（3-3）式
由（3-1）式可知工呼="
b-
...亠工"
"
半％“）—4）
式（3-4）称为Bessel公式，由残余误差求得单次测量的标准差的估计值。
（根据我国《通用计量名词及定义》，对一列有限次n个测量值，应视为测量总体的取样，所求得的标准差估计值用代号s表示，以区别于总体标准差这里对标准差估计值仍用6对实际测量时计算有限次测量值的标准差，则用代号s・）
不等精度测咼时，其随机误差的表达方式是不一样的，一般采用加权处理的方法，应让可靠程度大的测量结果在最后结果中占的比重大一些，可靠程度低的比重小一些。
在等精度测量中各个测得值认为同样可靠，并取所有测得值的算术平均值作为最后测量结果。
权值取法：
重复次数多的，一般可靠程度髙，则用次数来确定权的大小。
3-2.系统误差
1.原因同上。
2.特点：
在同一条件下，多次测虽同一量值时，按一定规律变化的误差。
如：
不变的系统误差：
符号和大小固左不变的系统误差，如量块10mm,实测为
10.001mm,则0.001始终存在，用它去作连续测量，误差将是线性变化。
又如周期变化：
指针式仪表指针的回转中心与刻度量中心有偏值时，
△/=
图3—2
3.系统误差的发现
1.实验比对法
采用不同条件或不同的测量方法，可发现不变的系统误差。
如量块用更高等级精度量具进行比对测屋。
2•残余误差观察法
若测量列:
也
系统误差：
纠'
A'
……A/n不含系统误差的值：
也……
则有/,=/,+A/,（z=l,2,……,n）其算术平均值：
元=亍+£
这里：
无=;
工厶•元=;
》厶2元=7》丛
其残余误差：
岭=/厂元将两式相减
...V,.=v；
+（A/;
-Ax）（3_5）
（V._#：
=£
—元_r+〒），（△/,=1：
—/pAx=工一〒）
若系统误差显著大于随机误差，'
‘；
（不含系统误差的残差）可予忽略，则得到:
*=△厶—Ax
说明测疑值残余误差，近视等于系统误差与测量值系统的平均值之差。
也可将测量列的残余误差列表或作图，直观判断有无系统误差。
若残余误差大体上是正负相间，则无根据怀疑有系统误差
若残余误差值有规律地递增或递减，且在测量开始和结束是符号相反，则存在系统误差。
若残余误差符号循环交替变化，则存在周期性系统误差。
若存在图所示的变化规律时，则应怀疑同时存在线性系统误差和周期性系统误
差。
残余误差观察法只能发现有规律变化的系统決差，若系统误差是一个不变值,用残余误差法是发现不了的。
3•残余误差校核法
a.用于发现线性误差
取测量列中k个残余误差相加,再取（n-k）个残余误差相加,（当n为偶数时，取k=nJ2；
当n为奇数时，取k=（"
+%。
然后两式相减
J—l
（3-6）
将（3-5）代入
△S（A7.-Ax）+Xv；
-XV；
/-IiS+lr-1i-A+1
工v：
总22a0
当n足够大时，,（这是因为v；
=/；
-r,是不含系统误
差的测量值与英本身的平均值之差，只有随机误差，但随机误差的均值随着测疑次数的增加而趋于零。
）
kn
A=工（△/厂£
）-》（△/丿-AJ）=纠_亠
/.R+1
若两部分差值显著不为零，则有理由认为存在线性系统误差，这种方法又叫马利科夫准则。
它能有效地发现线性系统误差。
有时系统误差有，但零系统误差的平均值等于，此时△也为零，所以对这种情况要注意。
b.用于发现周期性误差
1）•若有残余误差U心'
……'
叫，英残余误差差值⑴一片+J符号出现周期性正负号变化，则为周期性系统误差。
2）.统计准则判别
这种方法只有当周期性系统误差是整个测量误差的主要成分时，才有实用效果。
否则，差值的符号变化将主要取决于随机误差，而不能判断出周期性系统误差。
此时，可采用下列判断准则
令“=卜化+吵3+……+气丿”I=|EV/V-1
若If>
J“一1/（CT2=—-—VV-2）
11-\
则认为含有周期性系统误差。
这种校核方法又称阿碑一赫梅特准则。
还有一些校核方法：
如标准差比较法、数据比较法、秩和检验法、t检验法等。
4.系统误差的减小和消除
1.从根源上消除
要分析测量系统的各个环肖，最好测虽:
前就将误差从根源上加以消除。
如仪器的零位在测量开始和结束时都要检查。
如果误差是有外界条件引起的，则应在外界条件稳定时再测量。
2.用修正方法消除。
已知误差表或误差曲线，可取与误差数值大小相同而符号相反的值作为修正值。
3-3.粗大误差
特征：
数值比较大，对测量值产生显箸的歪曲，一般应予以剃除。
判定准则：
一.3n•准则
对一测量列，若各测得值只含有随机误差，则按随机误差的正态分布规律，其残余误差落在±
*r之外的概率为0.3乩即在370次测量中只有一次的残余误差|v.|>
3cr,因此|v,|>
3<
7即认为是粗大误差。
例：
已知进行了15次等精度测量值如表所示，测量值中已消除了系统误差，试判别测量列中是否含有粗大误差的测量值。
15次等精度测量值
序号
1
V
v2（*10-3）
vr
vf2（*10-3）
20.42
0.016
0.245
0.009
0.081
20.13
0.026
0.676
0.019
0.361
3
20.40
-0.004
-0.01
0.121
4
5
20.12
0.256
6
7
20.39
0.014
0.196
-0.02
0.441
8
20.30
-0.104
1.0816
—
9
10
20.43
11
12
20.41
0.006
0.036
-0.00
0.001
13
-0.014
14
15
20.10
亍一j一20.404
n
!
0=0
r-l
工岭2=001496
/-I
工沪=0.003374
=70.01496/14=0.033
由计算得到
根据3b准则，第八列测呈值的残余误差
I冬I=°
・104>
3b=0.099
即它含有粗大误差，故可剔除。
再根据剩下的14个测试值重新计算，得
x=20.411
V；
2/（；
7_1）=V0.003374/13=0.016
r=3x0.016=0.048
因此说明，剩下的14个测得值的残余误差均满足
二.t分布检验
设已测数据序列册‘兀，……M,若可疑©
•为可疑数据，将英剔除后讣算平均值（不
根据测量次数n和选取置信度Q,查t分布的检验系数K（〃,q）
Xj-X>
K（%a）・b
则认为®
为粗大误差，剔除勺是正确的，否则应予以保留*
上例中，首先怀疑第八测试值含有粗大误差，若将其剔除，将剩下的14个测量值讣算
平均值和方差，得
7=20.411
b=0・016
选取显著度a=0.05,已知n二15,查表得£
（15,0.05）=2.24,则
key=2.24x0.016=0.036
区-x\=|20.30-20.411|=0.111>
0.036
故第八个测量值中含有粗大误差，应予以剔除。
3-4.函数误差的合成
一.函数误差（间接测量误差）1.函数系统误差
间接量是由若干直接测量的结果综合而成，函数关系已知:
y=f（x^x2,
（3-7）
这是一个多元函数，英增呈的全微分为:
心=堂站+笙敗+……+笙％
“c丨c2XVn
oxldx2oxtl
（3-8）
当直接量的系统误差3……均较小时，可用以替代微分^clxvdx2……収
n.
则上式可近似为
0=笑4+Z*+……+Z心”
办2%__函数系统误差公式
2.函数的随机误差
函数的一般形式:
〉‘=/（心心……心）
为求得多个测量值兀的标准差，假设均进行了7次等精度测量，其随机误差分
别为：
X}:
JxlpJx12,,5%
七:
Jx21,Jx22,y3x2tt
■
九：
％,%,，仇
按上式（3-8）有
知鲁齢+名轴+
dx}dx2
将（3-9）两边平方:
小唱）g+（菁）g+……嚼）g+喀签卸冋
r唱）g嚼沁+……嚼g嘻签即沁“
将（3-10）式全部相加，整理
Z尸X=（◎（"
1+……+亍心）+（-^）2（J2x21+……+J2x2h）+
CWjdA=
刘・no
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