高三数学第一轮复习单元讲座 第13讲 直线 圆的方程教案 新人教版Word格式文档下载.docx

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4．直线方程的五种形式确定直线方程需要有两个互相独立的条件。

确定直线方程的形式很多，但必须注意各种形式的直线方程的适用范围。

名称

方程

说明

适用条件

斜截式

y=kx+b

k——斜率

b——纵截距

倾斜角为90°

的直线不能用此式

点斜式

y-y0=k（x-x0）

（x0，y0）——直线上

已知点，k——斜率

两点式

=

（x1，y1），（x2，y2）是直线上两个已知点

与两坐标轴平行的直线不能用此式

截距式

+=1

a——直线的横截距

b——直线的纵截距

过（0，0）及与两坐标轴平行的直线不能用此式

一般式

Ax+By+C=0

，，分别为斜率、横截距和纵截距

A、B不能同时为零

直线的点斜式与斜截式不能表示斜率不存在（垂直于x轴）的直线；

两点式不能表示平行或重合两坐标轴的直线；

截距式不能表示平行或重合两坐标轴的直线及过原点的直线。

5．圆的方程

圆心为，半径为r的圆的标准方程为：

。

特殊地，当时，圆心在原点的圆的方程为：

圆的一般方程

，圆心为点，半径，其中。

二元二次方程

，表示圆的方程的充要条件是：

①、项项的系数相同且不为0，即；

②、没有xy项，即B=0；

③、。

四．典例解析

题型1：

直线的倾斜角

例1．（1995全国，5）图中的直线l1、l2、l3的斜率分别为k1、k2、k3，则（）

A．k1＜k2＜k3B．k3＜k1＜k2

C．k3＜k2＜k1D．k1＜k3＜k2

答案：

D

解析：

直线l1的倾斜角α1是钝角，故k1＜0，直线l2与l3的倾斜角α2、α3均为锐角，且α2＞α3，所以k2＞k3＞0，因此k2＞k3＞k1，故应选D。

点评：

本题重点考查直线的倾斜角、斜率的关系，考查数形结合的能力。

例2．过点P（2，1）作直线分别交x轴、y轴的正半轴于A、B两点，求的值最小时直线的方程。

解析：

依题意作图，设∠BAO＝，

则

，

当，即时的值最小，此时直线的倾斜角为135°

∴斜率。

故直线的方程为，即。

求直线方程是解析几何的基础，也是重要的题型。

解这类题除用到有关概念和直线方程的五种形式外，还要用到一些技巧。

题型2：

斜率公式及应用

例3．

（1）（05年江西高考）设实数x，y满足

，则的最大值是___________。

（2）（1997全国文，24）已知过原点O的一条直线与函数y=log8x的图象交于A、B两点，分别过点A、B作y轴的平行线与函数y＝log2x的图象交于C、D两点。

（1）证明点C、D和原点O在同一条直线上。

（2）当BC平行于x轴时，求点A的坐标。

（1）如图，实数x，y满足的区域为图中阴影部分（包括边界），而表示点（x，y）与原点连线的斜率，则直线AO的斜率最大，其中A点坐标为，此时，所以的最大值是。

点评：

本题还可以设，则，斜率k的最大值即为的最大值，但求解颇费周折。

（2）证明：

设A、B的横坐标分别为x1，x2，由题设知x1＞1，x2＞1，点A（x1，log8x1），B（x2，log8x2）.

因为A、B在过点O的直线上，所以，

又点C、D的坐标分别为（x1，log2x1），（x2，log2x2）

由于log2x1＝＝3log8x1，log2x2＝＝3log8x2，

所以OC的斜率和OD的斜率分别为

由此得kOC＝kOD，即O、C、D在同一条直线上。

由BC平行于x轴，有log2x1＝log8x2，解得x2＝x13

将其代入，得x13log8x1＝3x1log8x1.

由于x1＞1，知log8x1≠0，故x13＝3x1，x1＝，于是点A的坐标为（，log8）.

本小题主要考查对数函数图象、对数换底公式、对数方程、指数方程等基础知识，考查运算能力和分析问题的能力。

例4．（05年全国高考）当时，函数

的最小值是（）

A．2B．

C．4D．

原式化简为

，则y看作点A（0，5）与点的连线的斜率。

因为点B的轨迹是

即

过A作直线，代入上式，由相切（△＝0）可求出，由图象知k的最小值是4，故选C。

也可用三角函数公式变换求最值或用求导的方法求最值等。

但将问题转化为直线与椭圆的位置关系使问题解决的十分准确与清晰。

题型3：

直线方程

例5．已知直线的点斜式方程为，求该直线另外三种特殊形式的方程。

（1）将移项、展开括号后合并，即得斜截式方程

（2）因为点（2，1）、（0，）均满足方程，故它们为直线上的两点。

由两点式方程得：

（3）由知：

直线在y轴上的截距

又令，得

故直线的截距式方程

直线方程的四种特殊形式之间存在着内在的联系，它是直线在不同条件下的不同表现形式，要掌握好它们之间的互化。

在解具体问题时，要根据问题的条件、结论，灵活恰当地选用公式，使问题解得简捷、明了。

例6．直线经过点P（-5，-4），且与两坐标轴围成的三角形面积为5，求直线的方程。

设所求直线的方程为

∵直线过点P（-5，-4），，即。

又由已知有，即，

解方程组，得：

或

故所求直线的方程为：

，或。

即，或

要求的方程，须先求截距a、b的值，而求截距的方法也有三种：

（1）从点的坐标或中直接观察出来；

（2）由斜截式或截距式方程确定截距；

（3）在其他形式的直线方程中，令得轴上的截距b；

令得出x轴上的截距a。

总之，在求直线方程时，设计合理的运算途径比训练提高运算能力更为重要。

解题时善于观察，勤于思考，常常能起到事半功倍的效果。

直线方程综合问题

例5．（xx北京春理，12）在直角坐标系xOy中，已知△AOB三边所在直线的方程分别为x=0，y=0，2x+3y=30，则△AOB内部和边上整点（即横、纵坐标均为整数的点）的总数是（）

A．95B．91C．88D．75

B

解析一：

由y=10－x（0≤x≤15，x∈N）转化为求满足不等式y≤10－x（0≤x≤15，x∈N）所有整数y的值.然后再求其总数.令x=0，y有11个整数，x=1，y有10个，x=2或x=3时，y分别有9个，x=4时，y有8个，x=5或6时，y分别有7个，类推：

x=13时y有2个，x=14或15时，y分别有1个，共91个整点.故选B。

解析二：

将x=0，y=0和2x+3y=30所围成的三角形补成一个矩形.如图所示。

对角线上共有6个整点，矩形中（包括边界）共有16×

11=176.因此所求△AOB内部和边上的整点共有=91（个）

本题较好地考查了考生的数学素质，尤其是考查了思维的敏捷性与清晰的头脑，通过不等式解等知识探索解题途径。

例6．（xx京春理，22）已知动圆过定点P（1，0），且与定直线l：

x=－1相切，点C在l上。

（Ⅰ）求动圆圆心的轨迹M的方程；

（Ⅱ）设过点P，且斜率为－的直线与曲线M相交于A、B两点。

（i）问：

△ABC能否为正三角形？

若能，求点C的坐标；

若不能，说明理由；

（ii）当△ABC为钝角三角形时，求这种点C的纵坐标的取值范围。

（Ⅰ）解法一，依题意，曲线M是以点P为焦点，直线l为准线的抛物线，所以曲线M的方程为y2=4x.

解法二：

设M（x，y），依题意有|MP|=|MN|，

所以|x+1|=。

化简得：

y2=4x。

（Ⅱ）（i）由题意得，直线AB的方程为y=－（x－1）.

由消y得3x2－10x+3=0，

解得x1=，x2=3。

所以A点坐标为（），B点坐标为（3，－2），

|AB|=x1+x2+2=。

假设存在点C（－1，y），使△ABC为正三角形，则|BC|=|AB|且|AC|=|AB|，即

①

②

由①－②得42+（y+2）2=（）2+（y－）2，

解得y=－。

但y=－不符合①，

所以由①，②组成的方程组无解。

因此，直线l上不存在点C，使得△ABC是正三角形。

（ii）解法一：

设C（－1，y）使△ABC成钝角三角形，由得y=2，

即当点C的坐标为（－1，2）时，A、B、C三点共线，故y≠2。

又|AC|2=（－1－）2+（y－）2=+y2，

|BC|2=（3+1）2+（y+2）2=28+4y+y2，

|AB|2=（）2=。

当∠CAB为钝角时，cosA=

<

0。

即|BC|2>

|AC|2+|AB|2，即

即y>

时，∠CAB为钝角。

当|AC|2>

|BC|2+|AB|2，即

即y<

－时，∠CBA为钝角。

又|AB|2>

|AC|2+|BC|2，即

即

该不等式无解，所以∠ACB不可能为钝角。

因此，当△ABC为钝角三角形时，点C的纵坐标y的取值范围是

以AB为直径的圆的方程为（x－）2+（y+）2=（）2。

圆心（）到直线l：

x=－1的距离为，

所以，以AB为直径的圆与直线l相切于点G（－1，－）。

当直线l上的C点与G重合时，∠ACB为直角，当C与G点不重合，且A、B、C三点不共线时，∠ACB为锐角，即△ABC中，∠ACB不可能是钝角。

因此，要使△ABC为钝角三角形，只可能是∠CAB或∠CBA为钝角。

过点A且与AB垂直的直线方程为。

令x=－1得y=。

过点B且与AB垂直的直线方程为y+2（x－3）。

令x=－1得y=－。

又由解得y=2，

所以，当点C的坐标为（－1，2）时，A、B、C三点共线，不构成三角形。

因此，当△ABC为钝角三角形时，点C的纵坐标y的取值范围是y<

－或y>

（y≠2）。

该题全面综合了解析几何、平面几何、代数的相关知识，充分体现了“注重学科知识的内在联系”.题目的设计新颖脱俗，能较好地考查考生综合运用数学知识解决问题的能力。

比较深刻地考查了解析法的原理和应用，以及分类讨论的思想、方程的思想.该题对思维的目的性、逻辑性、周密性、灵活性都进行了不同程度的考查.对运算、化简能力要求也较高，有较好的区分度。

题型4：

圆的方程

例7．

（1）已知△ABC的三个项点坐标分别