选修223恒成立问题基础知识点+典型例题教师版.docx

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选修223恒成立问题基础知识点+典型例题教师版

恒成立问题

知识讲解

一、不等式的恒成立问题

1.若在上恒成立，等价于在上的最小值成立．

2.若在上恒成立，等价于在上的最大值成立．

3.对任意，都有成立，等价于构造，．

4.对任意，都有成立，等价于构造，

5.对任意，都有成立的充要条件是．

6.对任意，都有成立的充要条件是．

二、不等式的能成立（存在性）问题

1.若存在使得在上能成立，等价于在上的最大值成立．

2.若存在使得在上能成立，等价于在上的最小值成立．

3.若存在，使得成立，等价于构造，．

4.若存在，使得成立，等价于构造，．

5.若在，至少存在一个使得成立等价．

三、不等式的恒成立与存在性的综合问题

1.对任意，存在，使得成立，等价于在上的最大值在上的最大值

2.对任意，存在，使得成立，等价于在上的最小值在上的最小值.

典型例题

一．选择题（共5小题）

1．（2018•北京模拟）在△ABC中，D为AB的中点，点F在线段CD（不含端点）上，且满足=x+y，若不等式≥a2+at对t∈[﹣2，2]恒成立，则a的最小值为（　　）

A．﹣4B．﹣2C．2D．4

【解答】解：

=x+y=2x+y，

因为点F在线段CD（不含端点）上，所以C，F，D三点共线，

所以2x+y=1且x＞0，y＞0，

则=（）（2x+y）=4++≥4+2=8，

当且仅当=，即x=，y=时，上式取等号，

故有最小值8，

不等式≥a2+at对t∈[﹣2，2]恒成立，

就是8≥a2+at对t∈[﹣2，2]恒成立，即a2+at﹣8≤0对t∈[﹣2，2]恒成立，

可得：

，解得a∈[﹣2，2]．

则a的最小值为﹣2．

故选：

B．

2．（2017秋•姚安县校级期中）对一切实数x，若关于x的不等式ax2﹣x+a＞0恒成立，实数a的取值范围（　　）

A．a≤﹣2或a≥2B．﹣2≤a≤2C．a＞D．a＜

【解答】解：

关于x的不等式ax2﹣x+a＞0恒成立，

则，

解得，

即a＞；

∴实数a的取值范围是（，+∞）．

故选：

C．

3．（2013•昆明模拟）a为常数，∀x∈R，f（x）=a2x2+ax+1＞0，则a的取值范围是（　　）

A．a＜0B．a≤0C．a＞0D．a∈R

【解答】解：

①当a=0时符合条件，

②当a≠0时，a2＞0，

∴△=a2﹣4a2×1=﹣3a2＜0，

综上a∈R．

故选：

D．

4．已知函数f（x）=﹣x2+ax+b2﹣b+1（a，b∈R）对任意实数x都有f（1﹣x）=f（1+x）成立，若存在x∈[﹣1，1]，使得f（x）＜0成立，则实数b的取值范围是（　　）

A．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）B．（2，+∞）C．（﹣1，0）D．（﹣1，2）

【解答】解：

∵对任意实数x都有f（1﹣x）=f（1+x）成立

∴函数f（x）的对称轴为x=1=，解得a=2

∵函数f（x）的对称轴为x=1，开口向下

∴函数f（x）在[﹣1，1]上是单调递增函数，

而存在x∈[﹣1，1]，使得f（x）＜0成立，

f（x）min=f（﹣1）=b2﹣b﹣2＜0，

解得﹣1＜b＜2，

故选：

D．

5．已知∃x1∈[0，2]，∀x2∈[0，2]，使得（x+ax1﹣a）•e≥x﹣x2﹣1成立，则实数a的取值范围为（　　）

A．（﹣∞，﹣2）∪[3e﹣4，+∞）B．（﹣∞，﹣1）∪[e2﹣4，+∞）

C．（﹣∞，﹣1]∪[3e﹣4，+∞）D．（﹣∞，﹣2]∪[e2﹣4，+∞）

【解答】解：

由y=x2﹣x﹣1在[0，]递减，在（，2]递增，

可得x=2处，函数y取得最大值1，

∃x1∈[0，2]，∀x2∈[0，2]，使得（x+ax1﹣a）•e≥x﹣x2﹣1成立，

可得（x2+ax﹣a）•e﹣x≥1在[0，2]成立，

即有a（x﹣1）+x2﹣ex≥0，

当x=1时，1﹣e＜0，上式不成立；

当0≤x＜1时，a≤成立，

由g（x）=的导数为g′（x）=，

由y=ex﹣x的导数为y′=ex﹣1，

可得x＞0时，函数y递增，x＜0时，函数y递减，

可得ex﹣x的最小值为1，即ex﹣x＞0，

可得g（x）在（0，1）递减，可得

a≤=﹣1，

当1＜x≤2时，a≥成立，

由g（x）=的导数为g′（x）=，

可得g（x）在（1，2]递减，可得

a≥=e2﹣4．

即有a≤﹣1或a≥e2﹣4，

故选：

B．

二．填空题（共2小题）

6．若关于x的不等式ax2+x﹣2a＜0的解集中有且仅有6个整数解，则实数a的取值范围是　（）　

【解答】解：

关于x的不等式ax2+x﹣2a＜0的解集中仅有6个整数解，

∴，

解得a＞0，f（0）=﹣2a＜0，f

（2）=2+2a＞0，f

（1）=1﹣a，如果a＞1，则f

（1）=1﹣a＜0，

不等式ax2+x﹣2a＜0的解集中有且仅有6个整数解为：

﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1；可得f（﹣5）＞0，f（﹣4）＜0，

解得：

a∈（），不满足题意；

如果a∈（0，1），则f

（1）=1﹣a＞0，

不等式ax2+x﹣2a＜0的解集中有且仅有6个整数解为：

﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0；

可得f（﹣6）＞0，f（﹣5）＜0，

即，

解不等式得：

a∈（），

故答案为：

（）．

7．已知f（x）=xsinx+cosx+x2，则不等式＞f

（2）的解集为　（0，）∪（100，+∞）　．

【解答】解：

f（x）=xsinx+cosx+x2的定义域为R，

且f（﹣x）=（﹣x）sin（﹣x）+cos（﹣x）+（﹣x）2=xsinx+cosx+x2，

即有f（﹣x）=f（x），即f（x）为偶函数；

又x＞0时，f′（x）=sinx+xcosx﹣sinx+2x=x（2+cosx）＞0，

则f（x）在x＞0递增，

不等式＞f

（2），

即为＞f

（2），

即有f（lgx）＞f

（2），

可得f（|lgx|）＞f

（2），

即有|lgx|＞2，

即lgx＞2或lgx＜﹣2，

解得x＞100或0＜x＜，

则解集为（0，）∪（100，+∞）．

故答案为：

（0，）∪（100，+∞）．

三．解答题（共8小题）

8．已知函数f（x）=（a＞0，a≠1）是定义在R上的奇函数．

（1）求实数a的值；

（2）判断f（x）在定义域上的单调性，并用单调性定义证明；

（3）当x∈（0，1]时，t•f（x）≥2x﹣2恒成立，求实数t的取值范围．

【解答】解：

（1）∵f（x）是定义在R上的奇函数，

∴f（0）=0，

则f（0）==0，得a=2；

（2）当a=2时，f（x）====1﹣，

则f（x）在定义域R上的单调递增；

设x1＜x2，

则f（x1）﹣f（x2）=1﹣﹣（1﹣）=﹣=，

∵x1＜x2，

∴＜，

则f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），即函数f（x）在R上是增函数．

（3）当x∈（0，1]时，函数f（x）为增函数，

则f（0）＜f（x）≤f

（1），即0＜f（x）≤，

则t•f（x）≥2x﹣2恒成立等价为t≥=恒成立

设g（x）==2x﹣，

下证明g（x）为增函数，

设0＜x1＜x2≤1，则g（x2）﹣g（x1）=﹣﹣+﹣+

=（﹣）•（1+）＞0，

即g（x2）＞g（x1），

则g（x）在（0，1]上增函数，

则g（x）的最大值为g

（1）=0，

则t≥0

9．已知函数f（x）=x2﹣3x．

（1）若函数g（x）和f（x）的图象关于y轴对称，解不等式f（x）+g（x）≥|x|；

（2）当x∈（0，+∞）时，不等式f（x）＞ax﹣1恒成立，求实数a的取值范围．

【解答】解：

（1）因为函数g（x）和f（x）的图象关于y轴对称

所以g（x）=x2+3x，

f（x）+g（x）=2x2≥|x|

当x＞0时，2x2≥x，x≥

当x＜0时，2x2≥﹣x，x≤．

当x=0时，2x2≥|x|成立，

所以不等式f（x）+g（x）≥|x|的解集为：

{x|x，或x，或x=0}．

（2）当x∈（0，+∞）时，不等式f（x）＞ax﹣1恒成立，

即：

当x∈（0，+∞）时，x2﹣3x＞ax﹣1恒成立，

可得a＜x+﹣3，当x∈（0，+∞）时恒成立．

因为x﹣3≥2﹣3=﹣1，当且仅当x=1时，等号成立，所以a＜﹣1．

实数a的取值范围：

（﹣∞，﹣1）．

10．已知函数f（x）=﹣x2+mx+4，g（x）=2x，

（1）当m=﹣1时，求不等式f（x）≥g（x）的解集

（2）若关于x的不等式f（x）≥g（x）+|2﹣2x|的解集包含[﹣1，1]，求m的取值范围？

【解答】解：

（1）当m=﹣1时，不等式f（x）≥g（x），

即为﹣x2﹣3x+4≥0，

解得﹣4≤x≤1，

即解集为[﹣4，1]；

（2）关于x的不等式f（x）≥g（x）+|2﹣2x|的解集包含[﹣1，1]，

即有﹣x2+mx+4≥2x+|2﹣2x|在[﹣1，1]恒成立，

即为﹣x2+mx+4≥2，即有x2﹣mx﹣2≤0在[﹣1，1]恒成立，

可得1+m﹣2≤0，1﹣m﹣2≤0，

解得m≤1且m≥﹣1，

即﹣1≤m≤1，

可得m的取值范围是[﹣1，1]．

11．若对任意x＞0，≤a恒成立，求实数a的取值范围．

【解答】解：

x＞0时，=，

设f（x）=x++3，x＞0，

f（x）≥2+3=5，当且仅当x=1时取“=”，

∴f（x）的最小值是5；

∴x＞0时，的最大值是，

∴对任意x＞0，≤a恒成立时，

实数a的取值范围是a≥．

12．已知函数f（x）=x2﹣（3a+2）x+6．

（1）对任意x∈（﹣1，+∞），不等式f（x）＞a（1﹣2x）恒成立，求a的取值范围；

（2）解不等式：

f（x）＜（1﹣a）x2．

【解答】解：

（1）任意x∈（﹣1，+∞），不等式f（x）＞a（1﹣2x）恒成立，

即有x2﹣（3a+2）x+6＞a（1﹣2x），即x2﹣2x+6＞a（x+1），

可得a＜对x∈（﹣1，+∞）恒成立，

设t=x+1，即x=t﹣1，设g（t）==t+﹣4，

由g（t）≥2﹣4=2，当且仅当t=3即x=2时，取得最小值2，

则a＜2；

（2）f（x）＜（1﹣a）x2即为ax2﹣（3a+2）x+6＜0，

即（ax﹣2）（x﹣3）＜0，

当a=0时，x﹣3＞0，可得x＞3；

当a＜0时，（x﹣3）（x﹣）＞0，可得x＞3或x＜；

当a=时，（x﹣3）2＜0，可得x∈∅；

当a＞时，（x﹣3）（x﹣）＜0，可得＜x＜3；

当0＜a＜时，（x﹣3）（x﹣）＜0，可得3＜x＜．

综上可得，a=0时，原不等式的解集为{x|x＞3}；

a＜0时，解集为{x|x＞3或x＜}；

a=时，解集为∅；

当a＞时，解集为{x|＜x＜3}；

当0＜a＜时解集为{x|3＜x＜}．

13．已知函数f（x）=|2x﹣1|

（1）求不等式f（x）≤3x的解集

（2）若对任意x∈R，不等式f（x）+f（x+2）≥m恒成立．

【解答】解：

（1）∵f（x）=|2x﹣1|≤3x，

当x≥时，2x﹣1≤3x，解得x≥﹣1，即x≥，

当x＜时，﹣2x+1≤3x，解得x≥，即≤x＜，

综上所述不等式f（x）≤3x的解集为[，+∞），

（2）∵f（x）+f（x+2）=|2x﹣1|+|2x+3|≥|1﹣2x+2x+3|=4，

∴m≤4

故m的范围为（﹣∞，4]．

14．已知a和b是非零实数．

（1）若存在a、b不等式|2a+b|+|2a﹣b|≤λ|a|成立，求实数λ的取值范围；

（2）若对任意a、b不等式|a+b|+|a﹣b|≥|a|（|2x+1|﹣|x﹣1|）恒成立，求实数x的取值范围．

【解答】解：

：

（