选修223恒成立问题基础知识点+典型例题教师版.docx

1、选修223恒成立问题 基础 知识点+典型例题教师版恒成立问题知识讲解一、不等式的恒成立问题1. 若在上恒成立，等价于在上的最小值成立2. 若在上恒成立，等价于在上的最大值成立3. 对任意，都有成立，等价于构造，4. 对任意，都有成立，等价于构造，5. 对任意，都有成立的充要条件是6. 对任意，都有成立的充要条件是二、不等式的能成立（存在性）问题1. 若存在使得在上能成立，等价于在上的最大值成立2. 若存在使得在上能成立，等价于在上的最小值成立3. 若存在，使得成立，等价于构造，4. 若存在，使得成立，等价于构造，5. 若在，至少存在一个使得成立等价三、不等式的恒成立与存在性的综合问题1. 对任

2、意，存在，使得成立，等价于在上的最大值在上的最大值2. 对任意，存在，使得成立，等价于在上的最小值在上的最小值. 典型例题一选择题（共5小题）1（2018北京模拟）在ABC中，D为AB的中点，点F在线段CD（不含端点）上，且满足=x+y，若不等式a2+at对t2，2恒成立，则a的最小值为（）A4 B2 C2 D4【解答】解：=x+y=2x+y，因为点F在线段CD（不含端点）上，所以C，F，D三点共线，所以2x+y=1且x0，y0，则=（）（2x+y）=4+4+2=8，当且仅当=，即x=，y=时，上式取等号，故有最小值8，不等式a2+at对t2，2恒成立，就是8a2+at对t2，2恒成立，即a2

3、+at80对t2，2恒成立，可得：，解得a2，2则a的最小值为2故选：B2（2017秋姚安县校级期中）对一切实数x，若关于x的不等式ax2x+a0恒成立，实数a的取值范围（）Aa2或a2 B2a2 Ca Da【解答】解：关于x的不等式ax2x+a0恒成立，则，解得，即a；实数a的取值范围是（，+）故选：C3（2013昆明模拟）a为常数，xR，f（x）=a2x2+ax+10，则a的取值范围是（）Aa0 Ba0 Ca0 DaR【解答】解：当a=0时符合条件，当a0时，a20，=a24a21=3a20，综上aR故选：D4已知函数f（x）=x2+ax+b2b+1（a，bR）对任意实数x都有f（1x）=

4、f（1+x）成立，若存在x1，1，使得f（x）0成立，则实数b的取值范围是（）A（，1）（2，+） B（2，+） C（1，0） D（1，2）【解答】解：对任意实数x都有f（1x）=f（1+x）成立函数f（x）的对称轴为x=1=，解得a=2函数f（x）的对称轴为x=1，开口向下函数f（x）在1，1上是单调递增函数，而存在x1，1，使得f（x）0成立，f（x）min=f（1）=b2b20，解得1b2，故选：D5已知x10，2，x20，2，使得（x+ax1a）exx21成立，则实数a的取值范围为（）A（，2）3e4，+） B（，1）e24，+）C（，13e4，+） D（，2e24，+）【解答】解：由

5、y=x2x1在0，递减，在（，2递增，可得x=2处，函数y取得最大值1，x10，2，x20，2，使得（x+ax1a）exx21成立，可得（x2+axa）ex1在0，2成立，即有a（x1）+x2ex0，当x=1时，1e0，上式不成立；当0x1时，a成立，由g（x）=的导数为g（x）=，由y=exx的导数为y=ex1，可得x0时，函数y递增，x0时，函数y递减，可得exx的最小值为1，即exx0，可得g（x）在（0，1）递减，可得a=1，当1x2时，a成立，由g（x）=的导数为g（x）=，可得g（x）在（1，2递减，可得a=e24即有a1或ae24，故选：B二填空题（共2小题）6若关于x的不等式a

6、x2+x2a0的解集中有且仅有6个整数解，则实数a的取值范围是（）【解答】解：关于x的不等式ax2+x2a0的解集中仅有6个整数解，解得a0，f（0）=2a0，f（2）=2+2a0，f（1）=1a，如果a1，则f（1）=1a0，不等式ax2+x2a0的解集中有且仅有6个整数解为：4，3，2，1，0，1；可得f（5）0，f（4）0，解得：a（），不满足题意；如果a（0，1），则f（1）=1a0，不等式ax2+x2a0的解集中有且仅有6个整数解为：5，4，3，2，1，0；可得f（6）0，f（5）0，即，解不等式得：a（），故答案为：（）7已知f（x）=xsinx+cosx+x2，则不等式f（2）的

7、解集为（0，）（100，+）【解答】解：f（x）=xsinx+cosx+x2的定义域为R，且f（x）=（x）sin（x）+cos（x）+（x）2=xsinx+cosx+x2，即有f（x）=f（x），即f（x）为偶函数；又x0时，f（x）=sinx+xcosxsinx+2x=x（2+cosx）0，则f（x）在x0递增，不等式f（2），即为f（2），即有f（lgx）f（2），可得f（|lgx|）f（2），即有|lgx|2，即lgx2或lgx2，解得x100或0x，则解集为（0，）（100，+）故答案为：（0，）（100，+）三解答题（共8小题）8已知函数f（x）=（a0，a1）是定义在R上的奇函数

8、（1）求实数a的值；（2）判断f（x）在定义域上的单调性，并用单调性定义证明；（3）当x（0，1时，tf（x）2x2恒成立，求实数t的取值范围【解答】解：（1）f（x）是定义在R上的奇函数，f（0）=0，则f（0）=0，得a=2；（2）当a=2时，f（x）=1，则f（x）在定义域R上的单调递增；设x1x2，则f（x1）f（x2）=1（1）=，x1x2，则f（x1）f（x2）0，即f（x1）f（x2），即函数f（x）在R上是增函数（3）当x（0，1时，函数f（x）为增函数，则f（0）f（x）f（1），即0f（x），则tf（x）2x2恒成立等价为t=恒成立设g（x）=2x，下证明g（x）为增函数，

9、设0x1x21，则g（x2）g（x1）=+=（）（1+）0，即g（x2）g（x1），则g（x）在（0，1上增函数，则g（x）的最大值为g（1）=0，则t09已知函数f（x）=x23x（1）若函数g（x）和f（x）的图象关于y轴对称，解不等式f（x）+g（x）|x|；（2）当x（0，+）时，不等式f（x）ax1恒成立，求实数a的取值范围【解答】解：（1）因为函数g（x）和f（x）的图象关于y轴对称所以g（x）=x2+3x，f（x）+g（x）=2x2|x|当x0时，2x2x，x当x0时，2x2x，x当x=0时，2x2|x|成立，所以不等式f（x）+g（x）|x|的解集为：x|x，或x，或x=0（2

10、）当x（0，+）时，不等式f（x）ax1恒成立，即：当x（0，+）时，x23xax1恒成立，可得ax+3，当x（0，+）时恒成立因为x323=1，当且仅当x=1时，等号成立，所以a1实数a的取值范围：（，1）10已知函数f（x）=x2+mx+4，g（x）=2x，（1）当m=1时，求不等式f（x）g（x）的解集（2）若关于x的不等式f（x）g（x）+|22x|的解集包含1，1，求m的取值范围？【解答】解：（1）当m=1时，不等式f（x）g（x），即为x23x+40，解得4x1，即解集为4，1；（2）关于x的不等式f（x）g（x）+|22x|的解集包含1，1，即有x2+mx+42x+|22x|在1

11、，1恒成立，即为x2+mx+42，即有x2mx20在1，1恒成立，可得1+m20，1m20，解得m1且m1，即1m1，可得m的取值范围是1，111若对任意x0，a恒成立，求实数a的取值范围【解答】解：x0时，=，设f（x）=x+3，x0，f（x）2+3=5，当且仅当x=1时取“=”，f（x）的最小值是5；x0时，的最大值是，对任意x0，a恒成立时，实数a的取值范围是a12已知函数f（x）=x2（3a+2）x+6（1）对任意x（1，+），不等式f（x）a（12x）恒成立，求a的取值范围；（2）解不等式：f（x）（1a）x2【解答】解：（1）任意x（1，+），不等式f（x）a（12x）恒成立，即有

12、x2（3a+2）x+6a（12x），即x22x+6a（x+1），可得a对x（1，+）恒成立，设t=x+1，即x=t1，设g（t）=t+4，由g（t）24=2，当且仅当t=3即x=2时，取得最小值2，则a2；（2）f（x）（1a）x2即为ax2（3a+2）x+60，即（ax2）（x3）0，当a=0时，x30，可得x3；当a0时，（x3）（x）0，可得x3或x；当a=时，（x3）20，可得x；当a时，（x3）（x）0，可得x3；当0a时，（x3）（x）0，可得3x综上可得，a=0时，原不等式的解集为x|x3；a0时，解集为x|x3或x；a=时，解集为；当a时，解集为x|x3；当0a时解集为x|3x13已知函数f（x）=|2x1|（1）求不等式f（x）3x的解集（2）若对任意xR，不等式f（x）+f（x+2）m恒成立【解答】解：（1）f（x）=|2x1|3x，当x时，2x13x，解得x1，即x，当x时，2x+13x，解得x，即 x，综上所述不等式f（x）3x的解集为，+），（2）f（x）+f（x+2）=|2x1|+|2x+3|12x+2x+3|=4，m4故m的范围为（，414已知a和b是非零实数（1）若存在a、b不等式|2a+b|+|2ab|a|成立，求实数的取值范围；（2）若对任意a、b不等式|a+b|+|ab|a|（|2x+1|x1|）恒成立，求实数x的取值范围【解答】解：（