小升初数学课程第六讲立体图形的特征及计算一Word格式.docx

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一个长方体至少可以有两个面是正方形，最多可以有6个面是正方形，但不会存在3个、4个、5个面是正方形

二、例题精讲

例1：

（1）判断和填空：

长方体的六个面一定是长方形；

（×

）

正方体的六个面面积一定相等；

（√）

一个长方体（非正方体）最多有四个面面积相等；

（√）

相交于一个顶点的三条棱相等的长方体一定是正方体。

一个长方体中，可能有4个面是正方形。

（ 

×

）

正方体是特殊的长方体。

（√）

有两个面是正方形的长方体一定是正方体。

一个长方体中最少有4条棱长度相等，最多有8条棱长度相等。

（√）

（2）一个长方体最多有

（2）个面是正方形，最多有（8）条棱长度相等。

（3）一个长方体的底面是一个正方形，则它的4个侧面是（完全一样的长方）形。

（4）正方体不仅相对的面相等，而且所有相邻的面（相等 

），它的六个面都是相等的（正方）形。

（5）把长方体放在桌面上，最多可以看到（3）个面。

最少可以看到

（1）个面。

2、长方体与正方体的棱长总和公式

长方体棱长总和=（长+宽+高）×

4长+宽+高=棱长总和÷

4

长方体棱长总和=下面周长×

2+高×

长方体棱长总和=右面周长×

2+长×

长方体棱长总和=前面周长×

2+宽×

正方体棱长总和=棱长×

12棱长=棱长和÷

12

例2：

（1）看图，并填空单位：

厘米

这个长方体长（6）厘米，宽（3）厘米，高（4）　厘米。

由一个顶点引出的三条棱的长度和是（13）厘米。

棱长总和是（　52）厘米。

上下两个面是（　　长方　）形。

（2）一个长方体的棱长总和是80厘米，其中长是10厘米，宽是7厘米，高是（3）厘米。

（3）有一个长方体的鱼缸，长50厘米，宽30厘米，高30厘米，需要在用铝合金包裹玻璃连接处，需要（4.4）米的铝合金

（4）把两个棱长1厘米的正方体拼成一个长方体，这个长方体的棱长总和是（16）厘米。

（5）至少需要（48）厘米长的铁丝，才能做一个底面周长是18厘米，高3厘米的长方体框架。

（6）一个长方体棱长和164cm，已知长方体的底面周长为72cm，长方体的高是多少cm？

答：

长方体的高是5cm.

（7）有一个礼盒需要用彩带捆扎，捆扎效果如图，打结部分需要10厘米彩带，一共需要多长的彩带？

一共需要190cm的彩带.

3、长方体和正方体的表面积

长方体表面积=（长×

宽+长×

高+宽×

高）×

2=（a×

b+a×

c+b×

c）×

2

=（前面面积+上面面积+右面面积）×

正方体表面积=棱长×

棱长×

6=a×

a×

6=6a2

=任意一个面的面积×

6

两个棱长和相等的长方体或一个长方体和一个正方体，表面积不一定相等！

表面积相等的两个长方体或一个长方体和一个正方体，棱长和也不一定相等！

例3：

（1）一个正方体的棱长总和是48分米，它的棱长是（4分米），表面积是（96平方分米）。

（2）一个长方体长6厘米，宽4厘米，高3厘米。

这个长方体上下两个面的面积各是（ 

24 

）平方厘米，前后两个面的面积各是（ 

18 

）平方厘米，左右两个面的面积各是（12 

）平方厘米，表面积是（108）平方厘米。

（3）长方体的长是6厘米，宽是4厘米，高是2厘米，它的棱长总和是（ 

48 

）厘米，六个面中最大的面积是（ 

）平方厘米，表面积是（88）平方厘米。

（4）一个正方体的底面积是64平方厘米，它的表面积是（384平方厘米）。

（5）一个正方体的底面周长是8厘米，它的表面积是（24平方厘米）。

4、长方体表面求法的变形：

1　贴商标类型：

只求四周面积。

例如：

一个长方体包装盒，长宽高分别为8,4,5cm，需要在包装盒四周贴上商标，需要商标纸的面积是多少？

需要商标120平方厘米。

2　游泳池类型：

只求四周和底面。

一座游泳池，长宽高分别为10m，4m，1.5m，需要在池内贴上边长为1dm的瓷砖，大约需要多少块瓷砖？

大约需要8200块。

3　抽纸盒类型：

六个面面积减去缺口面积。

一款抽纸盒，长宽高分别是20cm，12cm，5cm，上面有长14cm，宽3cm的抽纸口，做这款抽纸盒需要多少硬纸片？

做这款抽纸需要758平方厘米硬纸片。

4　占地面积问题：

只求底面面积。

一个长方体蓄水池，长12m，宽8m，深3m，这个水池占地面积多少平方米？

这个水池占地面积96平方米。

5、棱长变化对表面积的影响：

Ø

正方体

正方体的棱长扩大n倍，其棱长和也扩大n倍，表面积扩大n2倍，体积扩大n3倍。

长方体

长方体的长宽高同时扩大n倍，其棱长和也扩大n倍，表面积扩大n2倍，体积扩大n3倍。

（1）大正方体棱长是小正方体棱长的2倍，则大正方体表面积是小正方体表面积的（4）倍。

（2）一个长方体的长、宽、高都扩大4倍，它的表面积就（扩大4倍）。

（3）一个正方体的棱长为4厘米扩大为2倍后，其棱长和为（96）厘米，表面积为（384）平方厘米比原来扩大了（4倍）。

（5）一个长方体长扩大2倍，高扩大4倍，体积扩大（8）倍。

6、单位换算、体积和容积

长度单位：

mm、cm、dm、m相邻两个单位进率为10

面积单位：

mm2、cm2、dm2、m2相邻两个单位进率为100

体积单位：

mm3、cm3、dm3、m3相邻两个单位进率为1000

容积单位：

ml、l相邻两个单位进率为1000

特别的：

1ml=cm31l=1dm31方=1m³

不是同一类型的单位，数据不能比较大小，同一类型的单位中右边的单位比左边的单位大。

大单位化小单位乘以进率，小单位化大单位除以进率。

例4：

（1）3.2立方分米=（3200）立方厘米

9立方米500立方分米=（9.5）立方米=（9500）立方分米

3.6升=（3600）毫升=（3600）立方厘米

2100毫升＝（ 

2100）立方厘米＝（ 

2.1）立方分米

（2）一个水池能装水400立方米，这是指（水池的容积），占地2公顷指的是（水池的占地面积）。

一块橡皮擦的体积约是8（立方厘米）。

一本书的封面约是2（平方分米）。

7、长方体与正方体的体积

物体所占空间的大小叫做物体的体积。

长方体的体积=长×

宽×

高V=abh

长=体积÷

宽÷

高a=V÷

b÷

h宽=体积÷

长÷

高b=V÷

a÷

h

高=体积÷

宽h=V÷

b

正方体的体积=棱长×

棱长V=a×

a

例5：

（1）一个正方体棱长2厘米，体积是（　8　）立方厘米，如果这个正方体的棱长扩大2倍，它的体积是（　64　）立方厘米。

（2）长方体的长为12厘米，高为8厘米，阴影部分的两个面的面积和是200平方厘米，这个长方体的体积是多少立方厘米？

这个长方体的体积是960立方厘米。

（3）一个长方形的底面是一个周长为16分米的正方形，它的表面积是96平方分米，这个长方体的体积是多少？

这个长方体的体积是64立方分米。

（4）有一个长方形玻璃鱼缸长为5分米，宽为3分米，高为3分米里面装有2.5分米高的水，现在需要将该该鱼缸内的水倒入一个棱长为3.5分米的正方体鱼缸中，请问是否可以装得下这么多水？

如果装得下正方体鱼缸内的水有多高？

装得下，水高3.06分米.

8、长方体与正方体的容积

箱子、油桶、仓库等所能容纳物体的体积，通常叫做他们的容积。

常用的容积单位有升和毫升也可以写成L和ml。

1升=1立方分米1毫升=1立方厘米1升=1000毫升

容积和体积的差异

相同点

不同点

容积

计算公式相同

V=sh

V=abh

从容器内部测量

容积指容器内部体积

计量单位通常为L、ml

体积

从容器外部测量

体积指容器外部体积，或所容纳物体的体积

计量单位通常为m、dm、cm、mm

容积和体积的大小关系

一般情况下视为容积等于体积，其前提条件是容器壁厚度忽略不计。

在考虑容器壁厚度的情况下，容积是比体积小的。

体积大于或等于容积

例6：

（1）一个长方体鱼缸从外面量长宽高分别为5分米、2.5分米、3分米，，从里面量长宽高分别为4.9分米、2.4分米、2.9分米，这个鱼缸的容积是（34.104立方分米），体积是（37.5立方分米），如果鱼缸中装满水，水的体积是（34.104立方分米）。

（2）一个仓库能容纳150立方米的大米，这个仓库的（容积）是150立方米。

9、正方体的展开图

1-4-1型（4种）

2-3-1型（3种）

2-2-2型（1种）

3-3型（1种）

10、表面涂色的正方体

正方体的6个面涂上了红色，每条棱被平均分成了n份，则有

（1）三面涂色的小正方体有（8）个；

（2）两面涂色的小正方体有（

）个；

（3）一面涂色的小正方有（

（4）零面涂色的小正方体有（

）个

3、课堂总结

长方体和正方体学习内容主要集中侧面积、表面积和体积方面，要求学生对相关运算公式的识记运用较高，必须勤学苦练不断积累方能提升解题应答能力。

四、课后作业

1、求下面长方体、正方体的棱长总和，表面积和体积。

5分米

4厘米

3厘米

8厘米

这个长方体的棱长总和是（60）厘米。

这个正方体的棱长总和是（60）分米。

表面积：

表面积：

体积：

体积

2、24平方分米=（0.24）平方米3dm3=（3）L

528毫升=（　528）立方厘米=（　0.528）立方分米

3、一个正方体的棱长总和是96厘米，则这个正方体的表面积是（384）平方厘米，体积是（512）立方厘米

4、正方体的棱长扩大2倍,表面积就扩大（　4）倍，体积扩大（8）倍。

　　A、　2倍　　B、　4倍　　C、　8倍

5、把三个棱长都是2厘米的正方体拼成一个长方体，

表面积会减少了（16）平方厘米。

6、一个长方体棱长和164cm，已知长方体的左面周长为40cm，长方体的长是多少cm？

长方体的长是21厘米.

7、一个长方体的水池，从里面量长是7.5米，比高长2.1米，宽比高多1.4米，若水池里的水面距水池底0.82米，水池里蓄了多少升水？

水池里蓄了41820升水.

8、一个长方体水槽，长宽高分别是40厘米、30厘米、25厘米，里面装有水，水面的高度是15厘米，把一个不规则的物体放到水里，完全淹没，这时水面上升到17厘米，求这个物体的体积？

这个物体的体积是2400平方厘米.

9、一个长方体，如果沿着高减少4厘米，就变成一个正方体，这时，表面积比原来减少112平方厘米，原来长方体的体积是多少立方厘米？

原来长方体的体积是539立方厘米.