版高中数学第一章三角函数111任意角导学案新人教A版必修4152Word格式文档下载.docx

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思考　假设°

的终边是，那么－°

，°

的终边与°

的终边有什么关系，它们与°

分别相差多少？

答案　它们的终边相同.－°

＝°

－×

°

＋°

，故它们与°

分别相差了－个周角及个周角.

思考　如何表示与°

终边相同的角？

答案　°

＋·

（∈）.

梳理　终边相同角的表示：

所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合＝{ββ＝α＋·

，∈}，

即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和.

类型一　任意角概念的理解

例　（）给出下列说法：

①锐角都是第一象限角；

②第一象限角一定不是负角；

③第二象限角是钝角；

④小于°

的角是钝角、直角或锐角.

其中正确说法的序号为.（把正确说法的序号都写上）

（）将时钟拨快分钟，则分针转过的度数是.

答案　（）①　（）－°

解析　（）锐角指大于°

小于°

的角，都是第一象限的角，所以①对；

由任意角的概念知，第一象限角也可为负角，第二象限角不一定是钝角，小于°

的角还有负角、零角，所以②③④错误.

（）分针每分钟转°

，由于顺时针旋转，所以分钟转了－°

.

反思与感悟　解决此类问题要正确理解锐角、钝角、°

～°

角、象限角等概念.角的概念推广后，确定角的关键是确定旋转的方向和旋转量的大小.

跟踪训练　写出下列说法所表示的角.

（）顺时针拧螺丝圈；

（）将时钟拨慢小时分，分针转过的角.

解　（）顺时针拧螺丝圈，螺丝顺时针旋转了周，因此所表示的角为－°

（）拨慢时钟需将分针按逆时针方向旋转，因此将时钟拨慢小时分，分针转过的角为°

类型二　象限角的判定

例　在°

范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角.

（）－°

；

（）°

′.

解　（）因为－°

＝－°

，所以在°

范围内，与－°

角终边相同的角是°

角，它是第三象限角.

（）因为°

范围内，与°

角，它是第四象限角.

（）因为－°

′＝－×

′，所以在°

′角终边相同的角是°

′角，它是第二象限角.

引申探究

确定（∈*）的终边所在的象限.

解　一般地，要确定所在的象限，可以作出各个象限的从原点出发的等分射线，它们与坐标轴把周角分成个区域，从轴的非负半轴起，按逆时针方向把这个区域依次标上，，，，…，，标号为几的区域，就是根据α所在第几象限时，的终边所落在的区域，如此，所在的象限就可以由标号区域所在的象限直观的看出.

反思与感悟　判断象限角的步骤：

（）当°

≤α<

时，直接写出结果；

（）当α<

或α≥°

时，将α化为·

＋β（∈，°

≤β<

），转化为判断角β所属的象限.

跟踪训练　下列各角分别是第几象限角？

请写出与下列各角终边相同的角的集合，并把中适合不等式－°

的元素β写出来.

解　（）°

角是第一象限角，所有与°

角终边相同的角的集合＝{ββ＝°

，∈}，中适合－°

的元素是°

＋（－）×

＋×

角是第四象限角，所有与－°

角终边相同的角的集合＝{ββ＝－°

的元素是－°

，－°

类型三　终边相同的角

命题角度　求与已知角终边相同的角

例　在与角°

终边相同的角中，求满足下列条件的角.

（）最大的负角；

（）最小的正角；

（）[°

）的角.

解　与°

终边相同的角的一般形式为β＝·

＋°

（∈），

（）由－°

＜·

＜°

，得－°

＜－°

，解得＝－，故所求的最大负角为β＝－°

（）由°

，解得＝－，故所求的最小正角为β＝°

≤·

，解得＝－，故所求的角为β＝°

反思与感悟　求适合某种条件且与已知角终边相同的角，其方法是先求出与已知角终边相同的角的一般形式，再依条件构建不等式求出的值.

跟踪训练　写出与α＝－°

终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式－°

≤β＜°

解　由终边相同的角的表示知，与角α＝－°

终边相同的角的集合为{ββ＝·

－°

，∈}.

∵－°

，

即－°

∴≤＜（∈），故取＝，，.

当＝时，β＝×

命题角度　求终边在给定直线上的角的集合

例　写出终边在直线＝－上的角的集合.

解　终边在＝－（<

）上的角的集合是＝{αα＝°

，∈}；

终边在＝－（≥）上的角的集合是＝{αα＝°

因此，终边在直线＝－上的角的集合是＝∪＝{αα＝°

，∈}∪{αα＝°

即＝{αα＝°

＋（＋）·

，∈}＝{αα＝°

故终边在直线＝－上的角的集合是＝{αα＝°

反思与感悟　求终边在给定直线上的角的集合，常用分类讨论的思想，即分≥和<

两种情况讨论，最后再进行合并.

跟踪训练　写出终边在直线＝上的角的集合.

解　终边在＝（≥）上的角的集合是＝{αα＝°

终边在＝（<

因此，终边在直线＝上的角的集合是＝∪＝{αα＝°

故终边在直线＝上的角的集合是＝{αα＝°

类型四　区域角的表示

例　如图所示.

（）写出终边落在射线，上的角的集合；

（）写出终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合.

解　（）终边落在射线上的角的集合是{αα＝·

终边落在射线上的角的集合是{αα＝·

（）终边落在阴影部分（含边界）的角的集合是{α·

≤α≤·

反思与感悟　解答此类题目应先在°

上写出角的集合，再利用终边相同的角写出符合条件的所有角的集合，如果集合能化简的还要化成最简.

跟踪训练　如图所示，写出终边落在阴影部分的角的集合.

解　设终边落在阴影部分的角为α，角α的集合由两部分组成.

①{α·

·

②{α·

∴角α的集合应当是集合①与②的并集，即

＝{α·

，∈}

∪{α·

∪{α（＋）°

（＋）°

或（＋）·

.下列说法正确的是（　　）

.终边相同的角一定相等

.钝角一定是第二象限角

.第一象限角一定不是负角

.小于°

的角都是锐角

答案　

.与－°

角终边相同的角的集合是（　　）

.{αα＝·

－°

解析　－°

＝－×

，故选.

°

是第象限角.

答案　三

解析　因为°

＝×

，故°

是第三象限角.

.与－°

终边相同的最大负角是.

答案　－°

解析　∵－°

∴与－°

终边相同的最大负角为－°

.写出终边落在坐标轴上的角的集合.

解　终边落在轴上的角的集合：

＝{ββ＝·

终边落在轴上的角的集合：

∴终边落在坐标轴上的角的集合：

＝∪＝{ββ＝·

，∈}∪{ββ＝·

或β＝（＋）·

，∈}＝{ββ＝·

.对角的理解，初中阶段是以“静止”的眼光看，高中阶段应用“运动”的观点下定义，理解这一概念时，要注意“旋转方向”决定角的“正负”，“旋转幅度”决定角的“绝对值大小”.

.关于终边相同的角的认识

一般地，所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合＝{ββ＝α＋·

，∈}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和.

注意：

（）α为任意角；

（）·

与α之间是“＋”号，·

－α可理解为·

＋（－α）；

（）相等的角终边一定相同；

终边相同的角不一定相等，终边相同的角有无数多个，它们相差°

的整数倍；

（）∈这一条件不能少.

课时作业

一、选择题

.把－°

化成·

＋α（°

≤α＜°

，∈）的形式是（　　）

.－°

.－°

解析　可以估算－°

介于－×

与－×

之间.

∵°

，∴＝－，则α＝°

.若α是第四象限角，则°

－α是（　　）

.第一象限角.第二象限角

.第三象限角.第四象限角

解析　可以给α赋一特殊值－°

则°

－α＝°

，故°

－α是第三象限角.

.设＝{θθ为锐角}，＝{θθ为小于°

的角}，＝{θθ为第一象限的角}，＝{θθ为小于°

的正角}，则下列等式中成立的是（　　）

＝＝

解析　直接根据角的分类进行求解，容易得到答案.

.时针走过了小时分，则分针转过的角度是（　　）

解析　分针转过的角是负角，且分针每转一周是－°

，故共转了－°

×

（＋）＝－°

.若α与β的终边关于轴对称，则α可以用β表示为（　　）

π＋β（∈）π－β（∈）

解析　∵α与β的终边关于轴对称，

∴α＋β＝π（∈），

∴α＝π－β（∈）.故选.

.设集合＝{αα＝°

，∈}，集合＝{ββ＝°

，∈}，则（　　）

∩＝∅

＝

解析　对于集合，

α＝°

或α＝°

∵∈，

∴表示所有的偶数，＋表示所有的奇数，

∴集合＝{αα＝°

又集合＝{ββ＝°

∴＝.故选.

二、填空题

.已知角α＝－°

，则与α终边相同的最小正角是.

解析　与α＝－°

终边相同的角的集合为

{θθ＝－°

令－°

>

，解得>

故当＝时，θ＝°

满足条件.

.如图，终边落在的位置上的角的集合是；

终边落在的位置上，且在－°