全等三角形Word文档下载推荐.docx

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（4）两个全等三角形中一对最长的边（或最大的角）是对应边（或角），一对最小边（或最小的角）是对应边（或角）等.对于证（解）题思路分析，应该让学生懂得，在探索证明方法的过程中，常会遇到走不通的情况，这时不要畏缩不前，要再认真研究图形与已知条件，联想定理，将问题转化，另找办法.对于证明书写格式一定从严要求，并要注意对应关系，这对以后学习打下良好基础.通过全等三角形学习，向学生指出：

研究线段相等，两角相等，两直线平行，两直线垂直等通常转化为证明两三角形全等，没有条件，可添设辅助线，创造条件，构造全等三角形，达到目的.总之，认真学好三角形全等问题，可为以后学习打下坚实基础.

二、学海导航

【思维基础】

1．能够完全的两个三角形叫做全等三角形，的顶点叫对应顶点，的边叫对应边，互相重合的角叫.

2．全等三角形的相等,相等.

3．判定一般三角形全等的方法有，，，.判定直角三角形全等的方法还有.

4．全等三角形的对应角，对应线段（边、高、中线、角平分线）.

5．在角的平分线上的点到这个角的两边的距离.到一个角两边距离相等的点，在这个角的.角的平分线是到角的两边距离的所有点的集合.

6．如果第一个命题的是第二个命题的，而第一个命题

又是第二个命题的，那么这两个命题叫做互逆命题，如果把其中一个叫

那么另一个叫做它的.

如果一个定理的经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做定理，其中一个叫做另一个的.

【学法指要】

例1．如图，已知AB∥CD，AD∥BC，F在DC的延长线上，AM=CF，FM交DA的延长线上于E.交BC于N,求证:

AE=CN.

思路分析:

欲证AE=CN.看它们在哪两个三角形中,

设法证这两个三角形全等即可.结合图形可发现

△AME≌△FCN可证.

题设告知AM=CF,AD∥BC,AB∥CD.由两平行条件,

可找两对角相等.

∵AD∥BC（已知）

∴∠1=∠E（两直线平行,内错角相等）

∠3=∠D（两直线平行,同位角相等）

∵∠1=∠2（对顶角相等）

∴∠2=∠E（等量代换）

∵AB∥CD（已知）

∴∠4=∠D（两直线平行,同位角相等）

∴∠3=∠4（等量代换）.

至此,两三角形全等条件完全具备.

在△AME与△CNF中

∠3=∠4（已证）

∠2=∠E（已证）

CF=AM（已知）

∴△AME≌△CNF（A.A.S）

∴AE=CN（全等三角形的对应边相等）

例2.△ABC中，∠ACB=90°

，AC=BC，过C的一条直线CE⊥AE于E，BD⊥CE的延长线于D，求证：

AE=BD+DE.

思路分析：

从本例的结论知是求线段和的问题，

由此入手，很难找到突破口.此时可迅速调整思维角

度,可仔细观察图形,正确的图形是证题的“向导”,由

此可发现△ACE与△CBD好像（猜测）全等.那么

AE=CD=CE+DE.又BD=CE.那么,此时已水落石出.

证明:

∵∠ACB=90°

（已知）

∴∠2+∠3=∠ACB=90°

∵AE⊥CE，BD⊥CE（已知）

∴∠1+∠2=90°

（直角三角形两锐角互余）

∴∠1=∠3（等角的余角相等）

∴∠AEC=∠CDB=90°

（垂直定义）

在△ACE与△CBD中

AC=BC（已知）

∠1=∠3（已证）

∠AEC=∠CDB（已证）

∴△ACE≌△CBD（AAS）

∴BD=CE，AE=CD（全等三角形的对应边相等）

∵AE=CE=CE+DE

∴AE=BD+DE（等量代换）

例3．如图，AD是△ABC的中线，DE，DF分别平分∠ADB和∠ADC，连接EF，求证：

EF<

BE+CF.

由结论EF<

BE+CF很容易与定理

“三角形两边之和大于第三边”联系在一块，观察图

形，BE，CF，EF条件分散，不在一个三角形中，

必须设法（平移，旋转，翻转等）把三者集中

在一个三角形中，是打开本例思路的关键.由角

的平分线这一线索,可将△BDE沿角平分线翻转

180°

即B点落在AD的点B'

上（如图）（也就是在

DA上截取DB＇=BD）,连结EB＇,B＇F,此时△BDE与△B＇DE完全重合,所以△BDE≌△B＇DE（两个三角形能够完全重合就是全等三角形,所以BE=B＇E（全等三角形的对应边相等）.

∵AD为△ABC的中线（已知）

∴BD=CD（中线性质）

∵BD=B＇D（已证）∴CD=B＇D（等量代换）

∴在△CDF与△B＇DF中

CD=B＇D（已证）

∠CDF=∠B＇DF（已知）

DF=DF（公用边）

∴△CDF≌△B＇DF（SAS）

∴B＇F=CF（全等三角形的对应边相等）

在△EFB＇中,EF<

B＇E+B＇F（三角形的两边之和大于第三边）.

∴EF<

BE+CF（等量代换）.

对本例,也可采取平移法把CF平移与BE在一个三角形中（如图）,作BF＇∥AC交FD的延长线于F＇,连结BF＇.由AD为△ABC中线知:

BD=DC.

∵BF＇∥AC（由作图知）

∴∠C=∠F＇BD（二直线平行,内错角相等）

在△F＇BD与△FCD中

∠C=∠F＇BD（已证）

BD=DC（已证）

∠F＇DB=∠FDC（对顶角相等）

∴△F＇BD≌△FCD（ASA）

∴F＇B=FC（全等三角形对应边相等）

此时,连结EF＇,便构造出△BEF＇,则

BE+BF＇>

EF＇（三角形的两边之和大于第三边）.即EF＇<

BE+FC（等量代换）

对照结论,只要再证EF＇=EF便达目的.

由△F＇BD≌△FCD（已证）

∴DF＇=DF（全等三角形对应边相等）

∵∠EDA=∠ADB,∠FDA=∠ADC（已知）

∴∠EDA+∠FDA=（∠ADB+∠ADC）

∵∠ABD+∠ADC=180°

（平角定义）

∴∠EDA+∠FDA=90°

∵∠EDF=∠EDA+∠FDA

∴∠EDF=90°

∵∠EDF＇+∠EDF=180°

∴∠EDF＇=90°

在△EDF和△EDF＇中

ED=ED（公用边）

∠EDF=∠EDF＇（已证）

DF=DF＇（已证）

∴△EDF≌△EDF＇（SAS）

∴EF=EF＇（全等三角形对应边相等）

BE+CF（等量代换）

由例1,例2我们可以发现,要证结论成立,必须知道需要什么条件,即要找什么?

此时便可由题设,再结合准确的图形便可找到需要条件,使思路打通.再一步步写出找到的条件和依据（即依据的定义,定理,已知,已证等）,就可写出完整的证明过程,请同学们在具体的实践过程中慢慢就熟悉证明的方法了.当条件分散或者直接找不到题设与结论的关系时,此时便可添设辅助线.但添设辅助线不能盲目,要有“的”放“矢”.一要有利于架设结论与题设的关系;

二要有利于充分利用已知条件;

三要把分散条件集中一块,有利于沟通关系.把握这几个原则.添设辅助线便可心中有数.架起“桥梁”铺平道路.思路自然顺畅.从例3就向同学们指示了这一规律.望同学们要养成这种添设辅助线的好习惯!

在证明几何问题的道路上会越走越宽,越走越好.

【思维体操】

例已知:

如图,AB=AC,DB=DC,F是AD的延长线上的一点,

求证:

BF=CF.

揭示思路:

本例要证BF=CF,要看BF与CF在哪两个

三角形中,即将问题转化为证明全等三角形问题,结合图

形可发现BF与CF在△ABF与△ACF或△BDF与△CDF中,只要证△ABF≌△ACF或△BDF≌△CDF,由两条思路吸引同学们去探索.结合题设,发现这两组三角形都不具备全等条件,使问题搁浅.但结合题设与图形可发现△ABD与△ACD却具备全等条件AB=AC（已知）,BD=DC（已知）,AD=AD（公用边）,给证题提供了有利因素.由它们全等可得∠BAF=∠CAF,这时证△ABF≌△ACF（SAS）便没有阻力.同时由∠ADB=∠ADC可证∠BDF=∠CDF（等角的补角相等）,那么△BDF≌△CDF（SAS）也很顺利了,两种思路,残途同归.

扩散一:

已知:

如图,AB=AC,DB=DC,F是AD延长线上一点,

且B,F,C在一条直线上,求证:

F是BC的中点.

欲证F是BC的中点,即证BF=CF,与原例所

证结论相同,仿原例思路能行通吗?

当然是可以的.请同学

们写出证明过程.待学完等腰三角形,还有更简捷的证法,

那时你们再探索吧!

扩散二:

如图,AB=AC,DB=DC,F是AD上的一点,求证:

揭示思路:

F点由AD的延长线上移动至AD上,要证的结论

不变,那么证题的思路沿“老路”走还能走通吗？

两种“老路”

亦然可行.请同学们写出证明过程.

扩散三:

如图,AB=AC,DB=DC,F是DA延长线上的一点,

F点由AD的延长线上移动至AD的反向延长线上,

要证的结论亦然不变.那么证题思路仍重蹈旧辙,是否是轻车熟

路呢?

仍然是一路春风.请同学们完成证明过程.

扩散四:

AB=AC,DB=DC,F是直线AD上一动点（即点F在直线AD上运动）,点F在AD上不停的运动.你发现什么规律